2024-2025學年高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.3二倍角的三角函數(shù)學案含解析北師大版必修4

PAGE3二倍角的三角函數(shù)考綱定位重難突破1.以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎，推導二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推導過程，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．2.能運用二倍角公式推導出半角公式，理解倍角公式和半角公式的內(nèi)在聯(lián)系、結構特點．3.嫻熟駕馭二倍角的余弦公式及其變形．4.能用三角函數(shù)的相關公式解決三角函數(shù)的綜合問題.重點：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式及其應用．2.半角公式的應用．難點：二倍角、半角公式的敏捷應用.授課提示：對應學生用書第64頁[自主梳理]1．二倍角公式2．半角公式[雙基自測]1．sin75°cos75°的值等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：sin75°cos75°＝eq\f(1,2)sin150°＝eq\f(1,4).答案：A2．若x＝eq\f(π,12)，則cos2x－sin2x的值等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：cos2x－sin2x＝cos2x＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).答案：D3．已知tanα＝－eq\f(3,4)，則tan2α等于()A.eq\f(7,24) B．－eq\f(7,24)C.eq\f(24,7) D．－eq\f(24,7)解析：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(3,4),1－－\f(3,4)2)＝－eq\f(24,7).答案：D授課提示：對應學生用書第64頁探究一利用倍角、半角公式求值[典例1](1)已知x∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，sin(eq\f(π,4)－x)＝－eq\f(3,5)，求cos2x的值；(2)已知sin(90°＋θ)＝－eq\f(3,5)，且180°＜θ＜270°，求taneq\f(θ,2).[解析](1)解法一∵sin(eq\f(π,4)－x)＝－eq\f(3,5)，x∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴eq\f(π,4)－x∈(－eq\f(π,4)，0)，cos(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(4,5)，∴cos2x＝sin(eq\f(π,2)－2x)＝sin[2(eq\f(π,4)－x)]＝2sin(eq\f(π,4)－x)cos(eq\f(π,4)－x)＝2×(－eq\f(3,5))×eq\f(4,5)＝－eq\f(24,25).解法二由已知條件得cosx－sinx＝－eq\f(3\r(2),5).將此式兩邊平方得2sinxcosx＝eq\f(7,25)，∵sin2x＝eq\f(7,25).∴x∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴2x∈(eq\f(π,2)，π)．∴cos2x＝－eq\r(1－sin22x)＝－eq\r(1－\f(7,25)2)＝－eq\f(24,25).(2)解法一由sin(90°＋θ)＝－eq\f(3,5)，得cosθ＝－eq\f(3,5)，∵180°＜θ＜270°，∴90°＜eq\f(θ,2)＜135°，∴taneq\f(θ,2)＜0，∴taneq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＝－eq\r(\f(1－－\f(3,5),1＋－\f(3,5)))＝－2.解法二由sin(90°＋θ)＝－eq\f(3,5)，得cosθ＝－eq\f(3,5)，∵180°＜θ＜270°，∴sinθ＜0，∴sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－\f(9,25))＝－eq\f(4,5)，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(－\f(4,5),1＋－\f(3,5))＝－2.己知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為：(1)先化簡已知或所求式子；(2)視察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值．1．已知銳角α，β，且tanα＝2，cosβ＝eq\f(5,13)，求：(1)sin2α；(2)tan(2α－β)．解析：(1)∵tanα＝2，∴sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×2,22＋1)＝eq\f(4,5).(2)∵tanα＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).∵cosβ＝eq\f(5,13)，且β為銳角，∴sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(5,13)2)＝eq\f(12,13)，∴tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(\f(12,13),\f(5,13))＝eq\f(12,5)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2α·tanβ)＝eq\f(－\f(4,3)－\f(12,5),1＋－\f(4,3)×\f(12,5))＝eq\f(56,33).探究二利用倍角、半角公式化簡與證明[典例2]化簡：[eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)](1＋tanα·taneq\f(α,2))．[解析][eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)](1＋tanα·taneq\f(α,2))＝(eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα))(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(2cosα,sinα)(1＋eq\f(1－cosα,cosα))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(1,cosα)＝eq\f(2,sinα).化簡三角函數(shù)的多種方法：(1)考慮角不同而想到異角化同角法；(2)考慮角之間的相互關系而想到角變換法；(3)分式形式將分子、分母分別進行變形整理，提取公因式的約分法；(4)根式利用倍角公式去根號時要留意三角函數(shù)值的符號；(5)形如1＋cosα化為2cos2eq\f(α,2)，1－cosα化為2sin2eq\f(α,2)；(6)遇到asinx＋bcosx，引入?yún)f(xié)助角化為Asin(x＋φ)的變換方法．這些是化簡三角函數(shù)式的特別重要和常用的方法．對于解決三角函數(shù)的其他問題，如求值、證明等，都會用到這些常見方法．2．求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.證明：左邊＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2α,\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cosα)＝sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)cosα＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．探究三三角恒等變換的應用[典例3]已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當x∈[0，eq\f(π,2)]時，求函數(shù)f(x)的最大值及相應的x值．[解析]f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)．(2)由x∈[0，eq\f(π,2)]可得eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6).所以，當2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)時，f(x)取最大值，最大值為2.首先利用倍角公式及兩角和的正弦公式，將f(x)轉(zhuǎn)化為只含一個角的三角函數(shù)的形式，即利用化歸的思想轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再探討f(x)的有關性質(zhì)，留意運用整體代換的思想將ωx＋φ看成一個整體去探討最值及單調(diào)性問題．3．已知向量a＝(cosx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，記函數(shù)f(x)＝2a·b＋1，其中x∈R(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若α∈(0，eq\f(π,2))，且f(eq\f(α,2))＝eq\f(2,3)，求cos2α的值．解析：(1)f(x)＝2(sinxcosx－cos2x)＋1＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，(2)∵f(eq\f(α,2))＝sinα－cosα＝eq\f(2,3)，∴1－2sinαcosα＝eq\f(4,9)，∴2sinαcosα＝eq\f(5,9)，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(14,9).∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＋cosα＝eq\f(\r(14),3).又cosα－sinα＝－eq\f(2,3)，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－eq\f(2\r(14),9).給三角函數(shù)去肯定值符號時易錯[典例]已知：eq\f(3π,2)＜α＜2π，化簡eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)).[規(guī)范解答]eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1＋cosα,2)))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2\f(α,2)))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)|cos\f(α,2)|).因為eq\f(3π,2)＜α＜2π，所以eq\