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文檔簡介
2025屆山東省青島五十八中數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.2021年小林大學(xué)畢業(yè)后,9月1日開始工作,他決定給自己開一張儲蓄銀行卡,每月的10號存錢至該銀行卡(假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬).2021年9月10日他給卡上存入1元,以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍,則他這張銀行卡賬上存錢總額(不含銀行利息)首次達到1萬元的時間為()A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日2.已知函數(shù),在上隨機取一個實數(shù),則使得成立的概率為()A. B.C. D.3.如圖所示,過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A,B,C.若,且,則拋物線的方程為()A. B.C. D.4.設(shè),直線,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.曲線上的點到直線的距離的最小值是()A.3 B.C.2 D.6.有下列四個命題,其中真命題是()A., B.,,C.,, D.,7.若函數(shù),滿足且,則()A.1 B.2C.3 D.48.在中,已知,則的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形9.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A B.C. D.10.接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法,我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進接種工作.某地為方便居民接種,共設(shè)置了A、B、C三個新冠疫苗接種點,每位接種者可去任一個接種點接種.若甲、乙兩人去接種新冠疫苗,則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為()A. B.C. D.11.已知,,若,則()A.9 B.6C.5 D.312.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去找老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有位優(yōu)秀,位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙、丁可以知道對方的成績C.乙可以知道四人的成績 D.丁可以知道四人的成績二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,橢圓的左、右焦點分別為,過橢圓上的點作軸的垂線,垂足為,若四邊形為菱形,則該橢圓的離心率為_________.14.設(shè)直線,直線,若,則_______.15.已知是橢圓的左、右焦點,在橢圓上運動,當(dāng)?shù)闹底钚r,的面積為_______16.下圖是個幾何體的展開圖,圖①是由個邊長為的正三角形組成;圖②是由四個邊長為的正三角形和一個邊長為的正方形組成;圖③是由個邊長為的正三角形組成;圖④是由個邊長為的正方形組成.若幾何體能夠穿過直徑為的圓,則該幾何體的展開圖可以是______(填所有正確結(jié)論的序號).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦距為,左、右焦點分別為,為橢圓上一點,且軸,,為垂足,為坐標(biāo)原點,且(1)求橢圓的標(biāo)準方程;(2)過橢圓的右焦點的直線(斜率不為)與橢圓交于兩點,為軸正半軸上一點,且,求點的坐標(biāo)18.(12分)如圖甲,平面圖形中,,沿將折起,使點到點的位置,如圖乙,使.(1)求證:平面平面;(2)若點滿足,求點到直線的距離.19.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求在區(qū)間上的最值;(2)若在定義域內(nèi)有兩個零點,求的取值范圍20.(12分)已知直線l過點A(﹣3,1),且與直線4x﹣3y+t=0垂直(1)求直線l的一般式方程;(2)若直線l與圓C:x2+y2=m相交于點P,Q,且|PQ|=8,求圓C的方程21.(12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,點,,點M滿足.記M的軌跡為C.(1)說明C是什么曲線,并求C的方程;(2)已知經(jīng)過的直線l與C交于A,B兩點,若,求.22.(10分)在①,;②,;③,.這三個條件中任選一個,補充在下面問題中.問題:已知數(shù)列的前n項和為,,___________.(1)求數(shù)列的通項公式(2)已知,求數(shù)列的前n項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1,公比為2的等比數(shù)列,其前n項和為,分析首次達到1萬元的值,即得解【詳解】依題意可知,小林從第一個月開始,每月所存錢數(shù)依次成首項為1,公比為2的等比數(shù)列,其前n項和為.因為為增函數(shù),且,所以第14個月的10號存完錢后,他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元,即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選:C2、B【解析】首先求不等式的解集,再根據(jù)區(qū)間長度,求幾何概型的概率.【詳解】由,得,解得,在區(qū)間上隨機取一實數(shù),則實數(shù)滿足不等式的概率為故選:B3、A【解析】分別過點作準線的垂線,分別交準線于點,,設(shè),推出;根據(jù),進而推導(dǎo)出,結(jié)合拋物線定義求出;最后由相似比推導(dǎo)出,即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點作準線的垂線,分別交準線于點,,設(shè)與交于點.設(shè),,,由拋物線定義得:,故在直角三角形中,,,,,,,∥,,,即,,所以拋物線的方程為.故選:A4、A【解析】由可求得實數(shù)的值,再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若,則,解得或,因此,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.5、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點為,依題意即過切點的切線恰好與直線平行,此時切點到直線的距離最小,求出切點坐標(biāo),再利用點到直線的距離公式計算可得;【詳解】解:因為,所以,設(shè)切點為,則,解得,所以切點為,點到直線的距離,所以曲線上的點到直線的距離的最小值是;故選:D6、B【解析】對于選項A,令即可驗證其不正確;對于選項C、選項D,令,即可驗證其均不正確,進而可得出結(jié)果.【詳解】對于選項A,令,則,故A錯;對于選項B,令,則,顯然成立,故B正確;對于選項C,令,則顯然無解,故C錯;對于選項D,令,則顯然不成立,故D錯.故選B【點睛】本題主要考查命題真假的判定,用特殊值法驗證即可,屬于??碱}型.7、C【解析】先取,得與之間的關(guān)系,然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算直接求導(dǎo),代值可得.【詳解】取,則有,即,又因為所以,所以,所以.故選:C8、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件,由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由,得,得,由于,所以,所以.故選:B9、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時間為40秒,則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為,故選:B10、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結(jié)果【詳解】由題知,基本事件總數(shù)為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數(shù)為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:11、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】.故選:D.12、A【解析】分析可知乙、丙的成績中必有位優(yōu)秀、位良好,結(jié)合題意進行推導(dǎo),可得出結(jié)論.【詳解】由于個人中的成績中有位優(yōu)秀,位良好,甲知道乙、丙的成績,還是不知道自己的成績,則乙、丙的成績必有位優(yōu)秀、位良好,甲、丁的成績中必有位優(yōu)秀、位良好,因為給乙看丙的成績,則乙必然知道自己的成績,丁知道甲的成績后,必然知道自己的成績.故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)題意可得,利用推出,進而得出結(jié)果.【詳解】由題意知,,將代入方程中,得,因為,所以,整理,得,又,所以,由,解得.故答案為:14、##0.5【解析】根據(jù)兩直線平行可得,,即可求出【詳解】依題可得,,解得故答案為:15、【解析】根據(jù)橢圓定義得出,進而對進行化簡,結(jié)合基本不等式得出的最小值,并求出的值,進而求出面積.【詳解】由橢圓定義可知,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”.又,所以.所以,由勾股定理可知:,所以.故答案為:.16、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體,進而求其外接球半徑,并與比較大小,即可確定答案.【詳解】①由題設(shè),幾何體為棱長為的正四面體,該正四面體可放入一個正方體中,且正方體的棱長為,該正四面體的外接球半徑為,滿足要求;②由題設(shè),幾何體為棱長為的正四棱錐,如下圖所示:設(shè),連接,則為、的中點,因為四邊形是邊長為的正方形,則,所以,,所以,,所以,,,所以點為正四棱錐的外接球球心,且該球的半徑為,不滿足要求;③由題設(shè),幾何體為棱長為的正八面體,該正八面體可由兩個共底面,且棱長均為的正四棱錐拼接而成,由②可知,該正八面體的外接球半徑為,不滿足要求;④由題設(shè),幾何體為棱長為的正方體,其外接球半徑為,不滿足要求;故答案為:①.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)利用△∽△構(gòu)造齊次方程,求出離心率,再利用焦距即可求出橢圓方程;(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理求出和,利用幾何關(guān)系可知,即可得,將韋達定理代入化簡即可求得點坐標(biāo).【小問1詳解】∵橢圓的焦距為,∴,即,軸,∴,則,由,,則△∽△,∴,即,整理得,即,解得或(舍去)∴,∴,則橢圓的標(biāo)準方程為,【小問2詳解】設(shè)直線的方程為,且,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,,則,,∵,∴,∴,∴,∴,即.18、(1)證明見解析(2)【解析】(1)利用給定條件可得平面,再證即可證得平面推理作答.(2)由(1)得EA,EB,EG兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,先求出向量在向量上的投影的長,然后由勾股定理可得答案.【小問1詳解】因為,則,且,又,平面,因此,平面,即有平面,平面,則,而,則四邊形為等腰梯形,又,則有,于是有,則,即,,平面,因此,平面,而平面,所以平面平面.【小問2詳解】由(1)知,EA,EB,EG兩兩垂直,以點E為原點,射線EA,EB,EG分別為x,y,z軸非負半軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,因,四邊形是矩形,則,即,,,由,則則則向量在向量上的投影的長為又,所以點到直線的距離19、(1),;(2).【解析】(1)當(dāng)時,求出導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間,即可求出在區(qū)間上的最值;(2)由,分離參數(shù)得,根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性作圖,結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解:(1)當(dāng)時,,,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,,∴,(2),則,∴在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,作出函數(shù)和得圖像,∴由圖象可得,.20、(1)3x+4y+5=0(2)x2+y2=17【解析】(1)由垂直關(guān)系得過直線l斜率,由點斜式化簡即可求解l的一般式方程;(2)結(jié)合勾股定理建立弦心距(由點到直線距離公式求解),半弦長,圓半徑的基本關(guān)系,解出,即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t=0垂直,所以直線l的斜率為,故直線l的方程為,即3x+4y+5=0,因此直線l的一般式方程為3x+4y+5=0;【小問2詳解】圓C:x2+y2=m的圓心為(0,0),半徑為,圓心(0,0)到直線l的距離為,則半徑滿足m=42+12=17,即m=17,所以圓C:x2+y2=1721、(1)C是以點,為左右焦點的橢圓,(2)【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.(2)當(dāng)垂直于軸時,,舍去.當(dāng)不垂直于軸時,可設(shè),再根據(jù)題意結(jié)合韋達定理求解即可.【小問1詳解】因為,,所以C是以點,為左右焦點的橢圓.于是,,故,因此C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)垂直于軸時,,,舍去.當(dāng)不垂直于軸時,可設(shè),代入可得.因為,設(shè)
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