第一章 隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題課件

第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)

本章要點(diǎn)：

1.隨機(jī)變量的概率分布及其概率密度對(duì)于離散隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為:第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題2.隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值方差n階原點(diǎn)矩n階中心矩X和Y的n+k階聯(lián)合原點(diǎn)矩X和Y的n+k階聯(lián)合中心矩第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題隨機(jī)變量數(shù)字特征的性質(zhì)若X、Y是二個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立不相關(guān)互相正交第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題3隨機(jī)變量的函數(shù)一維隨機(jī)變量單調(diào)函數(shù)Y=g(X)的分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布其中第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題4隨機(jī)變量的特征函數(shù)及其性質(zhì)隨機(jī)變量的特征函數(shù)與概率密度是一對(duì)傅立葉變換。重要性質(zhì)：1.

兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)之積。即：兩兩相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度等于兩隨機(jī)變量的概率密度的卷積。2.

隨機(jī)變量X的n階原點(diǎn)矩，可由其特征函數(shù)的n次導(dǎo)數(shù)求得。

第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.4解:(1)直接由方差的性質(zhì)可知由題可得：所以第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題(2)由特征函數(shù)的定義可知:第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.7解:(1)由量化器特性圖可知：其中：且有

不完整解：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題(2)因?yàn)樗鼈兪仟?dú)立的，所以有：由(1)可知：所以：

第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題因此：其中：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.8(1)解:第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題(2)解法一：根據(jù)題意：令由于獨(dú)立同分布的高斯變量的線性組合仍為高斯變量，所以為高斯變量。所以的概率密度為第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題(2)解法二：從特征函數(shù)的角度來(lái)證明它是高斯隨機(jī)變量。因?yàn)樗运奶卣骱瘮?shù)為由性質(zhì)可知：根據(jù)兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)之積這一性質(zhì)可得：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.8這樣就可通過(guò)傅立葉反變換求它的密度函數(shù)從表達(dá)式可看出，這是高斯隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題解方法二:

可采用(2)的方法,先求特征函數(shù),再求概率密度,由于計(jì)算復(fù)雜這里不累述.（3）解法一：根據(jù)中心極限定理，無(wú)數(shù)個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和為高斯分布。所以為近似高斯分布,而不是指數(shù)分布了。第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.10解：設(shè)則反函數(shù)為：則雅可比式為：所以求邊緣概率密度得:第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.11又因有所以雅可比式為：解：由于x,y是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，有所以x,y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題邊緣概率密度函數(shù)為：因此r,θ聯(lián)合密度函數(shù)：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題表述問(wèn)題：不完整解：正確解答：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題1.13解：由可得三個(gè)方程：聯(lián)解以上三個(gè)方程可得：第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題補(bǔ)充題設(shè)隨機(jī)變量X的均值為3,方差為2.定義新隨機(jī)變量Y=-6X+22,試問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否正交?是否不相關(guān)?解:故X與Y是正交的.故X與Y是相關(guān)的.第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)習(xí)題補(bǔ)充題2隨機(jī)變量X是拉普拉斯的,其概率密度函數(shù)