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文檔簡介

知識目標(biāo):力的概念,力系的概念,二力平衡條件,力的平行四邊形法則,加減平衡力原理,作用和反

作用定律,約束的基本概念,工程中常見的約束類型及約束力方向

教學(xué)

能力目標(biāo):能夠?qū)ξ矬w的受力進行受力分析

目標(biāo)

素質(zhì)目標(biāo):溝通、協(xié)作能力;觀察、信息收集能力;分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

靜立學(xué)公理

重點

教學(xué)

物體受力分析

難點

理實一體

教學(xué)

實物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

7

學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋

第1章靜力學(xué)基礎(chǔ)

K理論學(xué)習(xí)》

1.1力和力系的基本概念

1.1.1力的概念

力對物體的作用效果取決于力的三要素:力的大小、力的方向和力的作用點。其中任何

一個要素發(fā)生變化,力的作用效果也隨之發(fā)生變化。

力是矢量,具有大小和方向,作用在物體上的力用矢量來表示。

在國際單位制中,力的單位是牛(N)或千牛(kN)。

學(xué)生討論什么是

1.1.2力系的概念

力,教師總結(jié)。

當(dāng)力的作用線分布在同一平面時,該力系稱為平面力系;力的作用線為空間分布時,該

力系稱為空間力系;力的作用線匯交于同一點時,該力系稱為平面匯交力系或空間匯交力系;

力的作用線相互平行時,該力系稱為平面平行力系或空間平行力系;力的作用線既不平行又

不相交,該力系稱為平面任意力系或空間任意力系。若作用于物體上的力系不改變物體的運

動狀態(tài),該力系稱為平衡力系。

1?2靜力學(xué)公理

公理一二力平衡條件

剛體受兩個力作用而處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是:這兩個力大小相等,方向相反,

且作用在同一條直線上。

公理二力的平行四邊形法則

作用在物體同一點上的兩個力,可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點,合力的

大小和方向,由以這兩個力為鄰邊的平行四邊形的對角線確定,這就是力的平行四邊形法則。

舉例說明公理一、

簡便起見,亦可作力三角形,力三角形的兩個邊分別為Fl和F2,第三邊FR即為合力矢

公理二,加深學(xué)生

量,這種求合力的方法稱為力的三角形法則。

理解。

公理三加減平衡力系原理

注意:此公理僅適用于剛體而不適用于變形體。

推論1力的可傳性

作用于剛體上某點的力,可沿著它的作用線滑移到剛體內(nèi)任意一點上,并不改變該力對

剛體的作用。

推論2三力平衡匯交定理

剛體在三個力作用下處于平衡,若其中兩個力的作用線匯交于一點,則此三力必在同一

平面內(nèi),且第三個力的作用線通過匯交點或共面平行。

公理四作用和反作用定律演示作用和反作

作用力和反作用力總是同時存在的,此二力大小相等,方向相反,沿著同一直線,分別用定律。

作用在兩個相互作用的物體上。若用F表示作用力,用口表示反作用力,則F=-F'。

公理五剛化原理

變形體在某一力系作用下處于平衡,如將此變形體剛化為剛體,其平衡狀態(tài)保持不變。

剛化原理提供了把變形體抽象為剛體模型的條件。繩索在兩個等值、反向、共線的拉力作用

下處于平衡,如將繩索剛化為剛體,則平衡狀態(tài)保持不變;而繩索在兩個等值、反向、共線

的壓力作用下不能平衡,這時繩索就不能剛化為剛體。由此可見,剛體的平衡條件是變形體

平衡的必要非充分條件。在剛體靜力學(xué)的基礎(chǔ)上考慮變形體的特征,可進一步研究變形體的

平衡問題。

1?3常見約束及約束力

1.3.1約束的基本概念舉例說明自由體

對非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體稱為約束。和非自由體。

約束對物體的作用實際上就是力,這種力稱為約束力。

約束力方向(作用線位置)確定準(zhǔn)則:約束力的方向必與該約束所能阻礙的位移方向相

1.3.2工程中常見的約束類型及約束力方向

1.柔索約束

柔索約束由軟繩、鏈條或膠帶等構(gòu)成。

柔索的約束反力通過接觸點,沿著柔索而背離物體。

2.光滑接觸面約束

當(dāng)物體與約束間的接觸面視為理想的、摩擦可忽略不計時,此時的約束可簡化為光滑接

觸面約束。此時,不論接觸面是平面或是曲面,都不能限制物體沿約束表面切線方向的位移,

只能限制物體沿著接觸面法線方向約束內(nèi)部的位移。

3.光滑較鏈約束

1)向心軸承(徑向軸承)

圖1-8

2)圓柱較鏈和固定較鏈支座

圓柱較鏈簡稱較鏈,它是用一圓柱形銷釘將兩個或多個構(gòu)件較接在一起的。即在構(gòu)件的

連接處各加工一直徑相同的圓孔,用銷釘穿起來。

工程中常將支座用螺栓與基礎(chǔ)固連,如將物體用光滑圓柱銷釘與該支座連接,就構(gòu)成了

固定較鏈支座,簡稱固定較支。

4.二力構(gòu)件

不考慮自重,僅在兩個較點處受力而處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件稱為二力構(gòu)件。

5.其他約束

1)滾動較支座

滾動較支座是在固定較鏈支座與光滑支承面之間裝幾個根軸而構(gòu)成的,稱為滾動(可動)

較支座或輯軸支座。

2)止推軸承

止推軸承與向心軸承的差異在于,它除能限制軸的徑向位移外,還能限制軸沿軸向一側(cè)

的位移。

3)球較鏈

通過圓球和球殼將兩個構(gòu)件連接在一起的約束稱為球較鏈。它使構(gòu)件的球心不能有任何

移動,但構(gòu)件可繞球心轉(zhuǎn)動。

1.4物體的受力分析和受力圖

在工程實際中,為求解未知約束力,需根據(jù)已知力,應(yīng)用平衡條件求解。因此,首先要

分析問題的性質(zhì)及待求量,充分利用已知條件確定研究對象。研究對象可以是單個物體、系

統(tǒng)中的單個構(gòu)件、部分系統(tǒng)或整體;然后對其進行受力分析,確定構(gòu)件受幾個力,每個力的

作用位置和方向。這種分析過程稱為物體的受力分析。以例1-1,1-2,1-3,

物體受力分析的步驟1-4為例,講解物

(1)畫隔離體(研究對象):將研究對象單獨分離出來,畫出其簡圖。體的受力分析及

(2)畫主動力:主動力作用的形式和位置不能改變。受力圖的畫法。

(3)畫約束力:主要依照約束性質(zhì)確定約束力,合理利用二力構(gòu)件、三力平衡匯交定理

及作用和反作用定律。

知識目標(biāo):平面匯交力系合成的幾何法,平面匯交力系平衡的幾何條件,力在平面正交直角坐標(biāo)軸上的

投影,合力投影定理,平面匯交力系合成的解析法,合力矩定理,平面內(nèi)力偶的等效定理,平面力偶系

教學(xué)

的合成與平衡條件

目標(biāo)

能力目標(biāo):

素質(zhì)目標(biāo):溝通、協(xié)作能力;觀察、信息收集能力;分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

平面匯交力系合成與平衡的解析法

重點

平面力偶系的合成與平衡條件

難點

理實一體

教學(xué)

實物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

4

學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋

第2章平面匯交力系和平面力偶系

【理論學(xué)習(xí)》

2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法

平面匯交力系是指各力的作用線在同一平面內(nèi),且匯交于一點的力系。

2.1.1平面匯交力系合成的幾何法

設(shè)剛體受到平面匯交力系F1、F2、F3、F4作用,各力作用線匯交于點A,如圖2T(a)

所示。根據(jù)剛體力的可傳性,先將各力的作用點沿其作用線移至匯交點A,然后任取一點a,

應(yīng)用力的多邊形法則求得該力系的合力矢量,如圖27(b)所示。比較圖27(b)和圖2-1(c)

可知,若改變各力的合成次序,力多邊形的形狀將發(fā)生改變,但封閉邊合力矢FR則完全相同,

即矢序規(guī)則。

(a)(b)(c)

圖27

2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件

根據(jù)力的多邊形法則,合力為零意味著力多邊形封閉邊長度為零,故得:平面匯交力系

平衡的幾何必要和充分條件為力的多邊形自行封閉。

按照幾何法求解

求解平面匯交力系的合成與平衡問題時可用圖解法,即按比例先畫出力多邊形,然后量

平衡問題的主要

得所要求的未知量;或根據(jù)圖形的幾何關(guān)系,用三角公式計算所要求的未知量,這種解題方

步驟解例27。

法稱為幾何法。

幾何法求解平衡問題的主要步驟如下:

(1)選取研究對象。根據(jù)題意,選取適當(dāng)?shù)钠胶馕矬w作為研究對象。

(2)對隔離體進行受力分析。解除研究對象的所有約束,單獨畫出隔離體,并在隔離體上

依次畫出所有主動力和約束力。

(3)選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸瑢⒀芯繉ο笊系母鱾€力依次首尾相連,作出封閉的力多邊形。作

圖時應(yīng)從已知力開始,根據(jù)矢序規(guī)則和封閉特點可確定未知力的方位與指向。

(4)確定未知量。按選定的比例尺量取未知量,或利用三角公式求出未知量。

2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法

2.2.1力在平面正交直角坐標(biāo)軸上的投影

力在某軸上的投影等于力的大小乘以力與該軸正向間夾角的余弦。

當(dāng)力與軸向間的夾角為銳角時,其值為正;當(dāng)夾角為鈍角時,其值為負。在實際運算中,

通??扇×εc坐標(biāo)軸間的銳角來計算投影的大小,并通過觀察來直接判定投影的正負號。

在直角坐標(biāo)系中,兩者之間的關(guān)系可表示為

F=F×+Fy=Fxi+Fyj(2-6)

其中,i、j分別為沿X軸和y軸正向的單位矢量。式(2-6)稱為力的解析表達式。

2.2.2合力投影定理

由圖2-4可得合力投影定理:合力在某一軸上的投影,等于各分力在同一軸上投影的代

數(shù)和,即

FRx=F1x+F2x+?,?+Fnx=ΣFiX

FRy=F1y+F2y+???+Fny=ΣFiy(2-7)

合力投影定理建立了合力投影與分力投影之間的關(guān)系。

教師講解平面匯

交力系合成與平

衡的解析法。

圖2-4

2.2.3平面匯交力系合成的解析法

2.2.4平面匯交力系平衡的解析條件——平衡方程

平面匯交力系有兩個獨立的平衡方程,可求解兩個未知量。解題時,未知力的指向可隨

意假設(shè),若計算結(jié)果為正值,則表示假設(shè)力的指向與實際相同;若為負值,則表示假設(shè)力的

指向與實際相反。但投影坐標(biāo)軸的正向可任意選擇,以方便投影為宜。

解析法求解平衡問題的主要步驟如下:

(1)選取研究對象。

(2)分析研究對象的受力情況,畫其受力圖。

(3)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,列出平衡方程式并求解。

2.3平面力矩

2.3.1力對點之矩

如圖2-8所示,用扳手轉(zhuǎn)動螺母,在扳手上作用一力F,扳手和螺母將繞螺母中心0轉(zhuǎn)

動。力F使扳手與螺母繞0轉(zhuǎn)動的效應(yīng)既與力F的大小有關(guān),也與O點到力F的作用線的垂

直距離h有關(guān)。通常順時針轉(zhuǎn)動時,螺母被擰緊;逆時針轉(zhuǎn)動時,螺母被松開。又如用手推

門,使得門板繞門軸轉(zhuǎn)動也是這樣。

人們通過歸納總結(jié)轉(zhuǎn)動或有轉(zhuǎn)動趨勢的實例,形成一個抽象化的概念,即力對點之矩,

用來表示力使物體繞一點轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。

如圖2-9所示,設(shè)平面上作用一力F,在該平面內(nèi)任取一點0,點O稱為矩心,點O到力

F作用線或其延長線的垂直距離h稱為力臂。

實物演示,說明力

對點之矩。

2.3.2合力矩定理

合力矩定理:平面匯交力系的合力對力系所在平面內(nèi)任一點之矩等于各分力對該點之矩

的代數(shù)和。

合力矩定理建立了合力對某點的矩與各個分力對同一點之矩的關(guān)系。無論何種力系,只

要力系有合力,合力矩定理就適用。

2.4平面力偶系

2.4.1力偶

將這種由兩個大小相等、方向相反,且不共線的平行力系組成的力系,稱為力偶,用符

號(F,*)表示。力偶所在的平面稱為力偶作用面,力偶中二力作用線間的垂直距離d稱為力

偶臂。

2.4.2力偶矩

定義力偶(F,F')的矩來度量力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng),簡稱力偶矩。

力偶矩的大小等于力偶中力的大小和力偶臂的乘積;正負號表示力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向,

通常規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)動為正,反之為負。

2.4.3力偶的性質(zhì)

1.力偶不能與一個力等效或者平衡教師講解力偶的

注意:構(gòu)成力偶的兩個力大小相等、方向相反,它們在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為性質(zhì)。

零,因其不共線,故力偶本身并不能使剛體平衡。

2.力偶與矩心位置無關(guān)

構(gòu)成力偶的兩個力對其作用面內(nèi)任一點之矩代數(shù)和恒等于力偶矩,故力偶與矩心位置無

2.4.4平面內(nèi)力偶的等效定理

定理:在同平面內(nèi)的兩個力偶,只要力偶矩相等,則兩力偶彼此等效。

此定理給出了同一平面內(nèi)兩個力偶等效的條件。由此可得下列推論:

(1)力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn),而不改變它對剛體的作用效應(yīng)。

(2)只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變,可同時任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長短,

而不改變它對剛體的作用效應(yīng)。

2.4.5平面力偶系的合成與平衡條件

1.平面力偶系的合成

設(shè)平面力偶系由兩個力偶(F1,*1)、(F2,*2)所組成,其力偶矩分別為MI=Fld1,

M2=-F2d2,如圖277(a)所示,試求它們的合成結(jié)果。

根據(jù)同平面內(nèi)力偶等效定理,在保持力偶矩不變的情況下,同時改變這兩個力偶中力的

大小和力偶臂的長短,使它們具有相同的臂長d,并將它們在其作用面內(nèi)移轉(zhuǎn),使得力的作教師講解平面力

用線重合,如圖277(b)所示。偶系的合成與平

衡條件。

知識目標(biāo):力的平移定理,平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化?主矢和主矩,平面任意力系的平衡條件?平

教學(xué)衡方程,物體系統(tǒng)的平衡,靜定與超靜定問題

目標(biāo)能力目標(biāo):掌握靜立學(xué)的核心內(nèi)容

素質(zhì)目標(biāo):溝通、協(xié)作能力;觀察、信息收集能力;分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

平面任意力系簡化結(jié)果的分析

重點

教學(xué)

平面任意力系的簡化與平衡

難點

理實一體

教學(xué)

實物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

8

學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋

第3章平面任意力系

K理論學(xué)習(xí)】

3.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化

3.1.1力的平移定理

定理:作用在剛體上點A的力F可以平行移到剛體上任一點B,但必須同時附加一個力

偶,這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩。

逆定理:作用在剛體上同平面內(nèi)的一個力和一個力偶,可與一個力等效,此力為原來力

系的合力。

教師證明力的平

移定理。

(b)(C)

圖3-1

3.1.2平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化?主矢和主矩

設(shè)剛體受平面任意力系作用,此力系由F1,F2,…,Fn共n個力組成,如圖3T(a)所示。

在力系作用平面內(nèi)任選一點0,將力系向0點簡化,并稱點O為簡化中心。按力的平移定理,

將力系中各力矢量向0點平移,如圖3-3(b)所示。

平面任意力系等效為兩個簡單力系:平面匯交力系和平面力偶系。

力*R稱為原平面任意力系的主矢,即力矢*R等于原力系各力的矢量和。舉例說明什么是

主矩MO等于原力系中各力對簡化中心0之矩代數(shù)和。固定約束。

平面任意力系向作用面內(nèi)任一點簡化,得到一個力和一個力偶,如圖3-3(C)所示。這個

力稱為該力系的主矢,作用線過簡化中心,主矢與簡化中心的位置無關(guān);這個力偶的矩稱為

該力系對簡化中心的主矩,主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。

車刀和工件分別夾持在刀架與卡盤上固定不動,這種約束為固定端或插入端約束。

(a)(b)(c)

圖3-4

3.1.3平面任意力系簡化結(jié)果的分析

1.平面任意力系簡化為一個合力偶

當(dāng)*R=0,M。*0時,說明原平面任意力系與一個平面力偶系等效,其簡化結(jié)果為一個合

力偶,該合力偶的矩等于主矩,M=M0=ZM0(Fi)o

2.平面任意力系簡化為一個合力教師論證二矩式

平面任意力系向一點簡化,不論主矩是否等于零,只要主矢不等于零,此力系最終可以平衡方程也能滿

簡化為一個合力。足力系平衡的必

3.平面任意力系平衡要和充分條件。

,

FR-0,Mo-O1則原力系平衡。

3.2平面任意力系的平衡

3.2.1平面任意力系的平衡條件?平衡方程

平面任意力系平衡的充分必要條件:力系的主矢和對任意點的主矩均等于零。即

■R=0,Mo=O(3-4)顯然,主矢等于零,表明作用于簡化中心0的匯交力系為平衡力系;主

矩等于零,表明附加力偶矩也是平衡力系,所以原力系必為平衡力系。因此,式(3-4)為平面

任意力系平衡的充分條件。

3.2.2平面任意力系平衡方程的其他形式

1.二矩式平衡方程

ΣF×=0,ZMA(F)=0,ZMB(F)=O(3-6)學(xué)生自行證明三

適用條件:X軸不能與A、B兩點連線垂直。矩式平衡方。

2.三矩式平衡方程

ZMA(F)=O,EMB(F)=O,ZMC(F)=O(3-7)

適用條件:A、B、C三點不能共線。

3.2.3平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是力系中各力的作用線在同一平面內(nèi),且相互平行的力系。

3.3物體系統(tǒng)的平衡、靜定與超靜定問題

3.3.1物體系統(tǒng)的平衡

物體系統(tǒng)是指若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。

當(dāng)整個物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,組成該系統(tǒng)的每一個物體必然處于平衡。此時可選取

整個物體系統(tǒng)作為研究對象,也可將整個物體系統(tǒng)拆開,取系統(tǒng)的局部作為研究對象。

無論如何選取研究對象,在平面任意力系作用下,n個物體所組成的系統(tǒng)僅能列出3n個

獨立平衡方程,求解3n個未知量。若系統(tǒng)受平面匯交力系或平面平行力系作用,獨立的平衡

方程數(shù)目會相應(yīng)減少。按上述方法求解物體系統(tǒng)的平衡問題理論上并無困難,但在實際問題

中,并不需要求解全部未知量。

3.3.2靜定與超靜定問題

若未知量的數(shù)目小于或等于獨立平衡方程的數(shù)目,則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論就可以求出

全部的未知量,這種問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目,單獨應(yīng)

用剛體靜力學(xué)的理論不能求出全部的未知量,這樣的問題稱為超靜定問題。未知量數(shù)目與獨

立平衡方程數(shù)目差值稱為超靜定次數(shù)。

判斷系統(tǒng)靜定與否的方法:將系統(tǒng)全部拆成單個物體,計算未知量的總數(shù)目與獨立平衡

方程的總數(shù)目,并加以比較。

知識目標(biāo):直接投影法,間接投影法,空間力對點之矩矢,空間力對軸之矩,空間力對軸之矩的合力矩

教學(xué)定理,空間匯交力系的平衡方程,空間任意力系的平衡方程,空間平行力系的平衡方程。

目標(biāo)能力目標(biāo):理解物體在空間力系作用下的平衡問題

素質(zhì)目標(biāo):溝通、協(xié)作能力;觀察、信息收集能力;分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

空間力系的平衡方程

重點

教學(xué)

空間力對軸之矩的合力矩定理

難點

理實一體

教學(xué)

實物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

3

學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋

第4章空間力系

K理論學(xué)習(xí)》

4.1力在空間正交直角坐標(biāo)軸上的投影

4.1.1直接投影法

若力F與x、yZ軸正向夾角為a、0、Y,如圖47所示。則由力的投影定義,力F

在三個軸上的投影等于力F的大小與各軸正向夾角余弦的乘積,即

Fx=Fcos(F,i)=Fcosa

Fy=Fcos(F,j)=FcosB

Fz=Fcos(F,k)=FcosY(4-1)

教師講解直接投

4.1.2間接投影法

影法和間接投影

若力F與坐標(biāo)軸x、y間的夾角不易確定,可將力F先投影到坐標(biāo)平面OXy上,得到力F

法。

在坐標(biāo)平面OXy上的投影Fxy,然后再將FXy投影到x、y軸上,這種方法稱為二次投影法。

如圖4-2所示,已知力F與Z軸正向的夾角為y,投影FXy與X軸正向的夾角為中,則由二

次投影法,力F在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為

Fx=FsinγcosΦ

Fy=FsinγsinΦ

Fz=FcosY(4-2)

4.2空間力對點之矩矢和空間力對軸之矩

4.2.1空間力對點之矩矢

力對剛體的轉(zhuǎn)動效果取決于力與矩心構(gòu)成平面的方位、力矩在該平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向及力矩大

小三個要素。如圖4-5所示,三要素可用這樣一個矢量表示:矢量的模表示力對點之矩的大

小;矢量的方位與該力和矩心構(gòu)成平面的法線方位相同;矢量的指向按右手螺旋法則確定,

該矢量稱為力對點之矩矢,簡,i稱力矩矢,記作Mo(F)。

圖4-5

MO(F)=rXF(4-4)

即力對點之矩矢等于矩心到力作用點的矢徑與該力的矢量積,式(4-4)稱為力矩矢的矢積表達

式。

4.2.2空間力對軸之矩

力對軸之矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量,是一個代數(shù)量,其大小等于該力在垂直

于該軸平面上的投影對該軸與此平面交點的矩;其正負號由右手螺旋法則確定,即將右手四

指順著力矩的轉(zhuǎn)向去握轉(zhuǎn)軸,大拇指指向與Z軸正向一致為正,反之為負。

力對軸之矩也可用解析表達式表示。如圖4-7所示,力F在三個軸上的投影為Fx、Fy、

Fz1力作用點A的坐標(biāo)為(x,y,z)o

依據(jù)合力矩定理,得用右手定則判斷

Mz(F)=M0(Fxy)=M0(Fx)+Mo(Fy)=xFy-yFx力對軸之矩的正

同理可得其余二式,將此三式合寫為負。

Mx(F)=yFz-zFy

My(F)=zF×-×Fz

MZ(F)=×Fy-yFx(4-8)

圖4-7

4.2.3空間力對軸之矩的合力矩定理

空間力系的合力對某一軸之矩等于力系中各力對同一軸之矩的代數(shù)和,即

Mz(FR)=ZMz(Fi)(4-9)

合力矩定理計算力對軸之矩比較方便,具體方法是:先將力正交分解,然后計算各個分解例4-3,4-3,掌

力對該軸的矩,最后求這些力矩的代數(shù)和,即得力對該軸之矩。握力對軸之矩。

4.2.4空間力對點之矩矢與空間力對通過該點的軸之矩關(guān)系

空間力對點之矩矢在通過該點的某軸上的投影,等于空間力對該軸之矩。

4.3空間力系的平衡方程

4.3.1空間匯交力系的平衡方程

ΣFi×=0

ZFiy=O

EFiZ=O(4-13)

空間匯交力系平衡的必要且充分解析條件為:力系中所有力在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)

和同時等于零。式(4-13)稱為空間匯交力系的平衡方程。

4.3.2空間任意力系的平衡方程

當(dāng)一個空間任意力系平衡時,必須滿足下面的六個平衡方程,即

ZFiX=O

ΣFiy=0

ZFiZ=O

ΣMx(F)=0

ΣMy(F)=0

ΣMz(F)=0(4-14)

上式表明,空間任意力系平衡的必要且充分解析條件為:力系中各力在三個坐標(biāo)軸上投

影的代數(shù)和以及各力對三個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和均同時等于零。

4.3.3空間平行力系的平衡方程

空間平行力系的平衡方程為

ZFiZ=O

ΣMxF=O

ZMyF=O(4-15)

上式表明,空間平行力系平衡的必要且充分解析條件為:力系中各力在與力作用線平行的坐

標(biāo)軸上投影的代數(shù)和以及各力對與力線垂直的兩個軸之矩的代數(shù)和同時等于零。

知識目標(biāo):靜滑動摩擦力,最大靜滑動摩擦力,動滑動摩擦力,摩擦角,自鎖現(xiàn)象,摩擦?xí)r物體的平衡

教學(xué)問題

目標(biāo)能力目標(biāo):理解靜滑動摩擦力和動滑動摩擦力

素質(zhì)目標(biāo):溝通、協(xié)作能力;觀察、信息收集能力;分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題的注意點

重點

教學(xué)

考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題的注意點

難點

理實一體

教學(xué)

實物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

2

學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋

第5章摩擦

【理論學(xué)習(xí)》

5.1滑動摩擦

5.1.1靜滑動摩擦力

重為P的物體放在有摩擦的粗糙面上時,在接觸面的切線方向施加水平拉力F,當(dāng)拉力F

由零逐漸增加但不很大時,物體僅有相對滑動趨勢但仍保持靜止。可見,粗糙接觸面對物體

沿切線方向的位移也有限制作用,故沿切線方向也產(chǎn)生約束反力,記為Fs,如圖5-1(b)所示。

切線約束力是由于兩個物體在接觸面上發(fā)生摩擦而產(chǎn)生的,其作用是限制物體沿接觸面相對

滑動,故稱為靜滑動摩擦力。

圖5-1

靜滑動摩擦力的方向與物體相對滑動趨勢相反。所謂"相對滑動趨勢",是指假設(shè)不存在

區(qū)分靜滑動摩擦

摩擦?xí)r,物體在主動力作用下相對于接觸物體滑動的方向。

力與動滑動摩擦

5.1.2最大靜滑動摩擦力

力。

對于圖57(b)所示的物體,不改變法線方向主動力P的大小,逐步增大水平切線方向主

動力F的值。在物體處于平衡狀態(tài)時,摩擦力FS=F也隨之增大。當(dāng)力F增大到某一值時,如

果再繼續(xù)增大,物體的平衡狀態(tài)就將被破壞而產(chǎn)生相對滑動。這種物體即將滑動而尚未滑動

的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。這時,摩擦力達到最大值,即為最大靜滑動摩擦力,簡稱最

大靜摩擦力,以FmaX表示。此后,如果主動力F再繼續(xù)增大,而靜滑動摩擦力不能再隨之增

大,物體將失去平衡而滑動,這就是靜滑動摩擦力的特點。

法國科學(xué)家?guī)靷悓Ω稍锝佑|面做了大量的實驗,結(jié)果表明,最大靜滑動摩擦力的大小與

相接觸兩物體間的正壓力成正比,即

Fmax=fsFN(5-2)

比例系數(shù)fs稱為靜滑動摩擦因數(shù),此規(guī)律稱為靜滑動摩擦定律或庫侖摩擦定律。

5.1.3動滑動摩擦力

當(dāng)滑動摩擦力達到最大值時,若主動力F再繼續(xù)增大,接觸面之間將出現(xiàn)相對滑動。此

時,接觸物體之間仍作用有阻礙滑動的阻力,這種阻力稱動滑動摩擦力,簡稱動摩擦力,用

Fd表示。實驗表明,動摩擦力的大小與接觸體間的正壓力(即法向反力)成正比,即

Fd=fR(5-3)

式中,f為動摩擦因數(shù),它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān),可通過工程手冊查出。

一般情況下,動摩擦因數(shù)略小于靜摩擦因數(shù)。

在機械中,往往用降低接觸面的粗糙度或加入潤滑劑等方法來減小動摩擦因數(shù)f,從而

減小摩擦和損耗。

5.2摩擦角和自鎖現(xiàn)象

5.2.1摩擦角

當(dāng)物體處于平衡的臨界狀態(tài)時,如圖5-2所示。靜摩擦力達到最大靜滑動摩擦力時,偏教師講解摩擦角

角Φ達到最大值Φf,全約束力與接觸面型膽竺角最大值Φf稱為摩擦角。的概念。

J尸max

,〃/)〃〃〃網(wǎng)/)//〃人—

圖5-2

摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)??梢?,摩擦角與摩擦因數(shù)一樣,都與相互接觸的物體材

料的表面性質(zhì)有關(guān)。

當(dāng)物塊的滑動趨勢方向改變時,全約束力作用線的方位也隨之改變;在臨界狀態(tài)下,全

約束力FRA的作用線將畫出一個以接觸點A為頂點的錐面,稱為摩擦錐。當(dāng)物塊與支承面間

沿任何方向的摩擦因數(shù)都相同時,摩擦錐將是一個頂角為20f的圓錐。

5.2.2自鎖現(xiàn)象

由于靜滑動摩擦力不可能超過最大值,因此全約束力FRA的作用線也不可能超出摩擦角以說一說你遇到的

外,即全約束力必在摩擦角之內(nèi)。由此可知:自鎖現(xiàn)象。

(1)當(dāng)作用于物體的全部主動力的合力FR的作用線位于摩擦角0f以內(nèi)時,無論主動力的

合力多大,約束力都可與之平衡,物塊必保持靜止,此現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。

(2)當(dāng)全部主動力的合力Fif作用線落在摩擦角0f以外時,無論主動力合力多小,物塊一

定不能保持平衡而滑動。

5.3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題

考慮摩擦的平衡問題,求解時需要注意以下幾個方面:

(1)受力分析時,不光滑接觸面上除考慮法向反力外,還增加了切線反力即摩擦力Fs。

因此,不僅需要寫出平衡方程,還要對未知摩擦力寫出補充方程:FSWfSF"。此時,不計摩

擦?xí)r的靜定問題,在考慮摩擦?xí)r也同樣是靜定的。

為避免求解不等式方程,對考慮摩擦的平衡問題,只研究臨界平衡狀態(tài)。這時,受力圖

上的摩擦力為最大靜滑動摩擦力FmaX,補充方程為

FmaX=fsFt∣

(2)平衡時靜滑動摩擦力在O~Fmax范圍內(nèi)取值,這就意味著考慮摩擦的平衡問題,其解

是有范圍的,而不是確定的值。工程實際問題中,往往在求出臨界平衡狀態(tài)下的解之后,再

分析平衡狀態(tài)下解的取值范圍。結(jié)合例5-2,5-3

*5.4滾動摩阻講解。

設(shè)車輪重P,半徑為r,在輪心作用一個水平力F。當(dāng)力F的值很小時,車輪靜止不動。

由平衡方程可求得法向反力和靜滑動摩擦力的大小分別為FN=P與Fs=Fo顯然,法向反力FN

與重力P構(gòu)成一對平衡力系,而靜滑動摩擦力Fs與主動力F組成一個力偶。在此力偶的作用

下,車輪本應(yīng)發(fā)生滾動,而車輪實際并不滾動而保持靜止。主要原因是車輪與地面實際上并

非剛體,它們在力的作用下都會產(chǎn)生變形,車輪在與地面接觸處受到分布力的作用,向接觸

點簡化,可得一個力FS和一個力偶,該力偶的矩為Mf。該力FR可分解為法向約束力FN和

切向摩擦力Fs,該力偶則為限制車輪滾動的約束反力偶,如圖5-7(b)所示。該約束反力偶稱

為滾動摩阻力偶,其力偶矩可由平衡方程Mf=Fr求出。

(a)(b)

圖5-7

隨著主動力F的逐漸增大,滾動摩阻力偶矩Mf的值也隨之增大。當(dāng)力F增大到某一值時,

車輪處于將滾而未滾動的臨界平衡狀態(tài),滾動摩阻力偶矩Mf達到最大值,稱為最大滾動摩阻

力偶矩,以MmaX表示。此時,若繼續(xù)增大主動力F,車輪就會發(fā)生滾動。滾動摩阻力偶矩Mf

的范圍為OWMfWMmax。

實驗表明,最大滾動摩阻力偶矩的值與法向約束力成正比,即

MmaX=δFN(5-6)

式中,5是長度量綱的常數(shù),mm,稱為滾動摩阻系數(shù)。式(5-6)稱為滾動摩阻定律。

知識目標(biāo):點的運動方程,點的速度及加速度,點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影,點的加速度在直角坐

教學(xué)標(biāo)軸上的投影,自然軸系,點的速度在自然軸上的投影,點的加速度在自然軸上的投影。

目標(biāo)能力目標(biāo):能夠用三種不同的方法描述點的曲線運動規(guī)律

素質(zhì)目標(biāo):溝通、協(xié)作能力;觀察、信息收集能力;分析總結(jié)能力。良好的職業(yè)道德和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)

教學(xué)

點的運動方程

重點

教學(xué)

點的運動方程、速度和加速度

難點

理實一體

教學(xué)

實物講解

手段

小組討論、協(xié)作

教學(xué)

3

學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋

第6章點的運動學(xué)

K理論學(xué)習(xí)】

6.1點的運動方程、速度和加速度

6.1.1點的運動方程

點在空間運動時所經(jīng)過的路線稱為點的運動軌跡。如果點的運動軌跡為直線,則點為直

線運動;如果點的運動軌跡為曲線,則點為曲線運動。

若點M做直線運動,如圖67所示??扇〈酥本€為參考軸,直線上任一點。作為坐標(biāo)原

點,規(guī)定沿直線的某一方向為X軸的正向。利用點的坐標(biāo)X來確定點在空間的位置。當(dāng)點運

動時,點的位置,即坐標(biāo)X隨時間t發(fā)生變化,故可將坐標(biāo)X表示為時間t的單值連續(xù)函數(shù),

即x=f(t)(6-1)

若函數(shù)x=f(t)已知,則動點在每一瞬時的位置便可唯一確定。式(67)稱為點M的直線

教師講解描述點

運動方程。

曲線運動規(guī)律的

當(dāng)點M做曲線運動時,雖相對于直線運動更為復(fù)雜,但同樣可用函數(shù)描述其幾何位置隨

常用方法。

時間運動的規(guī)律。描述點的曲線運動規(guī)律可有多種表達方式,下面介紹幾種常用的方法。

1?矢量法

動點M在任一瞬時的位置均可由矢徑r唯一確定,這種用矢量確定點位置的方法稱為矢

量法。當(dāng)點M運動時,矢徑r的大小和方向隨時間t發(fā)生變化,r是時間的單值連續(xù)矢量函

數(shù),即

r=r(t)(6-2)

式(6-2)稱為以矢量表示的點的運動方程。

矢量法描述點的運動,只需要選擇一個參考點,無須建立參考系就可表示點的運動方程。

在點的運動軌跡未知的情況下,該方法形式簡單,主要用于概念的定義及公式理論推導(dǎo)和證

明。

2.直角坐標(biāo)法

學(xué)生分析幾種方

法的異同點。

圖6~3

x=f1(t),y=f2(t),Z=f3(t)(6-3)

方程(6-3)描述了點在空間直角坐標(biāo)系中的運動規(guī)律,稱為以直角坐標(biāo)法表示的點的運動方

程。點在空間的運動軌跡未知的情況下,采用直角坐標(biāo)法描述其運動狀況,該方法簡便易操

作,主要用于實際計算。

3.自然法

弧長S為代數(shù)量,稱為點M在軌跡上的弧坐標(biāo)。

當(dāng)點M運動時,其弧坐標(biāo)S隨時間不斷變化,是時間t的單值連續(xù)函數(shù),即

s=f(t)(6-5)

式(6-5)表示點沿已知軌跡的運動規(guī)律,稱為以弧坐標(biāo)表示的點的運動方程。若已知s=f(t),

則點在軌跡上的位置便可唯一確定。這種利用點的運動軌跡建立弧坐標(biāo),并利用弧坐標(biāo)來描

述和分析點的運動的方法稱為自然法。在點的運動軌跡為已知的情況下,采用自然法描述點

的運動較為便利,該方法也主要用于實際計算。

6.1.2點的速度

「----------------V

O

圖6-5

點的速度矢等于點的矢徑對于時間的一階導(dǎo)數(shù),其方向為Ar或MM'取極限時的方向,理解點的速度及

亦即軌跡曲線的切線方向,并與點的運動方向一致,如圖6-5所示。點的加速度的含

6.1.3點的加速度義。

點的加速度矢等于該點的速度矢對時間的一階導(dǎo)數(shù),亦是點的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。

在空間任取一定點0,把動點M在t1,t2,-,tn各瞬時的速度矢量v1,v2,-,vn都平行地移

動到點0,如圖6-7所示。一

圖6-7

連接各速度矢量端點得到的曲線稱為動點M的速度矢端曲線。由加速度的概念可知,加

速度矢的方向沿著點的速度矢端曲線的切線方向。

加速度矢量a的模a即為加速度的大小。在國際單位制中,加速度的單位是m/s2。

6.2點的速度和加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

6.2.1點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

動點的速度矢在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其各相應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

6.2.2點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

動點的加速度矢在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其各相應(yīng)坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。

應(yīng)用直角坐標(biāo)法求解實際問題,通常有以下兩種類型:

(1)已知動點運動的部分條件,求動點的運動方程、軌跡、速度和加速度;或已知機械系

統(tǒng)中主動構(gòu)件的運動規(guī)律,求從動部件上某一點的運動規(guī)律。

(2)已知動點的加速度及其運動的初始條件(當(dāng)t=0時,動點的位置坐標(biāo)和速度),求動

點運動方程。數(shù)學(xué)上是求已知函數(shù)的積分問題。

6.3點的速度和加速度在自然軸系上的投影

6.3.1自然軸系結(jié)合例題說明點

當(dāng)點的運動軌跡已知時,采用自然法描述點的運動較為方便。因此,為表示點的速度和運動的直角坐標(biāo)

加速度前需建立自然軸系。系。

設(shè)任意空間曲線AB,如圖672所示,在該曲線上任取兩點M與W,并分別作曲線在此

兩點的切線MT、M,「。若過M點作直線MQ平行于M,「,則直線MT與MQ確定一個平面。

當(dāng)Μ點逐步趨近于M點時,該平面將繞MT旋轉(zhuǎn)而不斷改變它在空間的方位。當(dāng)M,無限趨

近于M點時,此平面趨近于某一極限位置,這個極限平面P稱為曲線AB在M點處的密切面。

顯然,空間曲線上各點的密切面隨點的位置不同而變化。過M點垂直于切線MT的平面I

稱為曲線在M點的法平面,如圖6-13所示。法平面與密切面的交線MN稱為曲線在M點的主

法線。令主法線的單位矢量為n,n指向曲線內(nèi)凹的一側(cè),即指向曲率中心。

過M點且垂直于密切面的法線MB稱為曲線在M點的副法線,其單位矢量為b。設(shè)曲線上

M點切線的單位矢量為T,其指向與弧坐標(biāo)正向一致。則矢量b的指向與T、n構(gòu)成右手系,

即b=TXn。MB既垂直于MN,又垂直于MT,即為密切面的法線。以點M為原點,以切線、主

法線和副法線為坐標(biāo)軸組成一個正交坐標(biāo)系,稱為曲線在點M的自然軸系,如圖613所

示,其三個坐標(biāo)軸稱為自然軸。必須特別指出的是,單位矢量τ,n,b的方位和指向隨點位置

的變動而變化。因此,自然軸系是一個游動坐標(biāo)系。

圖6-12圖6-13

6.3.2點的速度在自然軸上的投影

6.3.3點的加速度在自然軸上的投影

1.反映速度大小變化的加速度at

結(jié)論:切向加速度反映點的速度大小對時間的變化率,它的代數(shù)值等于速度的代數(shù)值對

時間的一階導(dǎo)數(shù),或弧坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù),方向沿軌跡切線。教

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