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文檔簡介

平面向量

一、單選題

1.已知平面向量占(26+1,3),慶=(2,機(jī)),S.a//b,則實數(shù)用的值等于()

3332

A.2或—二C.一2或二B.-D.——

2227

【答案】B

【解析】

試題分析:因為則(2m+1)m—6=0,解得加=-2或g,故選B.

考點(diǎn):平面向量平行的充要條件.

【題型點(diǎn)睛】平面向量平行主要考查兩類題型:一是判斷或證明兩個向量平行;二是根

據(jù)兩個向量的平行關(guān)系求解參數(shù)值,如果向量是用坐標(biāo)表示的,就可以使用兩個向量平

行或垂直的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程,根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值.

2.已知點(diǎn)P在AABC內(nèi)(不含邊界),且而=x荏+y^Zq,yeR),則旺■的取

x+2

值范圍為()

A.(g,l)B.(;,1)C.(|-,1)D.

【答案】A

【解析】

0<x<1

試題分析:當(dāng)P在A3上時,x+y=l,因此當(dāng)P在AABC內(nèi)部時,有<0<y<l,

0<x+y<l

由M(x,y)在如圖所求AOPQ內(nèi)部(不含邊界),其中。(l,0),Q(0,l),出?表示

x+2

“。,丁)與點(diǎn)%(—2,-1)連線的斜率,kpN=L,kQN=1,所以[<上以<1.故選A.

33x+2

考點(diǎn):向量的線性運(yùn)算,簡單的線性規(guī)劃問題的非線性應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】本題首先考查向量的線性運(yùn)算性質(zhì),向量共線的性質(zhì),如當(dāng)P在A3上時,

x+y=l,從而得出當(dāng)P在AABC內(nèi)部時,滿足的約束條件,其次作出可行域是

解題常用方法,的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

x+2

3.已知菱形ABCO邊長為2,ZBAD=120°,點(diǎn)民戶分別在邊BC,£>C上,

BC=3BE,DC=2DF,則通.標(biāo)=()

A.-2B.2C.1

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合已知條件,以而,而為基底表示出亞,/,再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算,求得

AEAF-

【詳解】

33

AF^AD+DF=AD+-DC^AD+-AB,所以

22

AE-AF^[AB+-AD\-\AD+-AB\^-AB2+-AD2+-AB-AD^l.

I3A2J236

故選:c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

4.已知AAZ?。是邊長為"的正三角形,且

刀0=4而,俞=〃衣(九〃6R,4+4=1).設(shè)函數(shù)/(㈤=麗?麗,當(dāng)函數(shù)/(㈤

的最大值為-2時,。=()

A.472B.C,4GD.—

33

【答案】D

【解析】

【分析】

用麗,福表示出麗,用再0,而表示出G0,然后表示出〃4)=麗?加,代

入2+〃=1,得到關(guān)于;L的函數(shù),求出其最大值,令最大值等于-2,從而求出a的值.

【詳解】

BN=AN-AB,CM=AM-AC,

因為AA8C是邊長為。的正三角形,且砌=%而,AN=pAC

所以/(%)=的.而=(SV-AB).(AM-AC)

AM-AMAB-AN-AC+AB-AC

2c212

=_AUCT_A,Cl~-UCl~4--Cl~

22

又因;l+〃=l,代入4=1—%得

y(2)=1A(l-2)a2-2a2-(l-A)a2+^a2

-a2(-r+2-1)

2

所以當(dāng)時,/(4)取得最大,最大值為了a2

所以一3/=一2,解得“=拽,舍去負(fù)根.

83

故選D項.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的計算和表示,以及向量數(shù)量積,二次函數(shù)求最值,有一定的綜合性,屬

于中檔題.

.2..

5.在△ABC中,AB+ABBC<0,則aABC為

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

【答案】C

【解析】

試題分析:由已知7五(數(shù)+麗=瓶?而'<0,所以NA是鈍角,故4ABC為鈍角

三角形

考點(diǎn):向量、三角形形狀的判定

6.設(shè)meR,向量汗=(1,-2),b={m,m-2),若£JL方,則心等于()

22

A.一一B.-C.-4D.4

33

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.

【詳解】

因為a=(l,—2),b=(m,m—2)>且aJ_B,

所以aZ=(1,—2)?(m,m-2)=???-2(/n-2)=0,

化為4—機(jī)=0,解得加=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點(diǎn),主要命題方式有兩個:(1)兩向量平行,利

用玉%一%2乂=0解答;(2)兩向量垂直,利用工1々+M丁2=0解答.

7.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是且6=2,"+c?-/=比,若

8。邊上的中線AO=J7,則AA3C的外接圓面積為()

A.4兀B.7%C.12萬D.16%

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦定理求出A,由荏+無e=2而平方后可求得A8即c,再由已知求得。,結(jié)

合正弦定理可求得外接圓半徑,從而得外接圓面積.

【詳解】

Vb2+c2-a2=bc>;.cosA="十:,A=f.

2bc23

又。是3c中點(diǎn),?'?"='(礪+/),

2

,21.?01,2■.?2

AD=—(AB+AC)2=-(AB+2ABAC+AC),

44

即7=』(c2+2cx2xcose+22),解得c=4,

43

/.a2=b2+c2-2bccosA=22+42-2x2x4cos—=12,a=2>/3,

3

.2R=-^—=^-=4

??sinAsin工,/<=',

13

S—7rR2=4乃.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理、正弦定理,考查向量的線性運(yùn)算.解題關(guān)鍵是是利用向量線性運(yùn)算

把血表示為g(A?+W《),平方后易求得c=4.

8.已知點(diǎn)。為A4BC外接圓的圓心,角A,B,。所對的邊分別為“,。,且a=3,

若的?而=2,則當(dāng)角。取到最大值時A4BC的面積為()

A.75B.275C,而D.273

【答案】A

【解析】

【分析】

由意在可知方的?(心-麗)=的反-麗?麗,代入數(shù)量積的運(yùn)算公式

求c=6,再根據(jù)正弦定理說明A=90。時,sinC也取得最大值sinC=好,最后求

3

面積.

【詳解】

BOAC=Bd^BC-BAj=WBC-BdBA

=|fid|x|fic|xcosZOBC—|旃卜|麗卜cosNOBA

]_2」片#=2,

22

a=3,,c2=5nc=6

a_smA_3

旦A>C,

csinC5/5

當(dāng)sinA=l時,A=90時,sinC也取得最大值sin。=好,

3

此時,h=—c2=2

S&ABc=;bc=;x2x期=布.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積和面積公式,意在考查轉(zhuǎn)化與變形和分析問題,解決問題的能力,

asinA3

本題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦定理一=「;=-7二,且A>C,說明A=90°時,sinC也取

csinC

得最大值,后面的問題迎刃而解.

9.設(shè)兩個單位向量Z,石的夾角為等,則|39+4司=()

A.1B.713C.737D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

由囚+4邛=9£2+24£0+16不,然后用數(shù)量積的定義,將Z工的模長和夾角代入即

可求解.

【詳解】

I——12-2———22/r

|3a+4b|=9a+24a-b+\6b=9+24cos----1-16=13,

即13a+叫=V13.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模長,向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

UULJ7ULWfV

10.如圖,在ZUBC中,設(shè)A3=),AC=Z?,AP的中點(diǎn)為Q,8。的中點(diǎn)為R,CR

UUJtvv

的中點(diǎn)為P,若AP=ma+nb,則加+〃=()

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義,結(jié)合條件可得々;AP+2QR及

3_______24_

-AP-QR^b,解方程可求得衣=-1+—5,即可得到m,n的值,所以得到結(jié)果.

277

【詳解】

解:由題意可得通=2行,05=2保,

VAB=a=AQ+QB=^AP+2QR,①

__________________________i______3______

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+-AP-QR=-AP-QR=b,

一24-

由①②解方程求得AP=-a+-b.

77

h-UU?vv246

再由AP=ma+〃〃可得=于〃=亍,=亍.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的基底表示,向量共線,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,觀察能力,屬于中檔題.

二、填空題

11.如圖,在平面四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)0,E為線段A0的中點(diǎn).若

BE=ABA+^BD(4〃sR),貝!|/l+〃=.

【答案】|

【解析】

試題分析:曲=:(函+的)=;(而+/麗)=;麗+(而所以2,則

考點(diǎn):1.平面向量的運(yùn)算;2.平面向量基本定理;

12.已知向量M=(L—2)石=(一2,y),且J//5,貝!|附+2同=,

【答案】V5

【解析】

因為y=-2x(-2)=4,Ri+2可=|(一1,2)|=6

13.已知向量屈=(也1),比=(1,4),若通.配>11,則加的取值范圍為一.

【答案】(7,+8)

【解析】

【分析】

直接進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式求解即可.

【詳解】

ABBC=m+4>l1>解得m>7.

故答案為:(7,+8)

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.

14.在直角&中,ZC=90*?44=30",5c=1,。為斜邊加的中點(diǎn),則

ABCD=一?

【答案】-1

【解析】

通標(biāo)=(顯西.妒+而)=妒2_引="—㈣2卜_]

15.已知向量1=(2,-1),b=(l,k),若£“2£+可,則%=.

【答案】12

【解析】

【分析】

先求出2a+5的坐標(biāo),再根據(jù)£“2£+B),即可求得人值.

【詳解】

a=(2,—1),2a=(4,—2),2a+Z?=(5,-2+Z),

,:a_L(2a+0),a.(2a+b)=10-(-2+左)=0,解得k=12,

故答案為:12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握

水平,屬于基礎(chǔ)題若向量4=(4X)與向量6=(*2,M)垂直,則百巧

16.向量£=(-4,5),S=(2,l),若僅叫〃則a的值是.

4

【答案】一]

【解析】

【分析】

先算出的坐標(biāo),然后由(£一可〃行建立方程求解即可.

【詳解】

因為Z=(T,5),^=(2,1),

所以£-B=(Y-/l,4),

因為(£一可〃石,所以4%=T—;l,解得/l=—1

4

故答案為:一飛

【點(diǎn)睛】

若。=(百,%)石=(孫必),?!?,則王必=wx

三、解答題

17.已知向量£=(cosx,sinM,b=(-cosx,COSJO>"=(-1,0).

<D若求向量£工的夾角;

a

(2)當(dāng)丫吟曾時,求函數(shù)/(力=2小+1的值域.

【答案】⑴言(2)L-X/5,1]

【解析】

【分析】

【詳解】

(1)試題分析:根據(jù)公式cos〈a,c〉;~=代入數(shù)值計算(2)先化簡f(x)=2a-b+\=

\a\-\c\

岳inRT,然后求出2r-患季加,再根據(jù)函數(shù)圖形便可得到當(dāng)益->當(dāng),

即X=;時,於)max=l當(dāng)您―/夸,即X=與時,加)min=-近

試題解析:

解:(1)*/a=(cosx,siav),"=(—1,0),

?Aal=\/o(MAt+aiflAt=1,lcl=J-12+(P=L

當(dāng)v時,)=(鵬啕=停9

7"=率x(—l)+;x0=一率,cos〈2,2〉

222k|-|c|

=一更

2

?(chc)9,;?〈a,c>=.

a

(2)7U)=2£.坂+1=2(—cos2x+sinxcosx)+1

=2sinxcosx—(2cos2x—l)=sin2x—cos2x

二盡11L用

,?、喉曾沁辛降£

故siGT/f羽,

.,.當(dāng)次--即尸;時,段)mx=l

當(dāng)2%一[=手,即%=1時,J(x)min=-近

.?.f(x)的值域為[-也,1]

點(diǎn)睛:首先要熟悉向量的坐標(biāo)積運(yùn)算,夾角公式:cosQ,C〉=蠲,然后根據(jù)二倍

角公式,輔助角公式將函數(shù)化簡求出〃一£范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖形便可輕松求出問

18.已知方=(1,2),5=(-3,1).

(1)求萬一25;

⑵設(shè)萬石的夾角為仇求cose的值;

(3)若向量M+序與場互相垂直,求k的值.

【答案】(Z)(7,0);(2)—叵;(3)土立

502

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析:

⑴利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得=(7,0);

(2)利用平面向量的夾角公式可得cos。=-變;

10

(3)利用平面向量垂直的關(guān)系得到關(guān)于實數(shù)k的方程,解方程可得k=±—.

2

試題解析:

解:(I)S-2h=d.2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0);

na-b_lx(-3)+2xl

⑵。。電麗飛+同行

_a.

,

10

(3)因為向量M+序與汗—防互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=0

即a2-k2b2=0

因為〃2=5,b2=10>所以5-10無2=0=±=±---

2

點(diǎn)睛:求兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算;利用數(shù)量積

的幾何意義.具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇,同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)

用.

19.已知,平面上三個向量工11的模均為1,它們之間的夾角均為120。,

求:⑴證明

<2)|總+1+]|>1>(比6局,求k的取值范圍.

【答案】比<0或fc>2

【解析】

解:(1)證明:

<ajb>=<b?c>=<cta>=120°

.?.a-e^ap|ebcosl2O0=~

i-c^A|-|c|-cosl20°?—

——一——f一

j.(a-l>)'C=a-c-b-c=Q

:.(a-b)JLc

⑵?.]說+:+:|>I

二而+3+?”即k-景>0

20.已知向量£,看不共線,t為實數(shù).

(1)若礪=2OB=tb,OC^^a+b),當(dāng)f為何值時,A,B,C三點(diǎn)共線:

⑵若同一網(wǎng)=1,且]與五的夾角為120。,實數(shù)xe,求忖一詞的取值范

圍.

【答案】(1);(2)[y-,y-]

【解析】

試題分析:(1)因為A,8,C三點(diǎn)共線,則存在實數(shù)丸,使得反=4礪+(1-4)礪,

由此得到關(guān)于4f的方程,解方程即可得到答案.

(2)求出萬與5的數(shù)列積,然后將所求平方,轉(zhuǎn)為為萬與坂的模和數(shù)量積的運(yùn)算,利

用二次函數(shù)即可求出其取值范圍.

試題解析:(I)A3,C三點(diǎn)共線,則存在實數(shù);I,使得反=4次+(1-幾)礪,

111

即一(2+匕)=然+(1—;I)仍,則義=±,r=±

332

(II)由。=|a|-|/?|-cosl200=--^,則|訪產(chǎn)=萬?爐-2xa-h=x?+x+l,

因為xejl』,當(dāng)片」時,卜一詞的最小值為走

22112

當(dāng)彳=!時,忖一詞的最大值為立

2112

所以忖-詞的取值范圍是

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