2021年浙江省高考數(shù)學模擬試卷（學生版+解析版）五（4月份）

2021年浙江省高考數(shù)學模擬試卷（5）（4月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40分）

1.（4分）已知全集。=/?,集合A={x|x>0},8={x|0<x<l},則@A）|jB=（）

A.{x|0<x<1}B.[x\x,,0}C.{x|x<1}D.R

2.（4分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2-i,則z?（l+2i）的共輾復(fù)數(shù)為（）

A.2+iB.4+3zC.4-3/D.-4-3/

3.（4分）己知直線a,b,m,其中aua,bua.則是"帆_Lc

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

8C.,D.+

-7V

33

5.(4分)記(2—x)7=a。+q(1+x)+.......+%(1+x)7,則a。+4+劣+....+%,的值為(

)

A.1B.2C.129D.2188

x-2y+l..O

6.（4分）已知不等式組卜,2表示的平面區(qū)域為。，若函數(shù)y=|x-1|十m的圖象上

x+y—1..0

存在區(qū)域。上的點，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[0,B.[-2,C.[-1）|]D.[-2,1]

7.（4分）甲、乙、丙、丁四個人到A,B,C三個景點旅游，每個人只去一個景點，每個

景點至少有一個人去，則甲不到A景點的方案有（）

A.18種B.12種C.36種D.24種

8.（4分）設(shè)橢圓C：r+4=l（a>6>。）的右焦點為尸，橢圓C上的兩點A、3關(guān)于原點

a'b'

對稱，且滿足雨?用=0,|FB阿科|2\FB\,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.百，奉B.1）C.嚀，V3-1]D.[V3-1,1）

9.（4分）已知函數(shù)/（幻=[臂二力'：>1,則方程“/（X））-2"（X）+3]=O的實根個數(shù)為（

[2+1,蒼，14

）

A.3B.4C.5D.6

10.（4分）已知直三棱柱ABC-A4G的側(cè)棱長為6,且底面是邊長為2的正三角形，用一

平面截此棱柱，與側(cè)棱朋，BB、,CC「分別交于三點M,N,Q,若AMNQ為直角三

角形，則該直角三角形斜邊長的最小值為（）

A.2A/2B.3C.273D.4

二、填空題（本大題共7小題，共36分，單空題每題4分，多空題每題6分）

11.（4分）若實數(shù)x、y滿足4'+4>=26+22，則S=2'+2V的取值范圍是.

12.（4分）已知拋物線V=4x,焦點記為尸，過點尸作直線/交拋物線于A,8兩點，則

IAF\-——的最小值為___.

IBF\

13.（4分）如圖，在四邊形ABCD中，4?=CD=1,點N分別是邊4）,3C的中點，

延長和CD交M0的延長線于不同的兩點P,Q,則用?（通-配）的值為.

B

14.(6分)雙曲線C：V—￡=i的漸近線方程為,設(shè)雙曲線6：1一［=1(4>0力>0)

經(jīng)過點(4,1),且與雙曲線C具有相同漸近線，則雙曲線C1的標準方程為一.

15.(6分)設(shè)數(shù)列｛〃,,｝滿足6+3見+—+(2〃-1)4=2”.｛4｝的通項為=,數(shù)列｛-^｝

前n項和是,

16.(6分)隨機變量X的分布列如表:

其中a,b,c成等差數(shù)列，則尸(|X|=1)=,方差的最大值是.

17.(6分)函數(shù)f(x)=Asin(a)x+s)(A>0,<y>0.一萬<9<。)的部分圖象如圖所示，則

9=—，為了得到g(x)=Acosox的圖象，需將函數(shù)y=/(x)的圖象最少向左平移一個

單位.

2

n

Tl

四、解答題(本大題共5小題，共74分)

18.已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=6，

sinB-sinAh-c

sinCa+b

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求人+c的取值范圍.

19.在三棱錐A-BCZ)中，AB=AD=BD=2,BC=DC=42,AC=2.

(1)求證：

(2)若點P為AC上一點，且AP=3PC,求直線3P與平面ACE)所形成的角的正弦值.

20.已知函數(shù)/(x)=+(a-2)e*-x.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/*)有兩個零點，求a的取值范圍.

21.已知橢圓C的方程為、+/=l(a>b>0),P(l[)在橢圓上，離心率6=弓，左、

右焦點分別為月、F,.

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線>=近伏>0)與橢圓C交于A,8,連接AG，并延長交橢圓C于。，E,

連接DE,求與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

22.我們稱滿足：all+l-k=(-1/(??-a；)(〃eN*)的數(shù)列｛%｝為“％級夢數(shù)列”.

(1)若｛〃｝是“1級夢數(shù)列”且q=2.求：—------二和」------匚的值；

a2-1a3-1a4-1a3-1

⑵若｛4｝是"1級夢數(shù)列”且滿足1<?,<3,L+-L+…+」-=2,求438-44的最

2q出%oi7

小值；

(3)若｛a｝是“0級夢數(shù)列”且,設(shè)數(shù)列｛/｝的前"項和為S”.證明：

“?2"

―1—微隹一1—(nwN*).

2(〃+2)n2(〃+1)

2021年浙江省高考數(shù)學模擬試卷（5）（4月份）

參考答案與試題解析

一、單選題（本大題共10小題，共40分）

1.（4分）已知全集。=/?,集合A={x|x>0},B={x|0<x<l},則@A）|jB=（）

A.{x|O<x<l}B.{x|A;,0}C.{x|x<1}D.R

__.

【解答】解：C04={x|x,0}-1012.?.（G/A）U8={X|X<1}故

選：C.

2.（4分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2-i,則z?（l+2i）的共蒯復(fù)數(shù)為（）

A.2+zB.4+3ZC.4-3zD.-4-3/

【解答】解：「二？-，,

z.（l+2i）=（2-/）（1+2z）=4+3z.

.?.z.（l+2i）的共輾復(fù)數(shù)為4-3i.

故選：C.

3.（4分）己知直線a,b,m,其中aua,bua.則“,m_1_匕”是"〃z_La

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當a,人不是相交直線時，若帆_La,mA.b,則,〃_1_。不一定成立，

若則m_La,成立，

則“機_La,mA-b"是amA.an的必要不充分條件，

故選：B.

4.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

333

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為組合體，左半部分為四分之一圓柱，右半部分為二分之一圓錐，

且圓柱與圓錐的底面半徑均為2,高為2.

則該兒何體的體積是丫=』獷22*2+4,獷22乂2=坦.

4233

5.（4分）記（2-%）,=4+4（l+x）+....+%（l+x）7,則4+4+&+....+4的值為（

）

A.1B.2C.129D.2188

【解答】解：記(2—X)，=/+q(1+元)+…+%(1+X)，=—[―3+(x+1)]',/.%=—C；=—1,

貝!j令x=0,可得/+4+。2+…+/+%=/+4+。2+…+。6-1=27=128,

則4+4+生+…+4=129，

故選：C.

x-2y+l..O

6.（4分）已知不等式組卜,2表示的平面區(qū)域為。，若函數(shù)y=|x-1|+m的圖象上

x+y-1..0

存在區(qū)域。上的點，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.[0,-]B.[-2,-]C.[-1,-]D.[-2,1]

222

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

作出函數(shù)yTx-l|的圖象如圖：則函數(shù)的圖象關(guān)于x=l對稱，

沿著對稱軸x=1平移y=|x-11圖象，

由圖象可知當圖象經(jīng)過點8時函數(shù)機取得最小值，

當圖象經(jīng)過點。時，，〃取得最大值，

由卜=2,解得卜=2,即8（2,-1）.此時-1=|2-1|+加，

[x+y-l=0[y=-1

即m=—2,

X—1

由，解得即。（1,1）,

x—2y+1=0[y=l

此時1=加，即，"=1,

則實數(shù)機的取值范圍-2張M1,

故選：D.

B,C三個景點旅游，每個人只去一個景點，每個

景點至少有一個人去，則甲不到A景點的方案有（）

A.18利?B.12利?C.36和1D.24種

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，甲單獨一個人旅游，在8、C景點中任選1個，有2種選法；

再將其他3人分成2組，對應(yīng)剩下的2個景點，有C；8=6種情況,

則此時有2x6=12種方案；

②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，

先在乙、丙、丁中任選1人，與甲一起在3、C景點中任選1個，有C；C；=6種情況,

將剩下的2人全排列，對應(yīng)剩下的2個景點，有=2種情況，

則此時有2x6=12種方案；

則甲不到A景點的方案有12+12=24種；

故選：D.

22

8.（4分）設(shè)橢圓C:「+《=l（a>6>0）的右焦點為尸，橢圓C上的兩點A、3關(guān)于原點

ab

對稱，且滿足以?方=0,I陽|麴2\FB\,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.金，當B.[―,1）C.片，73-1]D.小-1,1）

【解答】解：作出橢圓的左焦點尸，由橢圓的對稱性可知，四邊形48尸為平行四邊形，

又雨?曲=0,

即辦故平行四邊形42尸為矩形，

:\AB\^FF'\=2c,

設(shè)AF'=n,AF=m,

22

則在直角三角形ARF中，m-\-n=2a,in+H2=4c,①

得inn=2b2，②

mn22

g2cAmZH,12c

①+②倚—I—=——，々一=t,得/+-=——，

nmh~nth~

又由例剝E4|2\FB\,得生=fe[l,2],

n

；，+:告e。'jb即》U,|1

即掇￡得[冷1，

即a麴HEi,

5c2

即，領(lǐng)]斗-11，

5c2

則—2，

5C2

嗚哈r得秘!

得交融—

23

則橢圓的離心率的取值范圍是~1，

故選：A.

9.(4分)已知函數(shù)=D'「1,則方程”/(切-2"(幻+3]=0的實根個數(shù)為(

[2-+1,用,14

)

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：設(shè)可得

3

/W-2(r+—)=0,

4

分別作出y=f(x)和y=2x+T的圖象，

可得它們有兩個交點，

a

即方程/(，)-2(/+/=0有兩根，

一根為4=0,另一個根為f2￡。，2),

由/(x)=0,可得x=2;

由/(X)=，2，可得X有3個解，

綜上可得方程/(/(%))-2[/(%)+-1=0的實根個數(shù)為4.

4

故選：B.

10.(4分)已知直三棱柱ABC-A4G的側(cè)棱長為6,且底面是邊長為2的正三角形，用一

平面截此棱柱，與側(cè)棱朋，BB、,CC「分別交于三點M,N,Q,若AMNQ為直角三

角形，則該直角三角形斜邊長的最小值為()

A.2A/2B.3C.2括D.4

【解答】解：如圖，不妨設(shè)N在3處，AM=h,CQ=m,

則有知82=》+4,BQ^m2+4,MQ2=(h-m)2+4

由MB?=BQ2+MQ2=-/z〃7+2=0.

△=/J2-8?^/I28

該直角三角形斜邊MB=44+A..2G.

故選：C.

Cl

二、填空題（本大題共7小題，共36分，單空題每題4分，多空題每題6分）

11.（4分）若實數(shù)x、y滿足4'+4>=21+2刈，貝US=2'+2,的取值范圍是_（2-4]

【解答】解：?.⑷+4>,=（2t+2'）2-2--2t2v=r-2.2v2',2X+I+29=2（2'+2，）=2s,

故原式變形為S2-2-2*2v=2s,即2?2X2y=s2-2s,

Vo.v2

Jy+2c

?,-0<2-22?2-（2）,即（W—2s”當且僅當2*=2>,即x=y時取等號；

解得2<s,,4,

故答案為（2,4].

12.（4分）已知拋物線/=4x,焦點記為F,過點尸作直線/交拋物線于A,8兩點，則

\AF\一-2一的最小值為2夜-2.

\BF\~~

【解答】解：由題意知，拋物線V=4x的焦點坐標為（1,0）,

當斜率上存在時，顯然出x0；

設(shè)直線AB的方程為y=女（工一1）,4%,y）、B（x2,y2）,

由卜一=標，消去y整理得：公/-（2公+4）*+公=0；

[y=Z（x-l）

則…XjX2=1,

1

x2=-；

根據(jù)拋物線性質(zhì)知，|人用=石+1,|8/|=々+1,

?AG22八2%犬+i

.is一而=a+D-K=a+D一罰TmI其中%,>0；

設(shè)f(x)="+1，x>0,

x+1

./㈤=(x+l)-2(川)+2

x+1

=5+1)-2+二-..2、限+1)---2=2忘-2,

x+1Vx+1

當且僅當》=1時取“=”；

.?../■（X）的最小值為2夜-2；

即|AF\——的最小值為2夜-2.

故答案為：2點-2.

13.（4分）如圖，在四邊形ABC￡＞中，AB=CD=l,點M,N分別是邊45,3c的中點,

延長84和8交MW的延長線于不同的兩點P,Q,則而?（而-祝）的值為Q

【解答】解：設(shè)/48C=aBC=a,ZBCD=0,則A(cosa,sina),

8(0,0),C(a,0)，D(a-cos0、sin(3)，

A4/Q+cosa-cos^sina+sin/3

一(2'2)'0)，

,?,=一”，竺『)，AB=(-cosa,-sina),DC=(cosA-sin^),

/.AB-DC-(-cosa-cosyff,-sina+sin/?),

NM?(AB-DC)=(cos2a-cos2y0)+^(sin2y0-sin2a)

=--(cos2er+sin2a)+—(cos2/7+sin2/9)=O?

又P0//NM.,

/.PQ^AB-DC)=0,

故答案為：0.

V21

土=1的漸近線方程為y=±-x，設(shè)雙曲線

4-2―

22

￡:餐-2=1(“>0力>0)經(jīng)過點(4,1),且與雙曲線C具有相同漸近線，則雙曲線C1的標準

ab

方程為—.

【解答】解：雙曲線C:y2-E=i的漸近線方程為：》=±二

42

2°

設(shè)雙曲線1-4=1(a>02>0)經(jīng)過點(4,1),且與C具有相同漸近線,

arb

可得：a=2b,并且?！獃=1,解得。=26，b=V5,

a~h~

2')

所求雙曲線方程為：—-^-=1.

123

22

故答案為：y=±±；———=1.

2123

2

15.(6分)設(shè)數(shù)列｛〃〃｝滿足4+3o,+…+(2"-1)4=2〃.｛4｝的通項%=_----_，數(shù)

2n-l

列｛_^_｝前〃項和是

2/?+1

【解答】解：數(shù)列｛〃“｝滿足4+3電+…+(2〃一l)a“=2〃.

幾.2時，q+3al+…+(2n-=2(〃—1).

相減可得：(2n-lX=2.

解得Y

〃=1時，4=2,對于上式也成立.

2

綜上可得：4

2/2—1

211

2〃+1(2〃-1)(2〃+1)2/?-12九+1

數(shù)列｛-^-｝前〃項和=1」+1」+....171_2n

H-----

2〃+13352/7—12/?+12/1+12H+1

22n

故答案為:

2n—\2"+1

16.（6分）隨機變量X的分布列如表:

X-101

Pahc

其中a,b,c成等差數(shù)列，則P(|X|=1)=_J_,方差的最大值是—.

【解答】解：由題意可得：2b=a+c9又a+O+c=l,(0?a,b,c<1).

聯(lián)立解得人=_1.

3

2

.?.p(\X|=l)=a+c=l-b=—.

3

2

EX=-a+Oxh+ixc=c-a=——2a，

3

2

令EX=m=2a,

3

DX=(-l-w)2a+(O-/M)2xl+(l-w)2c

="+(2a-2c)m+a+c

2422

=(--勿)9-+(4?--)(--2tz)+-

3333

=Y〃+螞+2=T(a__L)2+2,,2,當且僅當a=c='時取等號.

393333

因此DX的最大值為2.

3

故答案為：2,2.

33

17.(6分)函數(shù)f(x)=Asin3x+e)(A>0,co>0,-萬<夕<0)的部分圖象如圖所示，則e=

為了得到g(x)=Acosa>的圖象，需將函數(shù)y=f(x)的圖象最少向左平移一個單

6

位.

【解答】解：由函數(shù)/(x)=Asin(o>x+e)(4>0,G>0,-〃<0<0)的部分圖象,

可得A=2，

:.T=兀,a)=2,/(x)=2sin(2x+o),

將弓，2)代入得sin嚀+0)=1,

-7C<(fl<0,

TTTT

:.(p=---,/(x)=2sin(2x--).

66

TTTTJT

/(XH?一)=2sin[2(xd——)J=2cos2x=g(x),

336

可將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移(個單位長度得到g(x)的圖象,

故答案為：—工，工.

63

四、解答題(本大題共5小題，共74分)

18.已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=6,

sinB-sinA_/?-<?

sinCa+h

(1)求角A的大??；

(2)求6+c的取值范圍.

【解答】解：(1)由電包二也=勺二二及正弦定理得：S—a)S+a)=g-c)c,

sinCa+b

2

所以/=加+c-bc,

所以，由A￡(0,4),可得：A=-.

3

sinAsinBsinesin工

3

所以：b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(-^--B)]=2\/3cos(B一y),

因為：AABC為銳角三角形，8的范圍為

則3-金(，二)，

366

COS(B-y)的取值范圍是(手,1],

h+cG(3,25/3].

19.在三棱錐A—BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DC=貶,AC=2.

(1)求證：BD1AC;

(2)若點P為AC上一點,且AP=3PC,求直線BP與平面AC￡＞所形成的角的正弦值.

【解答】(1)證明：取比＞中點E,連接隹，CE,

.AB=AD=BD=2,又E為BD中點、,

：.AE±BD,

同理可得：CEYBD,

又AEplCEuE,..3Z)_L平面ACE,

又ACu平面ACE,..BD^AC.

(2)解：?；AB=AD=BD=2,BC=DC=42,

:.MCD為直角三角形,且AE=6，CE=\,

：.AE2+EC2-AC2,ZAEC=-,HPAE1￡C,

2

又AE_L8O,所以AE_L平面38,

.?.以E為坐標原點，EC為x軸，即為y軸，E4為z軸建立如圖直角坐標系.

.?.3(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),40,0,石)，點P為AC上一點，S.AP=3PC,

設(shè)。(拓，%,z°),AP=-AC,AC=(1,0,-73),A戶=(々”為"0-6),

4

??(Xo'No,Zo-6)=w(L。,-8)=(了,

313

%」

%=0，即<%=0,

z0-y/3=-V3-zn=^-y/3-

、44

P(-,0,X/3-A/3-),BP=(-,1,73-^-),DX=(0,-1,>/3),DC=(l,-l,0),設(shè)為=Q,

4444

y「zj是平面AC￡>的法向量，

n?DA-0J-y,+gz、=0

令%=1,得y=1,Z]=—，

n-DC=0卜一乂=03

即;i=2時,

n=(l,l,—),AP=3PC,

4

A/6迪叵加亞也

出也萬-3入+2777

20.已知函數(shù)f(x)=ae2*+(a—2)e"—x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

【解答】解：(1)由/(x)=ae2'+(a-2)，-x,求導(dǎo)/(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,

當a=0時，f'(x)=-2ex-l<0,

.?.當xeR,/(x)單調(diào)遞減，

當a>0時，f\x)=(2ex+\){aex-1)=2a(ex+-)(ev--),

2a

令(")=0,解得：x=ln-,

a

當/(x)>0,解得：x>ln-,

a

當r(x)<0,解得：x<ln-,

a

時，/(X)單調(diào)遞減，xe(//?-,+8)單調(diào)遞增；

aa

當a<0時，f'(x)=2a(ex+3("—3<0，恒成立，

2a

.,.當xeR,/(x)單調(diào)遞減，

綜上可知：當④()時，f(x)在R單調(diào)減函數(shù)，

當。>0時，/(x)在(TO,//)是減函數(shù)，在(//，+8)是增函數(shù);

aa

(2)①若q,0時，由(1)可知：/(x)最多有一個零點，

當a>0時，/(x)=ae2'+(a-2)e*-x,

當xf-oo時，/fo,e*.0,

.,.當X->-00時，/(X)—+00,

當X78,e2t^+oo,且遠遠大于/和X,

.,.當X->8,/(X)T+00,

函數(shù)有兩個零點，/(x)的最小值小于0即可，

由/(X)在(7,//)是減函數(shù)，在(/"L，+00)是增函數(shù)，

aa

/(^)???=/(/?-)=ax(3)+(a-2)x,一J_<o,

aa~aa

aaaa

設(shè)工=一,則g(r)=/〃t+f-i,(r>0),

a

求導(dǎo)g()=1+I,由g(1)=0,

解得：0<a<l,

a

.?.a的取值范圍(0,1).

方法二：(1)由71(x)=al'+(a-2)e*-x,求導(dǎo):(x)=2(?產(chǎn)+(a-2)e*-1,

當a=0時，f'(x)=-2ex-I<0,

.?.當xeR,/(x)單調(diào)遞減，

當a>0時，f'(x)=(2e'+l)(ae'-1)=2a(ex+g)(e'-工)，

令/'(X)=0，解得：x=—Inci?

當廣(x)>0,解得：x>-lna,

當r(x)<0,解得：x<-lna,

二.XE(-oo,-癡)時，/(x)單調(diào)遞減，xe(-Ez,+oo)單調(diào)遞增；

當a<0時，r(x)=2a(/+g)(/-L)<0,恒成立，

.,.當xeR,/(x)單調(diào)遞減，

綜上可知：當q,0時，/(x)在R單調(diào)減函數(shù)，

當。>0時，f(X)在(70,-/也)是減函數(shù)，在(-/〃〃,W)是增函數(shù)；

(2)①若凡0時，由(1)可知：/(x)最多有一個零點，

②當a>0時，由(1)可知：當x=-/w時，/(x)取得最小值，=f\-lna)=l---ln-,

aa

當a=l,時，/(-/??)=0,故f(x)只有一個零點，

當ae(l,+oo)時，由BPf(-lna)>0,

aa

故/(x)沒有零點，

當ae(0,l)時，1一1-/〃4<0,f(-lna)<0,

aa

由/(-2)=ae-4+(a-2)e<+2>-2e<+2>0,

故f(X)在(-O0.-//7W)有一個零點，

假設(shè)存在正整數(shù)%，滿足為>ln(--1),則f(%)=e""(ae""+a-2)->泮-%>2%-%>0,

ano

3

由ln(——1)>-Ina，

a

因此在(-打〃,卡切有一個零點.

??.〃的取值范圍(0,1).

21.已知橢圓C的方程為捺+白叱匕＞0）,尸（1,等）在橢圓上，離心率e年，左、

右焦點分別為石、F2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線丫=心必＞0）與橢圓C交于A,B,連接8月并延長交橢圓C于。，E,

連接?！?求心日與女之間的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：（1）由P（l,乎）在橢圓上，可得±+J=l，

又/=從+/,可得a=y/2,b=l,c=1,

所以橢圓。的方程為三+尸=1.

2

（2）設(shè)A（x（），%），則8（—%,—%），直線---v—1＞

%