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文檔簡介
專題4.7等比數(shù)列的概念(重難點題型精講)1.等比數(shù)列的概念2.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0),使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.
若G是a與b的等比中項,則,所以=ab,即G=.3.等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{}的首項為,公比為q,則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).4.等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列{}的通項公式=可以改寫為=,當q>0且q≠1時,等比數(shù)列{}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y=的圖象上一些孤立的點.5.等比數(shù)列的單調性已知等比數(shù)列{}的首項為,公比為q,則
(1)當或時,等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列;
(2)當或時,等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列;
(3)當q=1時,等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0);
(4)當q<0時,等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號,所有的偶數(shù)項也同號,但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).6.等比數(shù)列的性質設{}為等比數(shù)列,公比為q,則
(1)若m+n=p+q,m,n,p,q,則.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列.
(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列;
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列;
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列;
若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列,則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.
(4)在數(shù)列{}中,每隔k(k)項取出一項,按原來的順序排列,所得數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為.
(5)在數(shù)列{}中,連續(xù)相鄰k項的和(或積)構成公比為(或)的等比數(shù)列.
(6)若數(shù)列{}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.【題型1等比數(shù)列的基本量的求解】【方法點撥】根據所給條件,求解等比數(shù)列的基本量,即可得解.【例1】(2022·江西·高三階段練習(文))在等比數(shù)列an中,a2+a4=3,A.4 B.±4 C.2 D.±2【變式1-1】(2022·陜西·高二階段練習)已知等比數(shù)列an中,a2=116,aA.±4 B.±22 C.22【變式1-2】(2022·甘肅·高三階段練習(理))在等比數(shù)列an中,a2a4=64,aA.2 B.±2 C.2或43 D.【變式1-3】(2022·云南昆明·高二期末)在等比數(shù)列an中,a1+a3=2,A.2 B.3 C.13 D.【題型2等比中項】【方法點撥】根據題目條件,結合等比中項的定義,即可得解.【例2】(2022·黑龍江·高二期中)在等比數(shù)列an中,a1=18,q=2,則aA.±4 B.4 C.?2 D.?4【變式2-1】(2022·寧夏·高一期末)若等比數(shù)列的首項為4,公比為2,則數(shù)列中第2項與第4項的等比中項為(
)A.32 B.?16 C.±32 D.±16【變式2-2】(2022·廣東·高二期中)若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列,則實數(shù)a的值為(
)A.4 B.??4 C.±4【變式2-3】(2023·全國·高三專題練習)數(shù)列an為等比數(shù)列,a1=1,a5=4,命題p:a3=2,命題q:a3是A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【題型3等比數(shù)列的通項公式】【方法點撥】結合所給數(shù)列的遞推關系,分析數(shù)列之間的規(guī)律關系,轉化求解即可.【例3】(2022·湖南·高二期中)正項等比數(shù)列an滿足a1=2,a3=8A.2n?1 B.2n C.2n+1【變式3-1】(2022·陜西·高二階段練習(文))在各項為正的遞增等比數(shù)列an?中,a1a2aA.2n+1? B.2C.3×2n?1? D.【變式3-2】(2022·全國·高二課時練習)已知在等比數(shù)列an中,a3=4,前三項和S3=12A.an=?1C.an=4 D.a【變式3-3】(2022·山西太原·高三期末(理))等比數(shù)列{an}中,a3=8,A.an=2C.an=2n或12【題型4等比數(shù)列的單調性】【方法點撥】判斷單調性的方法:①轉化為函數(shù),借助函數(shù)的單調性,如基本初等函數(shù)的單調性等,研究數(shù)列的單調性.②利用定義判斷:作差比較法,即作差比較與的大?。蛔魃瘫容^法,即作商比較與的大小,從而判斷出數(shù)列{}的單調性.【例4】(2022·陜西·高二期中(理))數(shù)列an是等比數(shù)列,首項為a1,公比為q,則a1q?1<0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【變式4-1】(2022·遼寧·高二期中)設等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則anA.a1>0,q>1 B.aC.a1lgq>0【變式4-2】(2022·河南·高二階段練習(理))已知等比數(shù)列{an}的公比為q.若{anA.q<?1 B.?1<q<0 C.0<q<1 D.q>1【變式4-3】(2022·安徽宿州·高二期中)已知等比數(shù)列an,下列選項能判斷an為遞增數(shù)列的是(A.a1>0,0<q<1 B.aC.a1<0,q=1 D.a【題型5等比數(shù)列的判定與證明】【方法點撥】只有定義法、遞推法(等比中項法)可用于證明等比數(shù)列,通項公式法與前n項和公式法只能用于小題中等比數(shù)列的判定;在用定義法與遞推法(等比中項法)證明等比數(shù)列時要注意≠0.【例5】(2022·湖南省高二期中)在數(shù)列an中,a1=2(1)求證:an(2)求數(shù)列an【變式5-1】(2022·全國·高三專題練習)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1【變式5-2】(2022·福建省高三階段練習)已知數(shù)列an滿足an+1=12(1)求證:數(shù)列bn(2)若cn=?nb【變式5-3】(2022·全國·高三專題練習)在數(shù)列{an}中,已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{(1)證明數(shù)列{a(2)若a1=15,【題型6等比數(shù)列性質的應用】【方法點撥】對于等比數(shù)列的運算問題,可觀察已知項和待求項的序號之間的關系,利用等比數(shù)列的性質進行求解,這樣可以減少運算量,提高運算速度.【例6】(2021·廣西·高二階段練習)在等比數(shù)列{an}中,已知a3aA.4 B.6 C.8 D.10【變式6-1】(2022·全國·高三專題練習)己知在等比數(shù)列an中,a2a3aA.?2 B.±2 C.2 D.±【變式6-2】(2022·吉林白山·高二期末)已知等比數(shù)列{an}的公比q為整數(shù),且a1+a4A.2 B.3 C.-2 D.-3【變式6-3】(2020·北京高二期中)等比數(shù)列{an}中,a1?a2?a3=﹣26,a17?a18?a19=﹣254,則a9?a10?a11的值為()A.﹣210 B.±210 C.﹣230 D.±230專題4.7等比數(shù)列的概念(重難點題型精講)1.等比數(shù)列的概念2.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0),使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.
若G是a與b的等比中項,則,所以=ab,即G=.3.等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{}的首項為,公比為q,則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).4.等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列{}的通項公式=可以改寫為=,當q>0且q≠1時,等比數(shù)列{}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y=的圖象上一些孤立的點.5.等比數(shù)列的單調性已知等比數(shù)列{}的首項為,公比為q,則
(1)當或時,等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列;
(2)當或時,等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列;
(3)當q=1時,等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0);
(4)當q<0時,等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號,所有的偶數(shù)項也同號,但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).6.等比數(shù)列的性質設{}為等比數(shù)列,公比為q,則
(1)若m+n=p+q,m,n,p,q,則.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列.
(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列;
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列;
數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列;
若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列,則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.
(4)在數(shù)列{}中,每隔k(k)項取出一項,按原來的順序排列,所得數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為.
(5)在數(shù)列{}中,連續(xù)相鄰k項的和(或積)構成公比為(或)的等比數(shù)列.
(6)若數(shù)列{}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.【題型1等比數(shù)列的基本量的求解】【方法點撥】根據所給條件,求解等比數(shù)列的基本量,即可得解.【例1】(2022·江西·高三階段練習(文))在等比數(shù)列an中,a2+a4=3,A.4 B.±4 C.2 D.±2【解題思路】根據等比數(shù)列定義兩式相除即可得出公比q.【解答過程】a2+a4=qa1+故選:A.【變式1-1】(2022·陜西·高二階段練習)已知等比數(shù)列an中,a2=116,aA.±4 B.±22 C.22【解題思路】用基本量a1【解答過程】由題意,設等比數(shù)列an的首項為a1,公比為由a2=1可得a1q=116a故選:B.【變式1-2】(2022·甘肅·高三階段練習(理))在等比數(shù)列an中,a2a4=64,aA.2 B.±2 C.2或43 D.【解題思路】根據等比數(shù)列的定義,結合等比中項,建立方程組,可得答案.【解答過程】設an的公比為q,由a2a4=64a3+a5=40故選:A.【變式1-3】(2022·云南昆明·高二期末)在等比數(shù)列an中,a1+a3=2,A.2 B.3 C.13 D.【解題思路】利用a3+a5=a1【解答過程】在等比數(shù)列an中,由6=q2所以,a1所以a1故選:D.【題型2等比中項】【方法點撥】根據題目條件,結合等比中項的定義,即可得解.【例2】(2022·黑龍江·高二期中)在等比數(shù)列an中,a1=18,q=2,則aA.±4 B.4 C.?2 D.?4【解題思路】先通過等比數(shù)列的通項公式計算a4【解答過程】由已知a所以a4與a8的等比中項是故選:A.【變式2-1】(2022·寧夏·高一期末)若等比數(shù)列的首項為4,公比為2,則數(shù)列中第2項與第4項的等比中項為(
)A.32 B.?16 C.±32 D.±16【解題思路】根據等比數(shù)列的首項和公比可得數(shù)列中第2項與第4項,再根據等比中項的定義求解即可【解答過程】由題,該等比數(shù)列為4,8,16,32...,設第2項與第4項的等比中項為x則x2=8×32=256,故故選:D.【變式2-2】(2022·廣東·高二期中)若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列,則實數(shù)a的值為(
)A.4 B.??4 C.±4【解題思路】由等比中項的性質列方程求得.【解答過程】由已知得a2=2×8=16,∴故選:C.【變式2-3】(2023·全國·高三專題練習)數(shù)列an為等比數(shù)列,a1=1,a5=4,命題p:a3=2,命題q:a3是A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【解題思路】根據等比中項的定義結合等比數(shù)列的定義判斷可得出結論.【解答過程】因為數(shù)列an為等比數(shù)列,且a1=1,a5=4則a3是a1、a5若a3是a1、a5的等比中項,設an的公比為因為a32=a1因此,p是q的充要條件.故選:A.【題型3等比數(shù)列的通項公式】【方法點撥】結合所給數(shù)列的遞推關系,分析數(shù)列之間的規(guī)律關系,轉化求解即可.【例3】(2022·湖南·高二期中)正項等比數(shù)列an滿足a1=2,a3=8A.2n?1 B.2n C.2n+1【解題思路】利用等比數(shù)列的通項公式先求得公比q,從而求得an【解答過程】因為an是正項等比數(shù)列,所以q>0又因為a1=2,a3=8,所以所以an故選:B.【變式3-1】(2022·陜西·高二階段練習(文))在各項為正的遞增等比數(shù)列an?中,a1a2aA.2n+1? B.2C.3×2n?1? D.【解題思路】首先根據等比數(shù)列的通項公式求a1q2【解答過程】數(shù)列an?為各項為正的遞增數(shù)列,設公比為q?,且q>1∵a∴a∴a∵a∴4即4q2解得:q=2?∴a∴a故選:B.【變式3-2】(2022·全國·高二課時練習)已知在等比數(shù)列an中,a3=4,前三項和S3=12A.an=?1C.an=4 D.a【解題思路】由a3=4和【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為qa1q2=4a所以an=4或故選:D.【變式3-3】(2022·山西太原·高三期末(理))等比數(shù)列{an}中,a3=8,A.an=2C.an=2n或12【解題思路】由已知,結合等比數(shù)列的通項公式可得2q2?5q+2=0【解答過程】令公比為q,由題設有a2所以2q2?5q+2=(2q?1)(q?2)=0,解得q=所以an=a3q故選:C.【題型4等比數(shù)列的單調性】【方法點撥】判斷單調性的方法:①轉化為函數(shù),借助函數(shù)的單調性,如基本初等函數(shù)的單調性等,研究數(shù)列的單調性.②利用定義判斷:作差比較法,即作差比較與的大??;作商比較法,即作商比較與的大小,從而判斷出數(shù)列{}的單調性.【例4】(2022·陜西·高二期中(理))數(shù)列an是等比數(shù)列,首項為a1,公比為q,則a1q?1<0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題思路】由a1(q?1)<0,解得a1【解答過程】由已知a1(q?1)<0,解得a1>0q<1(q≠0)此時數(shù)列{a所以a1q?1<0若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,可得a1>0所以a1q?1<0所以“a1q?1<0故選:B.【變式4-1】(2022·遼寧·高二期中)設等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則anA.a1>0,q>1 B.aC.a1lgq>0【解題思路】分析可知q>0,分a1<0、a1【解答過程】因為an=a1qn?1,若①若a1<0,則對任意的n∈N?,an<0,由②若a1>0,則對任意的n∈N?,an>0,由所以,an為遞增數(shù)列的充要條件是a1>0,q>1或a1當a1>0,q>1時,lgq>0當a1<0,0<q<1時,lgq<0因此,數(shù)列an為遞增數(shù)列的充要條件是a故選:C.【變式4-2】(2022·河南·高二階段練習(理))已知等比數(shù)列{an}的公比為q.若{anA.q<?1 B.?1<q<0 C.0<q<1 D.q>1【解題思路】根據題設等比數(shù)列的性質,結合等比數(shù)列通項公式確定公比q的范圍即可.【解答過程】由題意,an=a∴要使{an}當0<q<1時,{a當q>1時,{a故選:C.【變式4-3】(2022·安徽宿州·高二期中)已知等比數(shù)列an,下列選項能判斷an為遞增數(shù)列的是(A.a1>0,0<q<1 B.aC.a1<0,q=1 D.a【解題思路】根據指數(shù)函數(shù)單調性和單調性的性質逐項分析即可.【解答過程】對于A,a1>0,0<q<1,則對于B,a1>0,q<0,則an對于C,a1<0,q=1,則對于D,a1<0,0<q<1,∵a1q<0,y=q故選:D﹒【題型5等比數(shù)列的判定與證明】【方法點撥】只有定義法、遞推法(等比中項法)可用于證明等比數(shù)列,通項公式法與前n項和公式法只能用于小題中等比數(shù)列的判定;在用定義法與遞推法(等比中項法)證明等比數(shù)列時要注意≠0.【例5】(2022·湖南省高二期中)在數(shù)列an中,a1=2(1)求證:an(2)求數(shù)列an【解題思路】(1)結合等比數(shù)列的定義證得結論成立.(2)根據(1)的結論以及等比數(shù)列的通項公式求得正確答案.【解答過程】(1)依題意,數(shù)列an中,a1=2所以an所以數(shù)列an?1是首項為a1(2)由(1)得:數(shù)列an?1是首項為a1所以an【變式5-1】(2022·全國·高三專題練習)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1【解題思路】根據題意即可證明an+1+1=3an+1【解答過程】因為an+1=3a又a1所以數(shù)列1+a則an所以an【變式5-2】(2022·福建省高三階段練習)已知數(shù)列an滿足an+1=12(1)求證:數(shù)列bn(2)若cn=?nb【解題思路】(1)根據等比數(shù)列的定義證明;(2)由(1)求得bn后可得cn,利用作商的方法得出c1【解答過程】(1)因為bn+1bn所以bn是首項為1,公比為1(2)由(1)得bn=12當n=1時,cn+1cn當n≥2時,2n>n+1>0,cn+1cn<1,又所以c1=c【變式5-3】(2022·全國·高三專題練習)在數(shù)列{an}中,已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{(1)證明數(shù)列{a(2)若a1=15,【解題思路】(1)根據等比數(shù)列的定義分析即可.(2)由(1)可得{an+an+1【解答過程】(1)各項都為正數(shù)的數(shù)列{an
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