2024-2025學年高中數(shù)學第2章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的性質作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE課時分層作業(yè)(十)等差數(shù)列的性質(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為()A.5B．6C．8A[由等差數(shù)列的性質，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5∴a5＝5.]2．數(shù)列{an}滿意3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A.－2B．－eq\f(1,2)C．2 D．eq\f(1,2)C[∵an＋1－an＝3，∴{an}為等差數(shù)列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36∴l(xiāng)og6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()A.5B．8C．10D．14B[由等差數(shù)列的性質可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]4．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()A.8B．4C．6D．12A[因為a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.5．下列說法中正確的是()A.若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B.若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2C.若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D.若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2C[因為a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．]二、填空題6．若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為．－21[設這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝59.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴這三個數(shù)為－1，3，7或7，3，－1.∴它們的積為－21.]7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為．1或2[∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.]8．在通常狀況下，從地面到10km高空，高度每增加1km，氣溫就下降某一個固定數(shù)值．假如1km高度的氣溫是8.5℃，5km高度的氣溫是－17.5℃，則2km，4km，8km高度的氣溫分別為2℃－11℃－37℃[用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列，則a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的氣溫分別為2℃，－11℃，－三、解答題9．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6[解]∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a又∵a2a4a6＝45，∴a2即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.10．某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200萬元，從其次年起由于市場競爭方面的緣由，其利潤每年比上一年削減20萬元，依據(jù)這一規(guī)律，假如公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？[解]設從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利潤構成一個等差數(shù)列{an},從而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損．∴由an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損．1．已知等差數(shù)列{an}滿意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A.a1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a101<0C.a3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51C[依據(jù)性質得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因為a3＋a99＝2a51＝0，故選2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A.14B．15C．16D．17C[設公差為d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.]3．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n＋1)列的數(shù)是________．n2＋n[視察可知，第n行的數(shù)構成以n為首項，n為公差的等差數(shù)列，所以第n行第(n＋1)列的數(shù)是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.]4．《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共為4升，則第5節(jié)的容積為升．eq\f(67,66)[設自上而下各節(jié)的容積構成的等差數(shù)列為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，,a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))故a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66).]5．兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？[解]設已知的兩數(shù)列的全部相同的項構成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11，又等差數(shù)列5，8，11，…的通項公式為