2021屆人教a版 平面向量單元測試 (一)

平面向量

一、單選題

1.已知平面向量占(26+1,3),慶=(2,機(jī))，S.a//b,則實數(shù)用的值等于()

3332

A.2或—二C.一2或二B.-D.——

2227

【答案】B

【解析】

試題分析：因為則(2m+1)m—6=0,解得加=-2或g,故選B.

考點(diǎn)：平面向量平行的充要條件.

【題型點(diǎn)睛】平面向量平行主要考查兩類題型：一是判斷或證明兩個向量平行；二是根

據(jù)兩個向量的平行關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個向量平

行或垂直的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值.

2.已知點(diǎn)P在AABC內(nèi)(不含邊界)，且而=x荏+y^Zq,yeR),則旺■的取

x+2

值范圍為()

A.(g,l)B.(；,1)C.(|-,1)D.

【答案】A

【解析】

0<x<1

試題分析：當(dāng)P在A3上時，x+y=l,因此當(dāng)P在AABC內(nèi)部時，有<0<y<l,

0<x+y<l

由M(x,y)在如圖所求AOPQ內(nèi)部(不含邊界)，其中。(l,0),Q(0,l),出?表示

x+2

“。,丁)與點(diǎn)%(—2,-1)連線的斜率，kpN=L,kQN=1,所以［<上以<1.故選A.

33x+2

考點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，簡單的線性規(guī)劃問題的非線性應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】本題首先考查向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量共線的性質(zhì)，如當(dāng)P在A3上時，

x+y=l,從而得出當(dāng)P在AABC內(nèi)部時，滿足的約束條件，其次作出可行域是

解題常用方法，的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

x+2

3.已知菱形ABCO邊長為2,ZBAD=120°,點(diǎn)民戶分別在邊BC,￡>C上，

BC=3BE,DC=2DF,則通.標(biāo)=()

A.-2B.2C.1

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合已知條件，以而，而為基底表示出亞，/，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得

AEAF-

【詳解】

33

AF^AD+DF=AD+-DC^AD+-AB,所以

22

AE-AF^[AB+-AD\-\AD+-AB\^-AB2+-AD2+-AB-AD^l.

I3A2J236

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知AAZ?。是邊長為"的正三角形，且

刀0=4而，俞=〃衣(九〃6R,4+4=1).設(shè)函數(shù)/(㈤=麗?麗，當(dāng)函數(shù)/(㈤

的最大值為-2時，。=()

A.472B.C,4GD.—

33

【答案】D

【解析】

【分析】

用麗，福表示出麗，用再0,而表示出G0,然后表示出〃4)=麗?加，代

入2+〃=1,得到關(guān)于;L的函數(shù)，求出其最大值，令最大值等于-2,從而求出a的值.

【詳解】

BN=AN-AB,CM=AM-AC,

因為AA8C是邊長為。的正三角形，且砌=%而，AN=pAC

所以/(%)=的.而=(SV-AB).(AM-AC)

AM-AMAB-AN-AC+AB-AC

2c212

=_AUCT_A,Cl~-UCl~4--Cl~

22

又因;l+〃=l,代入4=1—%得

y(2)=1A(l-2)a2-2a2-(l-A)a2+^a2

-a2（-r+2-1）

2

所以當(dāng)時，/（4）取得最大，最大值為了a2

所以一3/=一2,解得“=拽，舍去負(fù)根.

83

故選D項.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的計算和表示，以及向量數(shù)量積，二次函數(shù)求最值，有一定的綜合性，屬

于中檔題.

.2..

5.在△ABC中，AB+ABBC<0,則aABC為

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

【答案】C

【解析】

試題分析：由已知7五（數(shù)+麗=瓶?而'<0,所以NA是鈍角，故4ABC為鈍角

三角形

考點(diǎn)：向量、三角形形狀的判定

6.設(shè)meR,向量汗=（1,-2）,b={m,m-2）,若￡JL方，則心等于（）

22

A.一一B.-C.-4D.4

33

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.

【詳解】

因為a=(l,—2),b=(m,m—2)>且aJ_B，

所以aZ=(1,—2)?(m,m-2)=???-2(/n-2)=0,

化為4—機(jī)=0,解得加=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：(1)兩向量平行，利

用玉%一%2乂=0解答；(2)兩向量垂直，利用工1々+M丁2=0解答.

7.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是且6=2,"+c?-/=比，若

8。邊上的中線AO=J7,則AA3C的外接圓面積為()

A.4兀B.7%C.12萬D.16%

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦定理求出A，由荏+無e=2而平方后可求得A8即c,再由已知求得。，結(jié)

合正弦定理可求得外接圓半徑，從而得外接圓面積.

【詳解】

Vb2+c2-a2=bc>；.cosA="十：,A=f.

2bc23

又。是3c中點(diǎn)，?'?"='(礪+/)，

2

,21.?01,2■.?2

AD=—(AB+AC)2=-(AB+2ABAC+AC),

44

即7=』(c2+2cx2xcose+22),解得c=4,

43

/.a2=b2+c2-2bccosA=22+42-2x2x4cos—=12，a=2>/3,

3

.2R=-^—=^-=4

??sinAsin工，/<='，

13

S—7rR2=4乃.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理、正弦定理，考查向量的線性運(yùn)算.解題關(guān)鍵是是利用向量線性運(yùn)算

把血表示為g（A?+W《），平方后易求得c=4.

8.已知點(diǎn)。為A4BC外接圓的圓心，角A,B,。所對的邊分別為“，。，且a=3,

若的?而=2,則當(dāng)角。取到最大值時A4BC的面積為（）

A.75B.275C,而D.273

【答案】A

【解析】

【分析】

由意在可知方的?（心-麗）=的反-麗?麗，代入數(shù)量積的運(yùn)算公式

求c=6,再根據(jù)正弦定理說明A=90。時，sinC也取得最大值sinC=好，最后求

3

面積.

【詳解】

BOAC=Bd^BC-BAj=WBC-BdBA

=|fid|x|fic|xcosZOBC—|旃卜|麗卜cosNOBA

]_2」片#=2,

22

a=3，，c2=5nc=6

a_smA_3

旦A>C,

csinC5/5

當(dāng)sinA=l時，A=90時，sinC也取得最大值sin。=好,

3

此時，h=—c2=2

S&ABc=；bc=；x2x期=布.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積和面積公式，意在考查轉(zhuǎn)化與變形和分析問題，解決問題的能力,

asinA3

本題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦定理一=「;=-7二，且A>C,說明A=90°時，sinC也取

csinC

得最大值，后面的問題迎刃而解.

9.設(shè)兩個單位向量Z,石的夾角為等，則|39+4司=()

A.1B.713C.737D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

由囚+4邛=9￡2+24￡0+16不，然后用數(shù)量積的定義，將Z工的模長和夾角代入即

可求解.

【詳解】

I——12-2———22/r

|3a+4b|=9a+24a-b+\6b=9+24cos----1-16=13,

即13a+叫=V13.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模長，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

UULJ7ULWfV

10.如圖，在ZUBC中，設(shè)A3=),AC=Z?,AP的中點(diǎn)為Q,8。的中點(diǎn)為R,CR

UUJtvv

的中點(diǎn)為P,若AP=ma+nb，則加+〃=()

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，結(jié)合條件可得々；AP+2QR及

3_______24_

-AP-QR^b,解方程可求得衣=-1+—5,即可得到m,n的值，所以得到結(jié)果.

277

【詳解】

解：由題意可得通=2行,05=2保，

VAB=a=AQ+QB=^AP+2QR,①

__________________________i______3______

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+-AP-QR=-AP-QR=b,

②

一24-

由①②解方程求得AP=-a+-b.

77

h-UU?vv246

再由AP=ma+〃〃可得=于〃=亍,=亍.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的基底表示，向量共線，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，觀察能力，屬于中檔題.

二、填空題

11.如圖，在平面四邊形ABCD中，AC,BD相交于點(diǎn)0,E為線段A0的中點(diǎn).若

BE=ABA+^BD（4〃sR）,貝！|/l+〃=.

【答案】|

【解析】

試題分析：曲=:（函+的）=；（而+/麗）=；麗+（而所以2,則

考點(diǎn)：1.平面向量的運(yùn)算；2.平面向量基本定理；

12.已知向量M=（L—2）石=（一2,y）,且J//5,貝！|附+2同=,

【答案】V5

【解析】

因為y=-2x（-2）=4,Ri+2可=|（一1,2）|=6

13.已知向量屈=（也1）,比=（1,4）,若通.配>11，則加的取值范圍為一.

【答案】（7,+8）

【解析】

【分析】

直接進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式求解即可.

【詳解】

ABBC=m+4>l1>解得m>7.

故答案為：（7,+8）

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

14.在直角&中，ZC=90*?44=30"，5c=1，。為斜邊加的中點(diǎn)，則

ABCD=一?

【答案】-1

【解析】

通標(biāo)=（顯西.妒+而）=妒2_引="—㈣2卜_]

15.已知向量1=（2,-1）,b=（l,k）,若￡“2￡+可，則％=.

【答案】12

【解析】

【分析】

先求出2a+5的坐標(biāo)，再根據(jù)￡“2￡+B）,即可求得人值.

【詳解】

a=（2,—1）,2a=（4,—2）,2a+Z?=（5,-2+Z）,

,:a_L（2a+0）,a.（2a+b）=10-（-2+左）=0,解得k=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握

水平,屬于基礎(chǔ)題若向量4=（4X）與向量6=（*2,M）垂直，則百巧

16.向量￡=（-4,5）,S=（2,l）,若僅叫〃則a的值是.

4

【答案】一］

【解析】

【分析】

先算出的坐標(biāo)，然后由（￡一可〃行建立方程求解即可.

【詳解】

因為Z=（T,5）,^=（2,1）,

所以￡-B=（Y-/l,4）,

因為（￡一可〃石，所以4%=T—；l,解得/l=—1

4

故答案為：一飛

【點(diǎn)睛】

若。=(百,%)石=(孫必)，?！?，則王必=wx

三、解答題

17.已知向量￡=(cosx,sinM,b=(-cosx,COSJO>"=(-1,0).

<D若求向量￡工的夾角；

a

(2)當(dāng)丫吟曾時，求函數(shù)/(力=2小+1的值域.

【答案】⑴言(2)L-X/5,1]

【解析】

【分析】

【詳解】

(1)試題分析：根據(jù)公式cos〈a,c〉；~=代入數(shù)值計算(2)先化簡f(x)=2a-b+\=

\a\-\c\

岳inRT，然后求出2r-患季加,再根據(jù)函數(shù)圖形便可得到當(dāng)益->當(dāng),

即X=；時，於)max=l當(dāng)您―/夸，即X=與時，加)min=-近

試題解析：

解：(1)*/a=(cosx,siav),"=(—1,0),

?Aal=\/o(MAt+aiflAt=1,lcl=J-12+(P=L

當(dāng)v時,)=(鵬啕=停9

7"=率x(—l)+；x0=一率，cos〈2,2〉

222k|-|c|

=一更

2

?(chc)9，；?〈a,c>=.

a

(2)7U)=2￡.坂+1=2(—cos2x+sinxcosx)+1

=2sinxcosx—(2cos2x—l)=sin2x—cos2x

二盡11L用

,?、喉曾沁辛降￡

故siGT/f羽,

.,.當(dāng)次--即尸；時，段)mx=l

當(dāng)2%一［=手，即%=1時,J(x)min=-近

.?.f(x)的值域為［-也，1］

點(diǎn)睛：首先要熟悉向量的坐標(biāo)積運(yùn)算，夾角公式：cosQ,C〉=蠲，然后根據(jù)二倍

角公式，輔助角公式將函數(shù)化簡求出〃一￡范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖形便可輕松求出問

題

18.已知方=(1,2),5=(-3,1).

(1)求萬一25;

⑵設(shè)萬石的夾角為仇求cose的值；

(3)若向量M+序與場互相垂直，求k的值.

【答案】(Z)(7,0)；(2)—叵;(3)土立

502

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：

⑴利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得=(7,0)；

(2)利用平面向量的夾角公式可得cos。=-變；

10

歷

(3)利用平面向量垂直的關(guān)系得到關(guān)于實數(shù)k的方程，解方程可得k=±—.

2

試題解析：

解:(I)S-2h=d.2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0)；

na-b_lx(-3)+2xl

⑵。。電麗飛+同行

_a.

,

10

(3)因為向量M+序與汗—防互相垂直，所以(a+kb)(a-kb)=0

即a2-k2b2=0

因為〃2=5,b2=10>所以5-10無2=0=±=±---

2

點(diǎn)睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積

的幾何意義.具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)

用.

19.已知，平面上三個向量工11的模均為1,它們之間的夾角均為120。，

求：⑴證明

<2)|總+1+]|>1>(比6局,求k的取值范圍.

【答案】比<0或fc>2

【解析】

解：(1)證明：

<ajb>=<b?c>=<cta>=120°

.?.a-e^ap|ebcosl2O0=~

i-c^A|-|c|-cosl20°?—

星

——一——f一

j.(a-l>)'C=a-c-b-c=Q

:.(a-b)JLc

⑵?.]說+:+:|>I

二而+3+?”即k-景>0

20.已知向量￡,看不共線，t為實數(shù).

(1)若礪=2OB=tb，OC^^a+b),當(dāng)f為何值時，A,B,C三點(diǎn)共線：

⑵若同一網(wǎng)=1,且]與五的夾角為120。，實數(shù)xe,求忖一詞的取值范

圍.

【答案】(1)；(2)[y-，y-]

【解析】

試題分析：(1)因為A,8,C三點(diǎn)共線，則存在實數(shù)丸，使得反=4礪+(1-4)礪，

由此得到關(guān)于4f的方程，解方程即可得到答案.

(2)求出萬與5的數(shù)列積，然后將所求平方，轉(zhuǎn)為為萬與坂的模和數(shù)量積的運(yùn)算，利

用二次函數(shù)即可求出其取值范圍.

試題解析：（I）A3,C三點(diǎn)共線，則存在實數(shù)；I,使得反=4次+（1-幾）礪,

111

即一（2+匕）=然+（1—；I）仍,則義=±,r=±

332

（II）由。=|a|-|/?|-cosl200=--^,則|訪產(chǎn)=萬?爐-2xa-h=x?+x+l,

因為xejl』，當(dāng)片」時，卜一詞的最小值為走

22112

當(dāng)彳=!時，忖一詞的最大值為立

2112

所以忖-詞的取值范圍是

考