舉一反三系列高二高考數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修2專題4.5 等差數(shù)列的前n項和公式（重難點題型精講）（含答案及解析）

專題4.5等差數(shù)列的前n項和公式（重難點題型精講）1．等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列{}的前n項和==+(-)n，令=A，-=B，則=+Bn.

(1)當(dāng)A=0，B=0(即d=0，=0)時，=0是常數(shù)函數(shù)，{}是各項為0的常數(shù)列.

(2)當(dāng)A=0，B≠0(即d=0，≠0)時,=Bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，{}是各項為非零的常數(shù)列.

(3)當(dāng)A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)時，=+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0).3．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【題型1求等差數(shù)列的通項公式】【方法點撥】根據(jù)所給條件，利用等差數(shù)列的前n項和，求解等差數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2=18，S5=80，則數(shù)列A．2n+22 B．22?2nC．20?2n D．n【變式1-1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an前10項的和是310，前20項的和是1220，則數(shù)列的通項公式an為（A．a(chǎn)n=6n+2 B．a(chǎn)n=4n+2 C．【變式1-2】（2021·廣西·模擬預(yù)測（文））記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a3=2,S4=7A．n?1 B．n+12 C．2n?4 D．【變式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a12+a3A．a(chǎn)n=3n?5 B．a(chǎn)n=12【題型2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【方法點撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，進行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（文））設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．5558【變式2-1】（2021·全國·高二）設(shè)等差數(shù)列an與bn的前n項和分別為Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．13【變式2-2】（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9S3A．717 B．310 C．314【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知Sn,Tn分別是等差數(shù)列an與bn的前n項和，且A．1120 B．4178 C．4382【題型3等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系】【方法點撥】根據(jù)題意，分析所給的等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列an中，首項a1>0，公差d<0，Sn為其前n項和，則點A． B．C． D．【變式3-1】（2021·福建省高二開學(xué)考試）等差數(shù)列an中，a1<0，公差d>0，Sn為其前n項和，對任意自然數(shù)n，若點A． B．C． D．【變式3-2】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知an是各項不全為零的等差數(shù)列，前n項和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【變式3-3】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在各項不全為零的等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且S2011=S2014，A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【題型4求等差數(shù)列的前n項和】【方法點撥】根據(jù)條件，求出等差數(shù)列的基本量，得到首項和公差，利用等差數(shù)列的前n項和公式，進行求解即可.【例4】（2022·江蘇·高二期中）已知等差數(shù)列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an+2+an?2A．116 B．232 C．58 D．87【變式4-2】（2022·江蘇揚州·高二期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【變式4-3】（2022·山東·高三期中）已知數(shù)列an成等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【題型5等差數(shù)列前n項和的最值】【方法點撥】1.通項法若>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組來確定；若<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組來確定.2.二次函數(shù)法對于公差為非零的等差數(shù)列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函數(shù)最值的方法來求前n項和Sn的最值.這里應(yīng)由n及二次函數(shù)圖象對稱軸的位置來確定n的值.【例5】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a2=?27，a6A．?225 B．?224 C．?226 D．?223【變式5-1】（2022·甘肅·高二期中）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【變式5-2】（2022·陜西·高二期中）設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S5A．d<0 B．a(chǎn)7=0 C．S9>S5 D．【變式5-3】（2022·北京高三階段練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1+2a3=?1A．?4 B．?3 C．?2 D．?1【題型6等差數(shù)列的實際應(yīng)用】【方法點撥】對于等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實際問題，讀懂其中蘊含的數(shù)學(xué)語言，建立合適的等差數(shù)列，進行求解.【例6】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使得三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為Sn，如S3A．555 B．101 C．505 D．1010【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個里程碑，若在A點處里程碑上刻著“〣〤”，在B點處里程碑上刻著“〩〢”，則從A點到B點的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【變式6-3】（2022·江西上饒·高二期末（文））廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿塔內(nèi)石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢峭拔.上個世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境.某游客從塔底層（一層）進入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現(xiàn)知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，問這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周止共需幾步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368專題4.5等差數(shù)列的前n項和公式（重難點題型精講）1．等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列{}的前n項和==+(-)n，令=A，-=B，則=+Bn.

(1)當(dāng)A=0，B=0(即d=0，=0)時，=0是常數(shù)函數(shù)，{}是各項為0的常數(shù)列.

(2)當(dāng)A=0，B≠0(即d=0，≠0)時,=Bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，{}是各項為非零的常數(shù)列.

(3)當(dāng)A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)時，=+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0).3．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【題型1求等差數(shù)列的通項公式】【方法點撥】根據(jù)所給條件，利用等差數(shù)列的前n項和，求解等差數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2=18，S5=80，則數(shù)列A．2n+22 B．22?2nC．20?2n D．n【解題思路】聯(lián)立a2=18，【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a解得a1=20d=?2故選：B．【變式1-1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an前10項的和是310，前20項的和是1220，則數(shù)列的通項公式an為（A．a(chǎn)n=6n+2 B．a(chǎn)n=4n+2 C．【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式列方程求得a1與公差d【解答過程】設(shè)公差為d，依題意得S10解得a1所以an故選：C.【變式1-2】（2021·廣西·模擬預(yù)測（文））記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a3=2,S4=7A．n?1 B．n+12 C．2n?4 D．【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列通項和求和公式可構(gòu)造方程組求得a1【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a3=∴a故選：B.【變式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a12+a3A．a(chǎn)n=3n?5 B．a(chǎn)n=12【解題思路】根據(jù)條件a12+a3=7【解答過程】設(shè)公差為d，則S3=3a1+a32故選：B.【題型2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【方法點撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，進行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（文））設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．5558【解題思路】利用等差中項求解即可.【解答過程】因為an，b所以S15=15a1故選：D.【變式2-1】（2021·全國·高二）設(shè)等差數(shù)列an與bn的前n項和分別為Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．13【解題思路】利用等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)可求a6【解答過程】a6故選：D.【變式2-2】（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9S3A．717 B．310 C．314【解題思路】根據(jù)題意S3,S【解答過程】因為an為等差數(shù)列，所以S因為S9S3由2S6?S3所以S12?S所以S6故選：B.【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知Sn,Tn分別是等差數(shù)列an與bn的前n項和，且A．1120 B．4178 C．4382【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：b3+b【解答過程】因為數(shù)列{bn}所以a10又因為Sn,Tn分別是等差數(shù)列{an}所以a10故選：B.【題型3等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系】【方法點撥】根據(jù)題意，分析所給的等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列an中，首項a1>0，公差d<0，Sn為其前n項和，則點A． B．C． D．【解題思路】依據(jù)等差數(shù)列an的前n【解答過程】等差數(shù)列an的前n項和由d<0，知d2由a1>0，d<0，知對稱軸故選：C.【變式3-1】（2021·福建省高二開學(xué)考試）等差數(shù)列an中，a1<0，公差d>0，Sn為其前n項和，對任意自然數(shù)n，若點A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式寫出Sn，從函數(shù)角度，分析【解答過程】由等差數(shù)列前n項和公式得，Sn因為a1<0，d>0，所以d2令Sn=0，得n=0或故選：A.【變式3-2】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知an是各項不全為零的等差數(shù)列，前n項和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【解題思路】將Sn=d【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的首項和公差分別為a1，d，則Sn=d2n2+a1?d故選:C.【變式3-3】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在各項不全為零的等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且S2011=S2014，A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【解題思路】由等差數(shù)列an的前n項和Sn=d2【解答過程】解：由題意，等差數(shù)列an的前n項和Sn=d2n2+a1?d2故選：D．【題型4求等差數(shù)列的前n項和】【方法點撥】根據(jù)條件，求出等差數(shù)列的基本量，得到首項和公差，利用等差數(shù)列的前n項和公式，進行求解即可.【例4】（2022·江蘇·高二期中）已知等差數(shù)列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解.【解答過程】解：因為an所以3a所以a5則數(shù)列an的前14項之和S故選：C.【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an+2+an?2A．116 B．232 C．58 D．87【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式求解.【解答過程】∵an+2+an?2an+1∴a11+a∵a11+a15∴S29故選:A.【變式4-2】（2022·江蘇揚州·高二期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【解題思路】由題目條件及等差數(shù)列前n項和公式列出方程，可得答案.【解答過程】設(shè){an}首項為a1，公差為d.因S3＝6，S4則3a1+3d=6故選：C.【變式4-3】（2022·山東·高三期中）已知數(shù)列an成等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】設(shè)出公差，根據(jù)前n項和基本量計算出公差，從而求出S11【解答過程】設(shè)an的公差為d，由a3a1+3d=9故S11故選：C.【題型5等差數(shù)列前n項和的最值】【方法點撥】1.通項法若>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組來確定；若<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組來確定.2.二次函數(shù)法對于公差為非零的等差數(shù)列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函數(shù)最值的方法來求前n項和Sn的最值.這里應(yīng)由n及二次函數(shù)圖象對稱軸的位置來確定n的值.【例5】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a2=?27，a6A．?225 B．?224 C．?226 D．?223【解題思路】由a2，a6可得a1，d【解答過程】由題，a2=a所以Sn所以當(dāng)n=15時，Sn的最小值為?225故選：A.【變式5-1】（2022·甘肅·高二期中）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a1=22,S7=S16可解出d值為【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S7=S16又a1=22，所以d=?2，所以an=22?2n?1所以數(shù)列an滿足：當(dāng)n≤11時，an>0；當(dāng)n=12時，an=0所以Sn取得最大值時，n故選：B．【變式5-2】（2022·陜西·高二期中）設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S5A．d<0 B．a(chǎn)7=0 C．S9>S5 D．【解題思路】由S7?S6=a7可判斷B；由d=a7【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依次分析an是等差數(shù)列，若S6=又由S5<S6得而C選項，S9>S5，即又由a7=0且d<0，則a8∵S5<S6，S6=S7故選：C.【變式5-3】（2022·北京高三階段練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1+2a3=?1A．?4 B．?3 C．?2 D．?1【解題思路】根據(jù)題意，列方程求得d=2,a1=?3【解答過程】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因為等差數(shù)列an中，a1+2所以a1+2a所以a1=?3,a2=?1,所以Sn的最小值為S故選：A.【題型6等差數(shù)列的實際應(yīng)用】【方法點撥】對于等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實際問題，讀懂其中蘊含的數(shù)學(xué)語言，建立合適的等差數(shù)列，進行求解.【例6】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使得三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，便得到一個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為Sn，如S3A．555 B．101 C．505 D．1010【解題思路】利用等差數(shù)列求和公式得到S10【解答過程】由題意得：S10故10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為5050÷10=505.故選：C.【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列an的通項公式以及前n【解答過程】設(shè)8個兒子依次分綿a1斤，a2斤，a3則數(shù)列an因為綿的總重量為996斤，所以S8解得a1則第八個兒子分到的綿a8故選：D．【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號曾經(jīng)流行一時，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時要將“〡”“〢”“〣”橫過來寫．已知