陜西省安康市漢濱高中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析_第1頁
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文檔簡介

陜西省安康市漢濱高中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,且在上是單調(diào)函數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱2.已知復(fù)數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.3.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng),現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張,則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A. B. C. D.4.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.5.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.56.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術(shù)”,則()A.48 B.63 C.99 D.1207.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.8.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.9.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.10.下列函數(shù)中,圖象關(guān)于軸對稱的為()A. B.,C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.12.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考,三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績,現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本,若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為____________.14.展開式中的系數(shù)為________.15.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則________.16.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.18.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.19.(12分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,四棱錐中,側(cè)面為等腰直角三角形,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.21.(12分)如圖,橢圓的長軸長為,點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn),為橢圓的右端點(diǎn),過中心,且,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.22.(10分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù),在上是單調(diào)函數(shù),確定,然后一一驗(yàn)證,A.若,則,由,得,但.B.由,,確定,再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計(jì)算是否為0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),在上是單調(diào)函數(shù),所以,即,所以,若,則,又因?yàn)?,即,解得,而,故A錯(cuò)誤.由,不妨令,得由,得或當(dāng)時(shí),,不合題意.當(dāng)時(shí),,此時(shí)所以,故B正確.因?yàn)?,函?shù),在上是單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤.,故D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于較難的題.2、C【解析】

把代入,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡,由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù),再計(jì)算出兩張都沒獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎(jiǎng)的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張,共有種情況,2張均沒有獎(jiǎng)的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.5、B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點(diǎn)睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.6、C【解析】

觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由程序語言依次計(jì)算,直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時(shí),時(shí),,此時(shí)輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可計(jì)算出,然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,故,因?yàn)橐策m合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于中等題.10、D【解析】

圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域?yàn)?,不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對稱.11、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】由.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長方體,于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長方體的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐,且長方體的長、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓面起襯托作用.(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線,對于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通過構(gòu)造長方體,通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x,由已知,,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣中的分層抽樣,考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力,是一道容易題.14、30【解析】

先將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)問題,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的第項(xiàng),令的指數(shù)分別等于2,4,求出特定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題可得:展開式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式展開式中的指數(shù)為2和4時(shí)的系數(shù)之和,由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,令,得展開式的的系數(shù)為,令,得展開式的的系數(shù)為,所以展開式中的系數(shù),故答案為30.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的問題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程,結(jié)合題意可求得正實(shí)數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于該雙曲線的一條漸近線方程為,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因?yàn)?,,由角平分線定理得,設(shè),則由余弦定理得:即當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為15故答案為:15【點(diǎn)睛】此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入上式,化簡即可得到.【詳解】(Ⅰ)解:由題意可知:,解得,橢圓的方程為:;(Ⅱ)證:設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,聯(lián)立方程,消去得:,,①,點(diǎn),,,直線的方程為:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解;關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用韋達(dá)定理化簡三角形面積得到定值;考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù));的極坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)16.【解析】

(

I

)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;(

II

)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意:曲線的直角坐標(biāo)方程為:,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為:,又因曲線的左焦點(diǎn)為,將其代入中,得到,所以的極坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為,,,,所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長為:,所以當(dāng)時(shí),即時(shí),橢圓的內(nèi)接矩形的周長取得最大值16.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,極徑的應(yīng)用,考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)見證明;(2)【解析】

(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,從而可證明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如圖的空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量為,平面的法向量為,由可得到答案.【詳解】(1)證明:在等腰梯形,,易得在中,,則有,故,又平面,平面,,即平面,故平面丄平面.(2)在梯形中,設(shè),,,,而,即,.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖的空間坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的法向量為,由得,取,得,,同理可求得平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩平面垂直的判定,考查了利用空間向量的方法求二面角,考查了棱錐的體積的計(jì)算,考查了空間想象能力及計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)平面,利用線面垂直的定義可得,再由,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.(2)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量,利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫杂蔀榈妊苯侨切?,所以又,故平?取的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋砸驗(yàn)槠矫?,所以平面所以平面如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則,又,所以且于是設(shè)平面的法向量為,則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為,則【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角,屬于中檔題.21、(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)利用題中條件先得出的值,然后利用條件,結(jié)合橢圓的對稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo),然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)將條件得到直線與的斜率直線

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