2022年福建省福州市私立超德某中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022年福建省福州市私立超德高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月

考試題含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.如下圖所示的程序框圖中，輸出S的值為（.）

A.ID8.12C.15D.I8

參考答案：

C

略

2.已知三棱柱MC-44cl的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,若

49=3,=明=12,則球。的半徑為（）

13

A.2B,2而C.2D.3廂

參考答案：

C

3.定積分￡3（一丫等于

乃一2

A.4B.2C.4

加一1

D.2

參考答案：

4.若曲線尸x2在點(diǎn)（a，a2）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為9,則a=

（）

A.8B.16C.32D.64

參考答案:

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】求得在點(diǎn)生，a2）處的切線方程，可求三角形的面積，利用面積為9,即可求

得a的值.

'__1_2--

【解答】解：求導(dǎo)數(shù)可得了~了，，所以在點(diǎn)殳，a之）處的切線方程為：

產(chǎn)一2a

—&

令x=0,得2；令y=0,得x=3a.

X—a4X3a二二a4二q

所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積22a-4,解得a=16

故選B.

5.正方體ABCD-ABCD的棱長為1,點(diǎn)M在照上且網(wǎng)-5次：，N為BB的中點(diǎn)，則I而I為

參考答案：

C

6.設(shè)，~坎1008）,則DQY+1）等于（）

A.1.6B.3.2C.6.4D.12.8

參考答案：

C

略

7.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的

形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

參考答案：

B

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】解三角形.

【分析】由條件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由兩角和的正弦公

K

式、誘導(dǎo)公式求得sinA=l,可得A=力，由此可得aABC的形狀.

【解答】解：^ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

VbcosC+ccosB=asinA,則由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,

即sin（B+C）=sinAsinA,可得sinA=l,故A=2,故三角形為直角三角形，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理以及兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)

的值求角，屬于中檔題.

8.右面的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評(píng)中的成績，其中一個(gè)數(shù)字被污

損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是（）

甲乙

988337

109■9

27_42

A.5B.10C.5D.10

參考答案：

C

略

9.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，該程序輸出的結(jié)果為（）

A.11B.6C.11D.5

參考答案：

B

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的s,i的值，當(dāng)i=6時(shí)不滿足條件

iW5,輸出S的值，利用裂項(xiàng)法即可計(jì)算得解.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

i=l,s=o

1

滿足條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=1X2,i=2

11

滿足條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=1X2+2X3,i=3

111

滿足條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=1X2+2X3+3X4,i=4

1111

滿足條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=1X2+2X3+3X4+4X5,i=5

11111

滿足條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=1X2+2X3+3X4+4X5+5X6,i=6

不滿足條件iW5,退出循環(huán)，輸出S的值.

1111111111

由于$=1乂2+2乂3+3又4+4乂5+5乂6=(1-2)+(23)+…+(5-6)=1-

1_5

6=6.

故選：B.

X->r+l>0

<x+_y=O

10.若實(shí)數(shù)x，尸滿足，則z=3””的最大值是（）

A.0B.1C./D.9

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.命題?xGR,xZ-x+3>0的否定是

參考答案：

?xGR,X?-x+3W0

【考點(diǎn)】2J：命題的否定；21：特稱命題.

【分析】根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則，可寫出原命題的否定

【解答】解：原命題為：?xGR,x,!-x+3>0

?原命題為全稱命題

???其否定為存在性命題，且不等號(hào)須改變

，原命題的否定為：?x￡R,X2-X+3W0

故答案為：?xGR,x2-x+3^0

12.0-X)3(1+2X)'展開式中一的系數(shù)為一.

參考答案：

3

略

13.命題“YxwRsnVl”的否宗是“

參考答案：

€R,sinr>1

略

14.兩條平行直線X-，=。與工一」+4=°間的距離為▲.

參考答案：

2啦

略

Jw

15.求(1-x)"=a0+?lx+a2x++awx)則為+.

參考答案：

-1

略

16.一球與棱長為2的正方體的各個(gè)面相切，則該球的表面積為.

參考答案：

47r

略

pogRx>。)獻(xiàn)]

已知r(x)=卜(x<0)

17.

參考答案:

略

三、解答題:本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

J___1____1_[

18.已知數(shù)列[X3'3X5'5X7'，計(jì)算品?品.當(dāng)，根據(jù)計(jì)算結(jié)

果，猜想叫的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.

參考答案：

S]=52=—~+---=-,S\=——+---+---=—

解：】321x33x5531x33x55x77........2分

分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想

⑴當(dāng)”=時(shí)

左邊=S]=：右邊=’猜想成立...................6分

32M+13

(2)假設(shè)當(dāng)力=的猜想成立，即S*=不二.......................8分

2k+l

那么當(dāng)萬“+1時(shí)

“*(2*+1)(2*+3)2k+l(2*+1)(2*+3)

狹2+配+](上+1)(?+1)左+1

(%+1)(%+3)=(%+1)(%+3)=23+1)+]

加=上+世猜想也.........................................11分

由(1)(2)可知猜想對(duì)任意用e獷成立........................12分

/(X)=-xa-m\nx+(m-l)x一

19.已知函數(shù)2,weR.

(I)若函數(shù)/wx=2處有極值，求m的值；

(II)當(dāng)w<0時(shí)，討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(III)求證：當(dāng)用=-2時(shí)，對(duì)任意的Xl-X2e(0'+0°),且位*乙，有

■/(“-/(再)>]

弓一看。

參考答案：

(1)X函數(shù)在x=2處有極值二2

冽=一2,經(jīng)檢驗(yàn)冽=-2符合題意。w=-2o.........4分

吩(3)當(dāng)掰<-1即-加>1時(shí)，xe(。1)時(shí)J'(x)>OJ(x)為增函數(shù)；

xe(LF)8tj'(x)<0J(x)為減函數(shù)；xe(rM.4a))Btj'(x)>0J(x)為增函

數(shù).9分

（Ill）不妨設(shè)0＜不＜々，要證明:'I》_1，

它一再

即證明：/（電）+勺＞/（々）+公..........10分

當(dāng)加二一2時(shí)，函數(shù)/（x）=；/+21nx-3x.

考查函數(shù)a（x）=〃x）+x=g/+21nx-2x.........11分

2cx2-2x+2（x-l）+l

:Y（x）=x+—-2=---------=——＜——＞0

XXX

...%（耳在（0,+＜＞。）上是增函數(shù)，..........13分

對(duì)任意0＜五＜今，〃（々）＞〃（々），

所以/（電）+亦2＞/（工1）+々，?'--^—――命題得證..........14分

電一不

略

20.（本小題滿分12分）如圖，多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，E、F分

別為PC、BD的中點(diǎn).

（I）求證：EF〃平面PAD；

（II）求證：平面PDC_L平面PAD.

參考答案：

.證明：由多面體上超⑵的

三視圖知，四棱錐尸-RBC。的底面幺BCDp

是邊長為2的正方形，側(cè)面尸為。是等腰三角

形，PA=PD=R,

且平面PAD_L平面蔗CD.…2分

(I)連結(jié)4C,則尸是4c的中點(diǎn)，

在△CP4中，EFHPA,.....4分

且R1U平面R1。，白尸仁平面;M0,

；.EF〃平面PiD.....6分

(II)因?yàn)槠矫嬖?D_L平面上5CD,

平面PADn平面H&7。=AD,

又COLAO,所以，8,平面尸50,

：.CD±PA.......8分

又PA=PD=&,4。=2,所以421。是等腰直角三角形,

ZP?1Z)=-

且2,即41陽.............10分

又CDCPD=D,：.R!_L平面尸DC,

又R4u平面尸所以平面尸」4Z)_L平面尸DC..........12分

21.國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟(jì)”政策后，環(huán)保節(jié)能的產(chǎn)品供不應(yīng)求.為適應(yīng)市場

需求，某企業(yè)投入98萬元引進(jìn)環(huán)保節(jié)能生產(chǎn)設(shè)備，并馬上投入生產(chǎn).第一年需各種費(fèi)用12

萬元，從第二年開始，每年所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬元.而每年因引入該設(shè)備可獲得

年利潤為50萬元.請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決以下問題：

(1)引進(jìn)該設(shè)備多少年后，該廠開始盈利？

(2)若干年后，因該設(shè)備老化，需處理老設(shè)備，引進(jìn)新設(shè)備.該廠提出兩種處理方案：

第一種：年平均利潤達(dá)到最大值時(shí)，以26萬元的價(jià)格賣出.

第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出.問哪種方案較為合算？

參考答案：

解：(1)設(shè)引進(jìn)該設(shè)備x年后開始盈利.盈利額為尸萬元.

>?=50X-98-[12X+-^^X4].“八

則'2=-2?+40x-98,令得

10->/51<x<10+751,vx62/,3<x<17.

即引進(jìn)該設(shè)備三年后開始盈利--7分

上^=-2x--+40<-2,/2x—+40=12

(2)第一種：年平均盈利為X,XxVX，當(dāng)且僅當(dāng)

、98

X,即X=7時(shí)，年平均利潤最大，共盈利12x7+26=110萬元……口分

第二種：盈利總額y=-28-10尸+】(％當(dāng)x=10時(shí)，取得最大值102,即經(jīng)過】0

年盈利總額最大，共計(jì)盈利102+8=110萬元兩種方案獲利相等，但由于方案二時(shí)間長，

采用第一種方案一14分

略

2

22.已知函數(shù)f(x)=3x3-2ax?-3x.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))的切線方程；

(2)對(duì)一切xG(0,+8),af'(x)+4a、2lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，試討論f(x)在(-1,1)內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

參考答案：

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方

程.

【分析】(I)求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f(x)在

點(diǎn)(3,f(3))的切線方程；

、lnx-1

(II)由題意：2axz+ieinx,即2x‘，求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值

范圍；

(III)分類討論，利用極值的定義，即可討論f(x)在(-1,1)內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

f0=2/-3X

【解答】解：(I)由題意知3，所以f'(x)=2x2-3

又f(3)=9,f'(3)=15

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))的切線方程為15x-y-36=0…

、lnx-1

(II)由題意：2ax2+l^lnx,即2x,

,、lnx-1,/、3-21nx

g(x)=------z—g(,x)=------o-

設(shè)2x”，則2xJ

3_3_

當(dāng)0<x<e2時(shí)，g'(X)>0；當(dāng)x>e2時(shí)，g，(x)<0

工g()-~--

所以當(dāng)x=e2時(shí)，g(x)取得最大值xmaX