《工程力學》第三章-平面一般力系

《工程力學》第三章平面一般力系凡力系中諸力作用線在同一平面內(nèi)且任意分布的力系，稱為平面一般力系，簡稱平面力系?！?-1力的平移定理力的平移定理。施加于剛體上點A的力F可以平移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，附加力偶的矩等于原力對新作用點B的矩。圖3-1可以把作用于剛體上A點的力F平移到另一任意點B上，但必須同時附加一相應的力偶(圖3-1(c))，這個力偶稱為附加力偶。由于Fd也等于力F對B點的矩，mB(F)=Fd，于是得§3-2平面一般力系向一點的簡化一、平面一般力系向一點的簡化在力系的作用平面內(nèi)，被任選的一點O稱為簡化中心。將力系中諸力平移至簡化中心，同時附加一個力偶系的過程，稱為力系向給定點的簡化。圖3-2經(jīng)簡化后的平面共點力系合成為一個合力R′，該合力作用點在簡化中心上；把簡化后的附加力偶系m1，m2，…，mn合成得一力偶MO(圖3-2(c))。自然，依據(jù)力的平移定理，可將力R′和MO合成為一個力R(圖3-2(d))，這個力R就是原力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的合力。1.R′和主矢從圖3-2可知，R′是圖示共點力系的合力。R′的大小和方向可由平面共點力系合成的幾何法或解析法獲得。運用幾何法：由于簡化后的共點力系中諸力與原力系中諸力等值同向，即，故可直接用原力系中諸力作出力的多邊形，力的多邊形之封閉邊稱為原力的主矢，即這表明平面共點力系的合力R′等于原力系(F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n)中諸分力的矢量和，亦即原力系的主矢。而合力R′的作用線則通過簡化中心。運用解析法：在力系所在平面上取坐標系O-xy(圖3-3(a))，應用合力投影定理，則由(3-2)式得故主矢R′的模為主矢R′的方向從圖3-3(b)中可知圖3-32.對點O的主矩從圖3-3(b)中可知，MO應是該平面一般力偶系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶系的合成定理可知，按力的平移定理，力向一點簡化后所產(chǎn)生的附加力偶的矩，等于力對簡化中心的矩，故合力偶矩可表示為平面一般力系向作用面內(nèi)任意一點的簡化，一般可得一力和一力偶。該力的作用線通過簡化中心，其力矢量R′稱為原力系的主矢，它等于原力系諸力之矢量和；該力偶作用于原作用平面上，其力偶矩稱為原力系對簡化中心的主矩，它等于原力系中諸力對簡化中心之矩的代數(shù)和。3.固定端(或插入端)約束的分析圖3-4(a)和(b)所示車刀和工件分別夾持在刀架和卡盤上，是固定不動的。這類約束稱為固定端約束或插入端約束。其簡圖如圖3-4(c)所示。圖3-4固定端約束對物體的作用，是在接觸面上作用有一群約束反力。在平面問題中，這些反力構成一平面一般力系(圖3-5(a))。若將這群力向作用面內(nèi)A點簡化，則得一力和一力偶。一般情況下，簡化后所得之力的大小和方向均為未知量，但該力可用兩分力Nx，Ny來代替。因此，平面一般力系在固定端A處的約束反作用可簡化為兩約束反力Nx，Ny和一個力偶矩為mA的約束反力偶(圖3-5(c))。圖3-5二、平面一般力系向一點簡化結果分析1.平面一般力系向一點的簡化結果平面一般力系向簡化中心簡化，其結果可能出現(xiàn)四種情況：(1)R′=0，MO=0主矢和主矩均等于零。它表明簡化后的平面匯交力系和平面力偶系均為平衡力系，因而平面一般力系必也是平衡力系。(2)R′=0，MO≠0主矢等于零而主矩不等于零。它表明原力系與一平面力偶系等效。此時，作用于簡化中心O點的力相互平衡，從而相互抵消。但附加力偶系并不平衡，它可合成為一力偶，即原力系的合力偶，其合力偶矩等于原力系對簡化中心點O的矩，即按力偶的性質(zhì)，力偶對于作用平面上任一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心無關。但在一般情況下，力系簡化后的主矩與簡化中心有關。(3)R′≠0，MO=0主矢不等于零而主矩等于零。它表明原力系與一個作用線通過簡化中心的合力等效。該合力的大小和方向由主矢R′確定。(4)R′≠0，MO≠0主矢、主矩都不為零。它表明力系向O點簡化后得到一力和一力偶。按力的平移定理，這一力和一力偶還可合成為一個合力。2.平面一般力系簡化為一個合力的情況設將力偶矩為MO的力偶(圖3-6(a))用兩個力R和R″來表示，并令R′=R=-R″(圖3-6(b))，R′和R″構成一平衡力系，于是有等效關系如下：這就是說，可將作用于O點的力R′和力偶(R，R″)合成為一個作用于O′點的力R(圖3-6(c))。顯然，力R就是原力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的矢量和，力R的作用線距簡化中心O點的位置(即力的作用線離O點的距離d)由下式確定圖3-6至于力R作用點在原簡化中心O點的哪側，則取決于主矢R′的方向和主矩MO的轉向。若力偶轉向為逆時針(MO>0)時，則力R的作用點位于從O點沿主矢R′箭頭方向的右側；反之，則R的作用點位于從O點沿主矢R′箭頭方向的左側?！?-3平面一般力系的平衡方程及其應用一、平面一般力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面一般力系的特例。力系中諸力彼此平行，如圖3-10所示。設若一物體受一平面平行力系的作用。選O-xy系中y軸與各力平行，則不論力系是否平衡，各力在x軸上的投影恒等于零，即∑X≡0。于是平面平行力系的平衡方程是使用(3-13)式時，必須使A、B兩點的連線不與各力平行。三、平面一般力系平衡方程的應用例3-4圖3-11所示為懸臂式起重機。梁AB的A端以鉸鏈固定，B端用拉桿BC拉住。梁自重P=4kN，載荷重Q=10kN。梁的尺寸如圖示。試求拉桿BC所受的拉力和鉸鏈A處的約束反力。解：選取梁AB和載荷體一起為研究對象。除作用于梁AB上的已知力P，Q外，還受拉桿拉力T和鉸鏈A處的約束反力N的作用。因拉桿BC為二力桿，拉力T必沿BC連線；又因N方向未知，但總可作正交分解，得Nx，Ny。力N，T，P，Q可近似地認為分布于同一平面內(nèi)，故由它們構成的力系可視為平面一般力系。圖3-103-11因梁處于平衡，該力系必滿足平面一般力系的平衡方程，由(3-9)式得由(3)式得(4)式代入(1)得(4)式代入(2)得§3-4物體系的平衡前面已研究過各種平面力系的平衡問題，但都是針對單個剛體而言的，而在工程實際中，諸如組合構架、三鉸拱等都是由若干物體構成的平衡體系。這些由許多物體構成的系統(tǒng)稱為物體系。研究物體系平衡問題較之研究單個物體要復雜得多。它不僅要求出物體系所受的所有未知外力，而且在絕大多數(shù)情況下還要求出物體系內(nèi)部各物體之間的相互作用內(nèi)力?！?-4物體系的平衡為此，研究時則要求把某些物體單獨隔離開來。即使問題不要求求出內(nèi)力，對于某些物體系的平衡問題，有時也需要將物體分開處理，方能求出作用于物體系上的未知外力。對于一處于平衡的物體系，允許將一些物體單獨隔離來處理的依據(jù)是：當物體系處于平衡時，組成物體系的每一物體或物體系中若干物體構成的局部均處于平衡狀態(tài)。§3-5超靜定問題的概念當物體系處于平衡時，組成物體系的每一個物體均處于平衡狀態(tài)。對每一物體，如在平面一般力系作用下平衡，最多只能寫出3個獨立的平衡方程。如物體系由n個物體組成，也最多只能寫出3n個獨立平衡方程?！?-5超靜定問題的概念對每一種力系強調(diào)它的獨立平衡方程數(shù)，在解題時十分重要。當未知待求量數(shù)少于或等于獨立平衡方程數(shù)時，只需運用剛體靜力學的平衡條件，就可解出全部的未知待求量。這樣的問題稱為靜定問題。反之，如未知待求量的數(shù)目多于作用力系可能有的獨立平衡方程數(shù)，則僅用剛體靜力學的平衡條件就不可能求出全部待求未知量。對這一類的問題統(tǒng)稱為靜不定問題或超靜定問題。§3-6解決平面一般力系作用下單個剛體或物體系的平衡問題的途徑對平面一般力系作用下處于平衡的單個剛體或由若干剛體構成的物體系，能否用靜力學平衡方程求解，則取決于單個剛體或物體系是否靜定。對單個剛體而言，若未知量數(shù)少于或等于獨立平衡方程數(shù)，單個剛體是靜定的；對于物體系而言，是否靜定則取決于物體系中剛體的數(shù)目與約束的情況。求解平衡問題時，一般應判別問題是否靜定，因在剛體靜力學中只處理靜定問題，靜不定或超靜定問題屬于材料力學討論的范疇。物體系的平衡問題是靜力學理論的綜合應用，它的求解是以單個剛體平衡問題求解為基礎的。在§3-3節(jié)中討論平面一般力系平衡方程應用時，實際上是針對單個剛體的平衡問題的。求解單個剛體平衡問題的步驟為：(1)正確選擇研究對象；(2)解除約束作受力分析，繪制受力圖；(3)根據(jù)力系的類別選用平衡方程。鑒于求解物體系的平衡問題是以單個剛體平衡問題為基礎，故求解物體系平衡問題，只需注意物體系平衡問題的特點，仍采用求解單個剛體的平衡問題的基本步驟。物體系平衡問題的特點就是從物體系中選取若干研究對象。研究對象的選擇視問題性質(zhì)而定，要選擇適當、要合理排列出所取研究對象的順序，以利于求解簡捷。*§3-7平面簡單桁架在工程實際中，房屋建筑、橋梁、起重機、油田井架以及其他結構物常用桁架結構。桁架是一種由若干桿件彼此在兩端互相聯(lián)接而成且在受力后幾何形狀不變的結構。所有構成桁架的桿件處于同一平面的桁架，稱為平面桁架。桁架中桿件的相互聯(lián)接處，稱為節(jié)點。凡從桁架中任意摘去一根桿件后桁架會活動變形的，這種桁架稱為無余桿桁架(圖3-26(a))；凡從桁架中任意摘除某一根或某幾根桿件仍不會使桁架喪失形狀固定性的，這類桁架稱為有余桿桁架(圖3-26(b))。無余桿桁架是以三角形框架為基礎的。由圖可知，每增加一個節(jié)點就需增加兩根桿件(圖3-26(a))，這樣的桁架又稱為平面簡單桁架。圖3-26在平面簡單桁架中，桿件的數(shù)目m和節(jié)點數(shù)目n之間存在著一定的關系。由于基本三角形的桿件數(shù)和節(jié)點數(shù)都等于3，且每增加一個節(jié)點需增加兩根桿件，可見平面簡單桁架中新增添的桿件數(shù)(m-3)必為新增添的節(jié)點數(shù)(n-3)的兩倍，即一、節(jié)點法求桁架內(nèi)力節(jié)點法求桁架桿件內(nèi)力，一般采用以下步驟：(1)應先求出作用于桁架的支承約束反力。(2)逐個選取桁架節(jié)點作為研究對象。作節(jié)點受力圖。在標示作用于節(jié)點的內(nèi)力時，因事先不知待求未知內(nèi)力的指向，為統(tǒng)一起見，都假定桿件受拉，因此，各桿件施加于兩端節(jié)點上的力均被假定沿著桿件而背離節(jié)點。若某個未知內(nèi)力求出結果為負，則表明未知內(nèi)力的實際指向與原假定的指向相反，沿桿件指向節(jié)點。此時桿件受壓而不是受拉。(3)由于每個節(jié)點受平面匯交力系作用而平衡，平衡方程數(shù)為2，故只能確定兩個未知量。最好是每次都能把一個節(jié)點上所受全部未知力求出。選擇第一個節(jié)點一般應從只有兩根桿件相交的節(jié)點開始，用解析法或圖解法求出兩桿未知力的大小和方向。然后，取另一個節(jié)點，要求該點上的未知內(nèi)力不得多于兩個，按上述相同的方法求出該點的內(nèi)力。以此類推，逐個地進行節(jié)點的選取。最后一個節(jié)點不必考慮，但必要時可用來校核結果的正確性。二、截面法求桁架內(nèi)力截面法