吉林省長春市六中2025屆數(shù)學高三上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

吉林省長春市六中2025屆數(shù)學高三上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù),,則()A. B. C. D.2.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件3.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.334.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)7.已知是函數(shù)的極大值點,則的取值范圍是A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)的導函數(shù),且滿足,若在中,,則()A. B. C. D.9.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.10.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學習氛圍,向班內(nèi)同學征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進行了問話,得到回復如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李11.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.12.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應的極大值為,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù),滿足,則目標函數(shù)的最小值為__________.14.定義在上的奇函數(shù)滿足,并且當時,則___15.在中,若,則的范圍為________.16.在的展開式中的系數(shù)為,則_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(),且只有一個零點.(1)求實數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.18.(12分)設(shè)為實數(shù),在極坐標系中,已知圓()與直線相切,求的值.19.(12分)某公司打算引進一臺設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元,乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對于每臺設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費維修,三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購買哪種設(shè)備?請說明理由.20.(12分)設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,其前項和為,,若,,成等比數(shù)列.(1)求及;(2)設(shè),設(shè)數(shù)列的前項和,證明:.21.(12分)設(shè)為拋物線的焦點,,為拋物線上的兩個動點,為坐標原點.(Ⅰ)若點在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當時,求點縱坐標的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點睛:復數(shù)問題是高考數(shù)學中的??紗栴},屬于得分題,主要考查的方面有:復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模、共軛復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算,在運算時注意符號的正、負問題.2、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應選.5、C【解析】

先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【點睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.7、B【解析】

方法一:令,則,,當,時,,單調(diào)遞減,∴時,,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時,,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點,∴滿足題意;當時,存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時,,所以,這與是函數(shù)的極大值點矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點,須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時,與相切于原點,所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.8、D【解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式,設(shè),求導,則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得到,再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè),所以,因為當時,,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因為,所以,,因為,且,所以,即,所以,即故選:D【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.9、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域為,,為偶函數(shù),當時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題;奇偶性的作用是能夠確定對稱區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進而化簡不等式.10、D【解析】

根據(jù)題意,分別假設(shè)一個正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應“細節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應“天道酬勤”,所以得出“細節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點睛】本題考查推理證明的實際應用.11、D【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.12、C【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進行求導分析可知,當時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應極大值,分組求和即得【詳解】當時,,顯然當時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實數(shù)x,y滿足對應的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當直線yx經(jīng)過點A時,直線yx的縱截距最小,此時z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此時z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎(chǔ)題14、【解析】

根據(jù)所給表達式,結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì),即可確定函數(shù)對稱軸及周期性,進而由的解析式求得的值.【詳解】滿足,由函數(shù)對稱性可知關(guān)于對稱,且令,代入可得,由奇函數(shù)性質(zhì)可知,所以令,代入可得,所以是以4為周期的周期函數(shù),則當時,所以,所以,故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對稱性的綜合應用,周期函數(shù)的判斷及應用,屬于中檔題.15、【解析】

借助正切的和角公式可求得,即則通過降冪擴角公式和輔助角公式可化簡,由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點考查學生的計算能力,難度一般.16、2【解析】

首先求出的展開項中的系數(shù),然后根據(jù)系數(shù)為即可求出的取值.【詳解】由題知,當時有,解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了二項式展開項的系數(shù),屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導可得在上,在上,所以函數(shù)在時,取最小值,由函數(shù)只有一個零點,觀察可知則有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)(),求導借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得,由,可知,因為時,為增函數(shù),即可得證得結(jié)論.【詳解】(1)().因為,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函數(shù)在時,取最小值,當最小值為0時,函數(shù)只有一個零點,易得,所以,解得.(2)由(1)得,函數(shù),設(shè)(),則,設(shè)(),則,,所以為減函數(shù),所以,即,所以,即,又,所以,又當時,為增函數(shù),所以,即.【點睛】本題考查借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.18、【解析】

將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得.將直線化成普通方程為.因為相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.19、(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設(shè)備,理由見解析【解析】

(1)的可能取值為10000,11000,12000,的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;(2)計算期望,得到,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,,計算分布列,計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】(1)的可能取值為10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列為如下9000100001100012000(2)設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,的可能取值為2,3,4,5,,,則的分布列為2345的可能取值為3,4,5,6,,,則的分布列為3456由于,,因此需購買甲設(shè)備【點睛】本題考查了數(shù)學期望和分布列,意在考查學生的計算能力和應用能力.20、(1),;(2)證明見解析.【解析】

(1)根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列的首項和公差,然后根據(jù)首項和公差即可求出數(shù)列的通項和前項和;(2)根據(jù)裂項求和求出,根據(jù)的表達式即可證明.【詳解】(1)設(shè)的公差為,由題意有,且,所以,;(2)因為,所以,.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列

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