2025屆湖北省武漢市華中師大一附中高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆湖北省武漢市華中師大一附中高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某軟件研發(fā)公司對某軟件進行升級，主要是對軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是1，且，.記數(shù)列的前項和、前項積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.52．某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為萬元（殘差=真實值-預測值）A.40 B.30C.20 D.103．若橢圓的一個焦點為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.24．若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.6．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7．某次生物實驗6個小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.658．若雙曲線的焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．某班對期中成績進行分析，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將60個同學的成績按01，02，03，……，60進行編號，然后從隨機數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開始向右讀，則選出的第6個個體是（）（注：如下為隨機數(shù)表的第8行和第9行）6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.5210．焦點為的拋物線標準方程是（）A. B.C. D.11．在矩形中，，在該矩形內(nèi)任取一點M，則事件“”發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.12．拋物線的焦點坐標是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，則使成立的x的值為___________14．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______15．在等比數(shù)列中，，，則公比________.16．曲線在處的切線方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）在數(shù)列中，，，(1)設，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.20．（12分）設函數(shù)過點（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.21．（12分）設關(guān)于x的不等式的解集為A，關(guān)于x的不等式的解集為B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍22．（10分）已知圓的圓心在直線上，且過點（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過原點，并且被圓截得的弦長為2，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先利用序列的所有項都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進而求出公比和首項，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因為，，所以，又序列的所有項都是1，所以它的第項，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.2、D【解析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應的銷售額，這是一個預測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當時，50，當廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預測y的值，是一個綜合題3、B【解析】由題意判斷橢圓焦點在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點在軸上，則，從而，解得：.故選：B.4、D【解析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)得，所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立；然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.5、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設四邊形的面積為，由題設及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A6、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當時，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知；當時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎題型.7、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.8、A【解析】由焦距為可得，又，進而可得，最后根據(jù)焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為即可求解.【詳解】解：因為雙曲線的焦距為，所以，所以，解得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故選：A.9、D【解析】從指定位置起依次讀兩位數(shù)碼，超出編號的數(shù)刪除.【詳解】根據(jù)題意，從隨機數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開始向右讀，依次選出的號碼數(shù)是：12，34，29，56，07，52；所以第6個個體是52.故選：D.10、D【解析】設拋物線的方程為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設拋物線的方程為，因為拋物線的焦點為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：D.11、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉(zhuǎn)化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當點M在圓外時，.所以事件“”發(fā)生的概率為.故選：D12、C【解析】根據(jù)拋物線標準方程，可得p的值，進而求出焦點坐標.【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點坐標為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用空間向量垂直的坐標表示列方程求參數(shù)x的值.【詳解】由題設，，可得.故答案為：.14、【解析】設出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計算作答,【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.15、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列中,故,又,故,故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)運用,需要注意分析項與公比的正負,屬于基礎題.16、【解析】求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由斜截式方程可得切線方程【詳解】解：的導數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點為，即有切線方程為故答案為【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查導數(shù)的幾何意義，直線方程的運用，考查方程思想，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知求出首項和公差即可求出；（2）利用裂項相消法求解即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，化簡得，解得，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.18、（1）略（2）【解析】（1）題中條件，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉(zhuǎn)化為的遞推公式：，從而，，進而得證；（2）由（1）可得，，因此數(shù)列的通項公式可以看成一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯位相減法求其前項和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項為公差的等差數(shù)列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點：1.數(shù)列的通項公式；2.錯位相減法求數(shù)列的和.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當直線斜率不存在時，表示出兩點坐標，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當直線斜率存在時，設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當直線斜率不存在時，設直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.20、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點代入函數(shù)解析式即可求得a，對函數(shù)求導，分析導函數(shù)的正負，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點值確定最值.【小問1詳解】∵點在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當時，有極大值，且極大值為，當時，有極小值，且極小值為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；【小問2詳解】由（1）可得:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.∴,又,,∴21、（1），（2）【解析】（1）直接解不等式即可，（2）由題意可得，從而可得解不等式組可求得答案【小問1詳解】由，得，故由，得，故【小問2詳解】依題意得：，∴解得∴m的取值范圍為22、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意設圓心坐標為，進而得，解得，故圓的方程為（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）圓的圓心在直線上