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2025屆吉林省高中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.2.設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.23.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②4.某歌手大賽進(jìn)行電視直播,比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表,場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評(píng)分,組織方將觀眾評(píng)分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,則下列選項(xiàng)正確的是()A. B. C. D.5.下圖是我國(guó)第24~30屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌數(shù)的回眸和中國(guó)代表團(tuán)獎(jiǎng)牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎(jiǎng)牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)一直保持上升趨勢(shì)B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實(shí)際意義C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)的中位數(shù)是54.56.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,7.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,188.已知平面向量,滿足且,若對(duì)每一個(gè)確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時(shí),的最大值為()A. B. C. D.19.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.10.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.11.已知,,,則()A. B. C. D.12.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的-一個(gè)公共點(diǎn),且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線相切于點(diǎn),是上一點(diǎn)(不與重合),若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是__________.14.的展開式中,x5的系數(shù)是_________.(用數(shù)字填寫答案)15.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.16.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.18.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大??;(2)求的值.19.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.20.(12分)已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍21.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由.22.(10分)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為,B選項(xiàng)漸近線為,C選項(xiàng)漸近線為,D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件,表示的可行域,如圖,由可得,將變形為,平移直線,由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,最大值為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中,利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.3、C【解析】
①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡(jiǎn)單題目.4、C【解析】
計(jì)算出、,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場(chǎng)外有數(shù)萬名觀眾,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢(shì),29屆最多,錯(cuò)誤;B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯(cuò)誤;D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)圖,關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖,屬于簡(jiǎn)單題目.6、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.7、A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.8、B【解析】
根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡(jiǎn)可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡(jiǎn)可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí),到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.9、C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=10、A【解析】
首先畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實(shí)數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.11、B【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對(duì)比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】
設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)拋物線,不妨設(shè),取,通過求導(dǎo)得,,再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則,得到,兩式聯(lián)立,求得點(diǎn)N的軌跡,再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€,不妨設(shè),取,所以,即,所以,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過,所以,所以,所以,由,解得,所以點(diǎn)在直線上,所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.14、-189【解析】由二項(xiàng)式定理得,令r=5得x5的系數(shù)是.15、【解析】
畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的值,然后平行移動(dòng)可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)即可,當(dāng)過點(diǎn)時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn),即時(shí),與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn),由圖象可知,直線向下平移后有兩個(gè)交點(diǎn),可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.16、【解析】
由分段函數(shù)可得不滿足題意;時(shí),,可得,即有,解方程可得,4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.【詳解】解:由函數(shù),可得的增區(qū)間為,,時(shí),,,時(shí),,當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為,,可得不成立,時(shí),時(shí),不成立;,即為,可得,即有,顯然,4成立;由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn).綜上可得的所有值的和為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查不等式的解法,注意運(yùn)用分類討論思想方法,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件,由此證得(2)利用正弦定理化簡(jiǎn)(1)的結(jié)論,得到,利用三角形的面積公式列方程,由此求得,進(jìn)而求得的值,從而求得角.【詳解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值,進(jìn)而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.詳解:(1)∵,∴,∵為銳角,∴;(2)由余弦定理得:.點(diǎn)睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當(dāng)時(shí),;假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時(shí)結(jié)論也成立,∴當(dāng)時(shí),成立.綜上原不等式獲證.20、(1)(2)【解析】
(1)零點(diǎn)分段法分,,三種情況討論即可;(2)只需找到的最小值即可.【詳解】(1)由.若時(shí),,解得;若時(shí),,解得;若時(shí),,解得;故不等式的解集為.(2)由,有,得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式恒成立問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一
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