廣西桂林市全州縣二中2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

廣西桂林市全州縣二中2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.2．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．若數(shù)列{an}滿足……，則稱數(shù)列{an}為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列{cn}的前n項和Sn滿足，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）5．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.6．函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值7．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.8．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形9．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大10．已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關(guān)于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.11．如圖，四棱錐的底面是矩形，設(shè)，，，是棱上一點，且，則（）A. B.C. D.12．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.50二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數(shù)的共軛復數(shù)是__________14．以正方體的對角線的交點為坐標原點O建立右手系的空間直角坐標系，其中，，，則點的坐標為______15．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.16．已知為平面的一個法向量，為直線的方向向量.若，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最小值.18．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點P為棱的中點，點Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長20．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.21．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；（2）求線段AB的長22．（10分）設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點與定點連線的斜率，由圖可知，當點在可行域內(nèi)運動時，直線的傾斜角為銳角，當點與點重合時，直線的傾斜角最大，此時取最大值，即.故選：A.2、C【解析】求得兩圓的圓心坐標和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因為兩圓相外切，可得，解得故選：C.3、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A4、A【解析】根據(jù),利用遞推公式求得數(shù)列的通項公式.再根據(jù)新定義的意義,代入解不等式即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為所以當時,兩式相減可得,即,所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當時,所以，則由“差半遞增”數(shù)列的定義可知化簡可得解不等式可得即實數(shù)的取值范圍為故選：A.5、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A6、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的關(guān)系及極值的定義結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的圖象可得，當時，，故函數(shù)在和上遞減，當時，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.7、A【解析】分析可知直線不過原點，可設(shè)直線的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實數(shù)的值，化簡可得直線的方程.【詳解】若直線過原點，則直線在兩坐標軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.8、B【解析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A：棱柱最少有5個面，則A錯誤；對于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，則C錯誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯誤故選：B9、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.10、B【解析】根據(jù)點關(guān)于坐標軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于x軸的對稱點為，所以，設(shè)平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B11、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B12、A【解析】根據(jù)框圖逐項計算后可得正確的選項.【詳解】第一次循環(huán)前，；第二次循環(huán)前，；第三次循環(huán)前，；第四次循環(huán)前，；第五次循環(huán)前，此時滿足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是18故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復數(shù)除法化簡，由共軛復數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：14、【解析】根據(jù)已知點的坐標，確定出坐標系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標系如圖所示，軸過正方形的對角線交點，軸過中點，軸過中點，因此可知坐標為故答案為：15、①.②.【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)，可得對應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡得對應(yīng)的軌跡方程為.所以點P對應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設(shè)，，所以點到平面的距離，所以故答案為：；16、##【解析】根據(jù)線面平行列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）化簡，結(jié)合裂項相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因為各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，當時，解得；當時，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問3詳解】解：由，可得，所以當為偶數(shù)時，，因為，且為偶數(shù)，所以的最小值為48；當為奇數(shù)時，，不存在最小的值，故當為48時，滿足條件.18、（1）（2）【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可求出數(shù)列的通項公式，（2）因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，從而可得，然后利用分組求和法求解即可【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意得解得，.所以.【小問2詳解】因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，所以.所以.19、（1），（2）【解析】（1）推導出，以A為原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設(shè)，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長【詳解】解（1）在直四棱柱中，因為平面，平面，平面，所以因為，所以以A為原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以,所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為（2）設(shè)，則，因為點為的中點，所以，則，設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角的大小為，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去）所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查二面角的求法，考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等知識，考查運算能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)是建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，屬于中檔題20、（1）；（2）存在，為上靠近點的三等分點【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，計算即可求解；（2）假設(shè)線段上存在點符合題意，設(shè)可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，.不妨設(shè)平面的一個法向量,則有，即，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設(shè)線段上存在點，使得二面角的余弦值.設(shè)，則,從而，，.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點滿足條件，為上靠近點的三等分點【點睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.21、（1）拋物線的方程為，其準線方程為，（2）【解析】（1）根據(jù)焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；（2）設(shè)，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準線方程為，【小問2詳解】解：設(shè)，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為22、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導數(shù)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數(shù)在和上各有一個零點當時，，，，則，故上無零點，與函數(shù)在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設(shè)，，則，則在上單調(diào)