2024-2025學年新教材高中數(shù)學第九章統(tǒng)計9.2.2總體百分位數(shù)的估計9.2.3總體集中趨勢的估計教學用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE9.2.2總體百分位數(shù)的估計9.2.3總體集中趨勢的估計素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學法指導1．學會計算樣本百分位數(shù)，會對總體百分位數(shù)做出合理估計.(數(shù)學運算)2．理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義，會從已知數(shù)據(jù)中獲得上述特征數(shù)值.(數(shù)據(jù)分析)1．對比中位數(shù)，感受百分位數(shù)的含義，進一步體會四分位數(shù)的特征和價值.2．要始終基于詳細的案例體會數(shù)據(jù)向均值集中的趨勢.必備學問·探新知學問點1百分位數(shù)1．第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有__p%__的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按__從小到大__排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的__平均數(shù)__.3．四分位數(shù)25%,50%,75%這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).學問點2眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中__出現(xiàn)次數(shù)最多__的數(shù).(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，處于__中間__位置的數(shù).假如個數(shù)是偶數(shù)，則取__中間__兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的__和__除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù).[學問解讀]1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解(1)一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).說明：假如有幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這幾個數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)假如一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；假如一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù).(3)假如給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的變更都會引起平均數(shù)的變更，數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一百分位數(shù)的計算典例1從某珍寶公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨意抽取12顆珍寶，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0．(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,50,95百分位數(shù)；(2)請你找出珍寶質(zhì)量較小的前15%的珍寶質(zhì)量；(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍寶劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍寶等級的劃分標準.[解析](1)將全部數(shù)據(jù)從小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3,12×50%＝6,12×95%＝11.4，則第25百分位數(shù)是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，第50百分位數(shù)是eq\f(8.5＋8.5,2)＝8.5，第95百分位數(shù)是第12個數(shù)據(jù)為9.9．(2)因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數(shù)是第2個數(shù)據(jù)為7.9．即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個，它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9．(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15g，第50百分位數(shù)為8.5g，第95百分位數(shù)是9.9g，所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍寶為次品，質(zhì)量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍寶為合格品，質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍寶為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍寶為特優(yōu)品.[歸納提升]1．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟：(1)排列：依據(jù)從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)算i：計算i＝n×p%；(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2．依據(jù)頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算，其次估計百分位數(shù)在哪一組，再應用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得.【對點練習】?(1)求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．(2)某年級120名學生在一次百米測試中，成果全部介于13秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.假如從左到右的5個小矩形的面積之比為1︰3︰7︰6︰3，那么成果的70%分位數(shù)約為__16.5__秒.[解析](1)把12個數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，計算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為eq\f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21，第75百分位數(shù)為eq\f(27＋28,2)＝27.5．(2)設(shè)成果的70%分位數(shù)為x，因為eq\f(1＋3＋7,1＋3＋7＋6＋3)＝0.55，eq\f(1＋3＋7＋6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.85，所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×eq\f(6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.70，解得x＝16.5(秒).題型二眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算典例2某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56．(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？[解析](1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56,10)＝15(歲)，中位數(shù)為6歲，眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的牢靠性較差.[歸納提升]平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法平均數(shù)一般是依據(jù)公式來計算的；計算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的依次排列，再依據(jù)各自的定義計算.【對點練習】?某班甲、乙兩位同學在5次階段性檢測中的數(shù)學成果(百分制)如下所示，甲的成果是75,83,85,85,92，乙的成果是74,84,84,85,98，甲、乙兩位同學得分的中位數(shù)分別為x1，x2，得分的平均數(shù)分別為y1，y2，則下列結(jié)論正確的是(D)A．x1<x2，y1<y2 B．x1<x2，y1>y2C．x1>x2，y1>y2 D．x1>x2，y1<y2[解析]由題意可得x1＝85，x2＝84，故x1>x2，而甲的平均數(shù)y1＝eq\f(1,5)×(75＋83＋85＋85＋92)＝84，乙的平均數(shù)y2＝eq\f(1,5)×(74＋84＋84＋85＋98)＝85，故y1<y2．題型三總體集中趨勢的估計典例3某校從參與高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這次測試數(shù)學成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均分；(2)估計該校參與高二年級學業(yè)水平測試的學生的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).[解析](1)①由題圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75．②由題圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3．③由題圖知這次數(shù)學成果的平均分為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72．(2)由于數(shù)據(jù)是來自高二年級全部參與學業(yè)水平測試的學生的簡潔隨機樣本，所以可以估計高二年級參與學業(yè)水平測試的學生的眾數(shù)是75，中位數(shù)是73.3，平均分是72．[歸納提升]用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù).(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù).(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.【對點練習】?某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：mm)進行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)為(C)A．20 B．25C．22.5 D．22.75[解析]產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在概率是0.5的地方.自左至右各小矩形面積依次為0.1,0.2,0.4，…，設(shè)中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C．易錯警示不能正確理解平均數(shù)的含義典例4下列推斷正確的是(D)A．樣本平均數(shù)肯定小于總體平均數(shù)B．樣本平均數(shù)肯定大于總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)肯定等于總體平均數(shù)D．樣本量越大，樣本平均數(shù)越接近于總體平均數(shù)[錯解]A或B或C．[錯因