舉一反三系列高二高考數(shù)學同步及復習資料人教A版選擇性必修2專題4.10 等比數(shù)列的前n項和公式（重難點題型檢測）（含答案及解析）

專題4.10等比數(shù)列的前n項和公式（重難點題型檢測）【人教A版2019選擇性必修第二冊】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節(jié)內容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知各項為正的等比數(shù)列的前5項和為3，前15項和為39，則該數(shù)列的前10項和為（

）A．32 B．313 C．122．（3分）（2022·河南·高三階段練習（文））已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a4=81，a1A．364 B．1094 C．368 D．10923．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項之和S3=12A．an=16??C．an=4 D．a4．（3分）（2022·江蘇省高二階段練習）已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和，若a2?a4=81A．2 B．3 C．6 D．95．（3分）（2022·廣東·一模）已知等比數(shù)列an的通項公式為an=210?n，n∈N?，記an的前n項和為Sn，前nA．17 B．18 C．19 D．206．（3分）（2022·山東煙臺·高三期中）為響應國家加快芯片生產制造進程的號召，某芯片生產公司于2020年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%．設an為第n年的維修費用，An為前n年的平均維修費用，若An<40萬元，則該設備繼續(xù)使用，否則從第A．2026 B．2027 C．2028 D．20297．（3分）（2022·山西運城·高三期中）已知數(shù)列an滿足an+1an=?3,a1=1，若bn=1an+3，數(shù)列A．?53,1 B．?53,18．（3分）（2022·云南·高三階段練習）設等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，aA．S2021>SC．T2022是數(shù)列Tn中的最大值 二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·遼寧·高二期末）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比為q，若S2A．S8=729 B．S8=820 C．10．（4分）（2022·全國·高二課時練習）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn是數(shù)列an的前n項和，若a1aA．q=2 B．數(shù)列Sn+2C．S8=254 D．數(shù)列11．（4分）（2022·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，aA．0<q<1 B．aC．Sn的最大值為S9 D．T12．（4分）（2022·全國·高二期末）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S2=4a1，a2是a1+1與12a3的等差中項，數(shù)列A．數(shù)列an的通項公式為B．SC．數(shù)列bn的通項公式為D．Tn的取值范圍是三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·四川省高一期中（文））在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若S10=10，S2014．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知等比數(shù)列an中，a3=4，S3=12，則數(shù)列a15．（4分）（2022·湖北·三模）已知數(shù)列an的通項公式為an=2n?1，保持數(shù)列an中各項先后順序不變，在ak與ak+1k=1,2,?之間插入2k個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列bn，記b16．（4分）（2022·上海高二期中）“康托爾塵?！笔菙?shù)學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為13的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形的面積和為S1；然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記所得的16個小正方形的面積和為S2；……；操作過程不斷地進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若S1+四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）在等比數(shù)列an中，q=12，S18．（6分）（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q=2，(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?1an，求數(shù)列b19．（8分）（2022·福建三明·高二階段練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足3Sn=2an(1)求數(shù)列an(2)令cn=anbn，求數(shù)列20．（8分）（2022·全國·高三專題練習）科學數(shù)據(jù)證明，當前嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化主要是工業(yè)革命以來人類活動造成的二氧化碳排放所致．應對氣候變化的關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現(xiàn)碳達峰，而后實現(xiàn)碳中和．2020年第七十五屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現(xiàn)碳達峰，努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰和碳中和的各項工作，某地為響應國家號召，大力發(fā)展清潔電能，根據(jù)規(guī)劃，2021年度火電發(fā)電量為8億千瓦時，以后每年比上一年減少20%，2021年度清潔電能發(fā)電量為4億千瓦時，以后每年比上一年增長25%．(1)設從2021年開始的nn∈N?年內火電發(fā)電總量為Sn億千瓦時，清潔電能總發(fā)電量為Tn億千瓦時，求S(2)從哪一年開始，清潔電能總發(fā)電量將會超過火電發(fā)電總量？21．（8分）（2022·上海市高二期末）設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設數(shù)列bn=log2an，對任意m∈N,m≥1，將數(shù)列bn中落入區(qū)間am+1?1,am+222．（8分）已知an是等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1，a2(1)若bk=am（m，(2)若b3=ai（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列bn中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q專題4.10等比數(shù)列的前n項和公式（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高二課時練習）已知各項為正的等比數(shù)列的前5項和為3，前15項和為39，則該數(shù)列的前10項和為（

）A．32 B．313 C．12【解題思路】利用等比數(shù)列的性質可得S10【解答過程】解：由等比數(shù)列的性質可得S5又S5=3,S15=39解得S10=12或S10故選：C.2．（3分）（2022·河南·高三階段練習（文））已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a4=81，a1A．364 B．1094 C．368 D．1092【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列可求公比q，再按照等比數(shù)列求和公式即可得S6【解答過程】解：等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a4=81則q3=a4a故選：D.3．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項之和S3=12A．an=16??C．an=4 D．a【解題思路】設公比為q，求出首項a1的公比q【解答過程】設公比為q，則a1q2=4a所以an=4或故選：D．4．（3分）（2022·江蘇省高二階段練習）已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和，若a2?a4=81A．2 B．3 C．6 D．9【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列下標性質，結合等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【解答過程】因為等比數(shù)列an所以由a2當q=1時，a1=9，所以當q≠1時，由S3?9q2因為等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以q=3故選：B.5．（3分）（2022·廣東·一模）已知等比數(shù)列an的通項公式為an=210?n，n∈N?，記an的前n項和為Sn，前nA．17 B．18 C．19 D．20【解題思路】根據(jù)題意求得Sn=210?210?n，Tn=2n(19?n)【解答過程】由題意，等比數(shù)列an的通項公式為a可得數(shù)列an是首項為29、公比為所以Sn=2由Tn>Sn，得2n(19?n)結合n∈N?，可得2≤n≤17，n∈N?.當當n≥18時，n(19?n)2≤9，Tn所以Tn綜上，使得Tn>S故選：A.6．（3分）（2022·山東煙臺·高三期中）為響應國家加快芯片生產制造進程的號召，某芯片生產公司于2020年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%．設an為第n年的維修費用，An為前n年的平均維修費用，若An<40萬元，則該設備繼續(xù)使用，否則從第A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【解題思路】前6年的維修費用構成等差數(shù)列，第6年及之后每年的維修費用構成等比數(shù)列，分成兩部分單獨求和，最后逐一計算第n年的前n年平均維修費用，與40作比較即可.【解答過程】設前n年的總維修費用為Sna1=20，則S6=6(即前6年可繼續(xù)使用.當n≥7時，an所以a7=5Sn則An計算得A8=585故從第9年起需對設備進行更新，更新的年份為2020+9?1=2028.故選：C.7．（3分）（2022·山西運城·高三期中）已知數(shù)列an滿足an+1an=?3,a1=1，若bn=1an+3，數(shù)列A．?53,1 B．?53,1【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列求an=?3n?1，進而得【解答過程】an+1an=?3,a1=1，可知aSn故Sn?3n?3<4t+2，即當n為奇數(shù)時，則對任意的奇數(shù)n，滿足t>?1716+當n=1時，gn=?1716+當n為偶數(shù)時，滿足t>?1716?316綜上可得t>?1，同理t?4≤S故當n=2時，74?3綜上：1<t≤5故選：D.8．（3分）（2022·云南·高三階段練習）設等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，aA．S2021>SC．T2022是數(shù)列Tn中的最大值 【解題思路】首先由條件分析出等比數(shù)列an的等比取值，即可得到a【解答過程】∵數(shù)列an∴a2021a2022=a1q2020?a又a2021?1a2022?1<0，∴當a2021?1<0a2022?1>0此時：a2021=a1q當a2021?1>0a2022?1<0綜上：0<q<1，∴數(shù)列an是a1>1∴S2021S2021∵a1>1，a2021>1，則有S2021S20212+STn為前n項的積，a2021>1，a∵T又：a∴T4042故選：D.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·遼寧·高二期末）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比為q，若S2A．S8=729 B．S8=820 C．【解題思路】因為an為等比數(shù)列，所以S2,【解答過程】因為an為等比數(shù)列，所以S因為S2=1,S得S4因為an>0，所以Sn因為S4所以S8?S因為q2=S4?故選：BC.10．（4分）（2022·全國·高二課時練習）在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn是數(shù)列an的前n項和，若a1aA．q=2 B．數(shù)列Sn+2C．S8=254 D．數(shù)列【解題思路】根據(jù)給定條件結合等比數(shù)列的性質求出等比數(shù)列an的公比和通項及前n項和，再逐一分析【解答過程】在等比數(shù)列an中，a2a3=a1而公比q為整數(shù)，于是得a2=4a3=8q=2，A正確；SnS8log2an+1故選：AB．11．（4分）（2022·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，aA．0<q<1 B．aC．Sn的最大值為S9 D．T【解題思路】根據(jù)題意a7>1，【解答過程】因為a1>1，a7所以a7>1，a8a7因為a1>1，0<q<1，所以數(shù)列an又a7>1，a8<1，所以故選：AD.12．（4分）（2022·全國·高二期末）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S2=4a1，a2是a1+1與12a3的等差中項，數(shù)列A．數(shù)列an的通項公式為B．SC．數(shù)列bn的通項公式為D．Tn的取值范圍是【解題思路】根據(jù)已知條件可求出等比數(shù)列an的公比和首項，進而可以求得an和Sn，從而可求bn，利用裂項相消法可求Tn【解答過程】A：由S2=4a1可得a2=3a1，∴由a2是a1+1與1即2a1×3=a1+1+12B：Sn=aC：bn=aD：T=1∴數(shù)列Tn是遞增數(shù)列，得T1≤Tn<故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·四川省高一期中（文））在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若S10=10，S20【解題思路】利用等比數(shù)列的求和公式的基本量運算即得，或利用等比數(shù)列前n項和的性質求解.【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為q，由題可知q≠±1方法一：由已知條件可列出方程組10=a11?∴q10∴S30方法二：由性質Sm+nS20=S∴q10∴S30方法三：運用性質Sm由已知條件S10=10，S20∴S101?q∴q10由S101?q方法四：運用性質Sk，S2k?Sk∵S10，S20?而S10=10，S20=30即30?102∴S30故答案為：70.14．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知等比數(shù)列an中，a3=4，S3=12，則數(shù)列an的通項公式為【解題思路】分q=1，q≠1，由a3=4，S3【解答過程】當q=1時，a1=a∴q=1符合題意，此時an當q≠1時，a3=a∴q=?1∴an故數(shù)列an的通項公式為an=4故答案為：an=4或15．（4分）（2022·湖北·三模）已知數(shù)列an的通項公式為an=2n?1，保持數(shù)列an中各項先后順序不變，在ak與ak+1k=1,2,?之間插入2k個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列bn，記b【解題思路】根據(jù)插入數(shù)的規(guī)則，先分析ak在bn中對應的項數(shù)，根據(jù)所得可驗證a6,a7在bn中的項數(shù)，據(jù)此【解答過程】因為ak與ak+1k=1,2,???所以ak在bn=k+2當k＝6時，2k+k?2=68，當k＝7時，所以a6=b68，S6為{因此T=6故答案為：130.16．（4分）（2022·上海高二期中）“康托爾塵?！笔菙?shù)學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為13的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形的面積和為S1；然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記所得的16個小正方形的面積和為S2；……；操作過程不斷地進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若S1+【解題思路】分別求出S1，S2進而可得Sn，可得S【解答過程】S1是4個邊長為13的小正方形面積之和，所以S2是42個邊長為13S3是43個邊長為13所以Sn所以Sn是首項為49，公比為所以S1所以S1+S所以49因為fx=4而f3f4=4所以需要操作的次數(shù)n的最小值為4次，故答案為：4.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）在等比數(shù)列an中，q=12，S【解題思路】利用等比數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關系,即可求解.【解答過程】解：設T1=a所以T2所以S100所以T218．（6分）（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q=2，(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?1an，求數(shù)列b【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項公式及等比數(shù)列前n和公式，即可得到方程a11?2（2）首先得到bn=(2n?1)?2【解答過程】（1）因為數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比q=2，S所以a11?2故an（2）由(1)得bnTn2T①?②得?=?2+2=?2+2?2Tn19．（8分）（2022·福建三明·高二階段練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足3Sn=2an(1)求數(shù)列an(2)令cn=anbn，求數(shù)列【解題思路】（1）根據(jù)an=S1,n=1Sn?Sn?1,n≥2，求出a【解答過程】（1）由3Sn=2an?1，取所以3a1=2當n≥2時，由條件可得3Sn=2an所以anan?1=?2，所以數(shù)列an是首項為?2因為b1=a1=?2，設等差數(shù)列bn的公差為d，則b2=?2+d,b故bn（2）cnTn?2T相減得3T所以3Tn所以Tn20．（8分）（2022·全國·高三專題練習）科學數(shù)據(jù)證明，當前嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化主要是工業(yè)革命以來人類活動造成的二氧化碳排放所致．應對氣候變化的關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現(xiàn)碳達峰，而后實現(xiàn)碳中和．2020年第七十五屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現(xiàn)碳達峰，努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰和碳中和的各項工作，某地為響應國家號召，大力發(fā)展清潔電能，根據(jù)規(guī)劃，2021年度火電發(fā)電量為8億千瓦時，以后每年比上一年減少20%，2021年度清潔電能發(fā)電量為4億千瓦時，以后每年比上一年增長25%．(1)設從2021年開始的nn∈N?年內火電發(fā)電總量為Sn億千瓦時，清潔電能總發(fā)電量為Tn億千瓦時，求S(2)從哪一年開始，清潔電能總發(fā)電量將會超過火電發(fā)電總量？【解題思路】（1）設2021年起，每年的火力發(fā)電量構成數(shù)列an，每年的清潔電能發(fā)電量構成數(shù)列bn，則根據(jù)題意得數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為45，首項為a1=8，數(shù)列（2）根據(jù)題意解Tn【解答過程】（1）解：設2021年度火電發(fā)電量為a1=8億千瓦時，以后每年度的火力發(fā)電量為因為根據(jù)規(guī)劃，2021年度以后，火電發(fā)電量每年比上一年減少20%，所以2021年起，每年的火力發(fā)電量構成數(shù)列an，且滿足a1=8所以數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為45，首項為所以an=8×4設2021年度清潔電能發(fā)電量為b1=4億千瓦時，以后每年度的清潔電能發(fā)電量為因為根據(jù)規(guī)劃，2021年度以后清潔電能發(fā)電量每年比上一年增長25%，所以2021年起，每年的清潔電能發(fā)電量構成數(shù)列bn，且滿足b1=4所以數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為54，首項為所以bn=4×5（2）解：根據(jù)題意，假設第n年清潔電能總發(fā)電量將會超過火電發(fā)電總量，所以Tn>S整理得16×5令54n=t>1，則16t+40t>56，即所以54n>故當n=5時，Tn即從2025年開始，清潔電能總發(fā)電量將會超過火電發(fā)