2022年湖南省永州市大麻中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2022年湖南省永州市大麻中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末

試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

7T7T

1.已知a,b《R,函數(shù)f(x)=tanx在x=-4處與直線y=ax+b+2相切，設(shè)g(x)=-

bxlnx+a在定義域內(nèi)()

11j.1

A.極大值eB.有極小值eC.有極大值2-eD.有極小值2-手

參考答案：

考點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象.

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

]冗

分析：先求出f'(x)=cos2/x,再由條件根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a=f'(-4)

K

=2.再把切點(diǎn)(-N,2)代入切線方程求得b,可得g(x)解析式.再根據(jù)g'(x)的

符號(hào)，求出g(x)的單調(diào)區(qū)間，從而求得g(x)的極值.

1

解答：解：由函數(shù)f(x)=tanx,可得f'(x)=cosx.

nnIT

再根據(jù)函數(shù)f(x)=tanx在x=-4處與直線y=ax+b+2相切，可得a=f7(-4)=2.

Kn

再把切點(diǎn)(-4,2)代入直線y=ax+b+2,可得b=-1,，g(x)=xlnx+l,g'(x)

=lnx+l.

_111

令g'(x)=lnx+l=0,求得x=e,在(0,e)上，g'(x)<0,在(e,+°°)上，g'

(x)>0,

_11

故g(x)在其定義域(0,+8)上存在最小值為g(e)=2-e,

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)

題.

?2)(-4-nuO*

展開式中2項(xiàng)的系數(shù)是

2.X40,則實(shí)數(shù)〃?的值為()

A.v'2B.2C.D.+2

參考答案:

C

2I?1?

(x+2X--mx)(--mx).y,__

展開式中x2項(xiàng)是由T的展開式中常數(shù)項(xiàng)與、的二次卬，由

(二?mx)?

的展開式中二次項(xiàng)與L、一?二的常數(shù)項(xiàng)所組成的.

(--mx/點(diǎn),(―(~1??)'(七"'°

、：的展開式的通項(xiàng)公式為：尸一

10

令3r-10=0,解得r=T,不合題意，應(yīng)舍去;

令3r-10=2,解得r=4,

2J

(x?2X"Z?mx)A

'的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為2?(-m)小=40,即n?=4,

解得m=±v'2.

故答案為：C

3.(】+"+妙)”展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為243,不含y的項(xiàng)的系數(shù)絕

對(duì)值

的和為32,則％b潭的值可能為

A.a=2,b=—L%=5B.

c.a=-1,6=2,”6D.=2,”5

參考答案：

D

.1.1

t^=logj-.c=logi-

4.已知4=23,3)3,則

A.a>b>cB_a>c>bc.c>a>b

D.c>b>a

參考答案：

c

：因?yàn)??=2-葭2°,故'="心？"俎1=。，故

,1,1,

c=log)->logi-=l

b<0,5352，故e>l.故c>a>b,故選c.

5.拋物線2P的焦點(diǎn)與雙曲線3'的右焦點(diǎn)的連線交G于第一象

限的點(diǎn)”，若G在點(diǎn)M處的切線平行于G的一條漸近線，則,=

y/3y/34j3

A.TB16C.亍

26

D.亍

參考答案：

C

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)尸與雙曲線的右焦點(diǎn)月及點(diǎn)“的坐標(biāo)分別為

P1173

2故由題設(shè)可得在切點(diǎn)M處的斜率為P，則P3,

75iPP1

即r3,故36,依據(jù)2r共線可得4』3,

=在

所以,一亍，故應(yīng)選C.

6.執(zhí)行如圖的算法程序框圖，輸出的結(jié)果是（）

A.2"-2B.2"-1C.210-2D.210-1

參考答案：

A

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量s的

值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案.

【解答】解：當(dāng)k=l時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，S=22-2,k=2；

當(dāng)k=2時(shí),滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，s=23-2,k=3；

當(dāng)k=3時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，s=2'-2,k=4；

當(dāng)k=4時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，S=25-2,k=5；

當(dāng)k=5時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，s=2'-2,k=6；

當(dāng)k=6時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，s=2-2,k=7；

當(dāng)k=7時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，s=2s-2,k=8；

當(dāng)k=8時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，S=29-2,k=9

當(dāng)k=9時(shí),滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,s=210-2,k=10；

當(dāng)k=10時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，s=2"-2,k=ll；

當(dāng)k=ll時(shí)，不滿足行循環(huán)的條件，

故輸出的s值為2"-2,

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬

程序法進(jìn)行解答.

7.下列函數(shù)中在區(qū)間（°，叫上單調(diào)遞增的是

fiY

yzI

A.y=smxB.y=1°g3xc.P=--D.

參考答案：

B

8.定積分,oVx（2-x）dx的值為（）

7T.

A.4B.2C.”D.2n

參考答案：

A

【考點(diǎn)】定積分.

【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)的定積分的幾何意義，所圍成的幾何圖形的面積是的四分之一，計(jì)算即可.

【解答】解：???yHx（2-x）,

A（X-1）對(duì)2刁表示以（1,0）為圓心，以1為半徑的圓，

...定積分JJx（2-X）dx所圍成的面積就是該圓的面積的四分之一，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了定積分的幾何意義，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

9,函數(shù)/（無(wú)）是定義在（8,0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為fGO且有

3/（x）W（x）＜0,

則不等式的解集為()

A(-2018,-2016)B(-?,-2018)((-2016,-2015)1)(-m,-2012)

參考答案：

A

10.(2016鄭州一測(cè))已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為網(wǎng)、招，過(guò)點(diǎn)

里的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若訴你是以d為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則橢圓

的離心率為()

正

A.2B.2-瓜C.6-2

D.y/i—y/i

參考答案：

D

設(shè)|格=尢盟=『

若傅是以/為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

...網(wǎng)=禹|=*,|國(guó)=右

由橢圓的定義可知Mi?的周長(zhǎng)為4i,

:.4a=2miyf2m,?=2(2-揚(yáng)a.

.陷|=2aiwQ2"

...四\|愿舊鶴『，

...<2_折/+4(6_爐/=4c】，

.,.e5=9-6.1,e='6一@.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)本市小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行了調(diào)查，設(shè)平均每人每天做作業(yè)的

時(shí)間為X分鐘.有1000名小學(xué)生參加了此項(xiàng)調(diào)查，調(diào)查所得數(shù)據(jù)用程序框圖處理,

若輸出的結(jié)果是680,則平均每天做作業(yè)的時(shí)間在0?60分鐘內(nèi)的學(xué)生的頻率

/1呼必

Iwi

是

參考答案:

0.32

略

（71）

y=tan--x

12.函數(shù).141的單調(diào)遞減區(qū)間是,

參考答案：

（tn,,3n\

kn一一kn十—

I44）（i€Z）

了一240

x+3AOx+jr-6

13.已知變量毛丁滿足約束條件lx-'-I4°,則I的最大值

是.

參考答案：

13

￥

y<x

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件1以+尸+￡￡0,（k為常數(shù)），若Z=x+31y得最大值

為8,則1<=o

參考答案：

-6

15.已知函數(shù)/“）=27”）lnx-x,則/（x）的極大值為.

參考答案：

16.（5分）（2015?泰州一模）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足小丑,cWO,則a-2c的取值范

圍為.

參考答案:

【考點(diǎn)】：基本不等式.

【專題】：不等式的解法及應(yīng)用.

（且）2+（也）2a

【分析】：實(shí)數(shù)a,b,c滿足l+bJc=cWO,化為cc=1,令c=cos0,

b

7

bba_2sin8

c=sin0,0e[0,2it）.可得k=a-2c=c=cos8-2,表示點(diǎn)p（2,0）與圓

x2+y2=l上的點(diǎn)連線的在的斜率.利用直線與圓的位置關(guān)系即可得出.

解：?..實(shí)數(shù)a,b,c滿足d+btz,cWO,

（月）2+世）2

cc=1

_ab

令c=cos6,c=sinO,0e[0,2n）.

b

.?.k=a-2c<=cos8-2,表示點(diǎn)p(2,0)與圓x'+y』上的點(diǎn)連線的直線的斜率.

設(shè)直線1：y=k(x-2),

二41

則71+小,

[-V3近1

故答案為：3'3」.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了三角函數(shù)換元法、直線的斜率計(jì)算公式、直線與圓的位置關(guān)系、

點(diǎn)到直線的距離公式，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

17.若將函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x的圖象向左平移4>個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

則。的最小正值是.

參考答案：

兀

T

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(sx+巾)的圖象變換.

【分析】將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn)后，根據(jù)平移變換的規(guī)律，得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，利用誘導(dǎo)公

式可得答案.

【解答】解：函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x=V2sin(2x+4),向左平移4)個(gè)單位，可得

_2L

&sin(2x+2*+-r),

要使所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

冗冗n1

+kK1

/.2(D+T=T,即八丁皇冗(日)

兀

當(dāng)k=0時(shí)，可得*的最小正值為兩二

7T

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)尸Asin（3x+6）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.已知函數(shù)f（x）=-x,ax-41nx-a+1（a^R）.

/1、f（4-）+f（2）=01Vl/擊

（1）若2,求a的值；

e3+件

（2）若存在x。、、'2'，使函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x0,f（X。））和點(diǎn)

（~-->f）

X。，x0處的切線互相垂直，求a的取值范圍；

（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,+8）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是否存在實(shí)數(shù)m,使f（x）<m

對(duì)任意的xG[l,+8）恒成立？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案：

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【分析】（1）若代入計(jì)算，建立方程，即可求a的值;

911n

a-6(xQ+—)a+8(x0+—)+5=0

(2)利用切線互相垂直，整理得x0x0，設(shè)f(t)=8t、

6at+a2+5,則f(t)在te(2,3)上有零點(diǎn)，考慮到f(2)=32-12a+a%5=(a-6)2+1

2〈資〈3

伴)3

皤）《。或O

>0,所以即可解得a的取值范圍;

（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,+8）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，g（x）在區(qū)間（1,+8）上有兩

個(gè)不同零點(diǎn)，求出a的取值范圍，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）由￡（彳）+,（2）=°得,

In-^—a+1)+(-4+2a-41n2-a+l)=(_9

解得&而…

4

f'(x0)=a-2x0

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),x0,

y7

f(x0)f(—)=-l(a-2x0^-)(a---4x0)=-l

由題意得x0,即x0x0

9119

a-6(x0+—)a+8(x0+—)+5=0

整理得x0x0,

t=x0-H^-x€(1,"V5)

設(shè)x0,由x。2),得te⑵3),

則有8t2-6at+a?+5=0,…

設(shè)f(t)=8t2-6at+a2+5,則f(t)在tG(2,3)上有零點(diǎn)，考慮到f(2)=32-

12a+a2+5=(a-6)2+l>0,

2<4T-<3S

8和3

3as

所以或［f⑶<0,解得入伍?8或8.V11,

所以a的取值范圍是［2近3，11)…

尸(x)-x+』-2x+axY

(3)xx

令g(x)=-2x2+ax-4,由題意，g(x)在區(qū)間(1,+°°)上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

△=a2-32>0

鏟1

則有［g⑴=-6+a<0,解得4^<a<6…

設(shè)函數(shù)f(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)為Xi和X2,

則X1和X2是g(x)在區(qū)間(1,+8)上的兩個(gè)不同零點(diǎn)，

不妨設(shè)xVxz,則-2x2+ax2-4=0①，

二a+Ja2_32

得-4且關(guān)于a在（外巧，6）上遞增,

因此2）…

a=2xn-^~

又由①可得*2②，

當(dāng)xG(1,xD時(shí)，g(x)<0,f'(x)<0,f(x)遞減；xG(xl(x2)時(shí)，g(x)>

0,F(x)>0,f(x)遞增；

當(dāng)xG(x,,+8)時(shí)，g(x)<0,f'(x)<0,f(x)遞減，

結(jié)合②可得

2224

［f(x)］極大值=f(82)=-乂2+&乂2-41”2-&+1=-乂2+2乂2+4-4102-2乂2^---+1

x2=

nA

-

X22X2---41nx2+5,x2€(V2?2)

x2???

h(x)=x2-2x-^-4lnx+5,x€(加,2)

設(shè)x，

h'(x)=2x-2V±"l)，-2)〉。

則x，xx",

所以h(x)在(、歷，2)上遞增，

所以h(6)<f(x2)<h(2),從而h(&)=7-4詢-21n2,h(2)=3-41n2>(.

所以f(X2)E(7-4&-21n2,3-41n2)

又f(1)=0,所以存在m23-41n2,使f(x)<m,

綜上，存在滿足條件的m,m的取值范圍為［3-41n2,+~)…

19.(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐尸-43CD中，底面用CD是直角梯形，NQAB=90?，ADHBC,

BC--AD

4D_L側(cè)面246,△248是等邊三角形，DA=AB=2,2,E是線段

48的中點(diǎn).

(I)求證：PELCD.

(II)求尸C與平面如￡所成角的正弦值.

p

參考答案：

(I)證明：因?yàn)?Z)_L側(cè)面248,尸Eu平面E45,

所以4DJLFE.

又因?yàn)椤?48是等邊三角形，E是線段45的中點(diǎn)，所以

因?yàn)樾目跒?=人,所以P&JL平面9CD.

而8u平面期CD,所以PELCD...................................................................5分

(H)解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-磨.

'f則砍0,0,0),C(l,-l0),0(210),尸(0,0.W).

麗=(U0),而=(0,0血PC=(1,-1-^).

設(shè)"=(XJZ)為平面尸打￡的法向量.

令x=l,可得”=（L-2,0）.....................................9分

設(shè)尸C與平面PDE所成的角為&

sin6=Icos<PC,n>1=?尸1[=—

1?5.

3

所以PC與平面凡出所成角的正弦值為5.......................................................12分

20.（12分）（2013?蘭州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中,PAJ_平面ABCD,底面

ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=6O".

（I）求證：PAC；

（口）若PA=AB,求棱錐C-PBD的高.

參考答案：

解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACLBD.

又因?yàn)镻A_L平面ABCD,所以PA_LBD.

又PAC1AC=A,所以BDJ_平面PAC....（6分）

（II）解：???VCPBD=VP.CBD，設(shè)棱錐C-PBD的高為h,

.?.飄入PBD寺AYACBD…4分）

VPA=AB,AB=2,ZBAD=60°,

；.PB=PD=2近，BD=2

,SAPBD4BDJPB2-（婀2=V?SACB忌BD.暴C=?

(10分)

SAPBD7.

即棱錐C-PBD的高為7....（12分）

略

21.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，/BCD=60'，E是CD的中

點(diǎn)，PA~L底面ABCD,PA=2.

(1)證明：平面PBE，平面PAB；

(2)求PC與平面PAB所成角的余弦值。

(1)利用面面垂直的判定定理來(lái)證明，

(2)過(guò)點(diǎn)C作CF±AB于F,曲PF.則距二，