舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題2.3 基本不等式-重難點(diǎn)題型精講（含答案及解析）

專題2.3基本不等式-重難點(diǎn)題型精講1.兩個(gè)不等式eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．溫馨提示：“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．【題型1對(duì)基本不等式的理解】【方法點(diǎn)撥】(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【例1】（2022春?肥東縣月考）對(duì)于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正確，②錯(cuò)誤 B．②③正確，①錯(cuò)誤 C．①②錯(cuò)誤，③正確 D．①③錯(cuò)誤，②正確【變式1-1】（2022?上海）若實(shí)數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b＞2ab B．a(chǎn)+b＜2ab C．a(chǎn)2+2b＞2ab D．a(chǎn)2+2【變式1-2】（2022春?湯原縣期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，則（）A．a(chǎn)b≥1 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)2+b2≥2 【變式1-3】（2021秋?宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．0＜b＜12C．a(chǎn)b的最大值是18 D．a(chǎn)2+b2的最小值是【題型2利用基本不等式證明不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果．(2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到．(3)解題時(shí)要注意技巧，當(dāng)不能直接利用不等式時(shí)，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋?上饒期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求證：(1+1【變式2-1】（2022?甘肅模擬）已知a，b∈R+，設(shè)x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【變式2-2】（2021秋?桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求證：a（2）求證：a+b+1≥ab【變式2-3】（2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求證：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【題型3利用基本不等式求最值（無條件）】【方法點(diǎn)撥】(1)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通常化(或利用)和為定值，其解答技巧是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式．(2)若多次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件應(yīng)相同．【例3】（2022春?漳州期末）已知a＞1，則a+4A．5 B．6 C．32 D．【變式3-1】（2022春?甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-2】（2022?懷仁市校級(jí)二模）函數(shù)y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【變式3-3】（2022?香坊區(qū)校級(jí)模擬）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【題型4利用基本不等式求最值（有條件）】【例4】（2022秋?涼州區(qū)校級(jí)月考）已知a，b為正實(shí)數(shù)且a+b＝2，則baA．32 B．2+1 C．52 【變式4-1】（2022秋?廣東月考）若正實(shí)數(shù)y滿足2x+y＝9，則?1A．6+429 B．?6+429 C．【變式4-2】（2022秋?浙江月考）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4y+4=x+yA．13?2 B．2 C．2+13 D【變式4-3】（2022春?內(nèi)江期末）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b＝4，則(a+1A．22+2 B．4 C．254 【題型5利用基本不等式求參數(shù)】【例5】（2022春?愛民區(qū)校級(jí)期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【變式5-1】（2021秋?懷仁市校級(jí)期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【變式5-2】（2022春?內(nèi)江期末）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【變式5-3】（2021秋?武清區(qū)校級(jí)月考）設(shè)x＞0，y＞0，設(shè)2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【題型6利用基本不等式解決實(shí)際問題】【方法點(diǎn)撥】解決實(shí)際問題時(shí)，先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題(求解)，最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答)．【例6】（2021秋?陽春市校級(jí)月考）用一段長為32m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？【變式6-1】（2021秋?涼州區(qū)期末）如圖，計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為x，寬為y．（1）若菜園面積為72，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長最??？（2）若使用的籬笆總長度為30，求1x【變式6-2】（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）迎進(jìn)博會(huì)，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左、中、右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為60000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm．（1）試用欄目高acm與寬bcm（a＞0，b＞0）表示整個(gè)矩形廣告面積Scm2；（2）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個(gè)矩形廣告面積最小，并求最小值．【變式6-3】（2021秋?湖州期中）如圖設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點(diǎn)P．設(shè)AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13（Ⅱ）設(shè)△ADP面積為S，求S的最大值及相應(yīng)的x的值．專題2.3基本不等式-重難點(diǎn)題型精講1.兩個(gè)不等式eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．溫馨提示：“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．【題型1對(duì)基本不等式的理解】【方法點(diǎn)撥】(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【例1】（2022春?肥東縣月考）對(duì)于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正確，②錯(cuò)誤 B．②③正確，①錯(cuò)誤 C．①②錯(cuò)誤，③正確 D．①③錯(cuò)誤，②正確【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別判斷各選項(xiàng)即可．【解答過程】解：因?yàn)?4所以4+6＜當(dāng)取x＝﹣1時(shí)，顯然x+1x=?2≥2因?yàn)閍2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，所以a2+b故選：C．【變式1-1】（2022?上海）若實(shí)數(shù)a、b滿足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)+b＞2ab B．a(chǎn)+b＜2ab C．a(chǎn)2+2b＞2ab D．a(chǎn)2+2【解題思路】利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解．【解答過程】解：因?yàn)閍＞b＞0，所以a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，又a＞b＞0，所以a+b＞2ab，故A正確，a2+2b≥2a2×2b=2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a故選：A．【變式1-2】（2022春?湯原縣期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，則（）A．a(chǎn)b≥1 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)2+b2≥2 【解題思路】由已知結(jié)合基本基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過程】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，a+b＝2，所以ab≤（a+b2）2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，A因?yàn)椋╝+b）2＝a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝所以a+b≤2因?yàn)閍2+b22≥(a+b所以a2+b2≥2，C正確；1a+1b=12（a+ba+a+bb）=12（2故選：C．【變式1-3】（2021秋?宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．0＜b＜12C．a(chǎn)b的最大值是18 D．a(chǎn)2+b2的最小值是【解題思路】結(jié)合基本不等式，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答過程】解：根據(jù)題意，a＝1﹣2b＞0，b＞0，則0＜b＜12，所以選項(xiàng)2a+4b≥22a?4b=22a+2b=22，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b所以2a+4b≥22，選項(xiàng)B正確；由a＞0，b＞0，1＝a+2b≥22ab，即ab≤18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a=12所以ab的最大值是18，選項(xiàng)C由a+2b＝1，得a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，所以當(dāng)b=25時(shí)，a2+b2有最小值5×（25）2﹣4×25故選：D．【題型2利用基本不等式證明不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果．(2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到．(3)解題時(shí)要注意技巧，當(dāng)不能直接利用不等式時(shí)，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋?上饒期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求證：(1+1【解題思路】本題的關(guān)鍵是把分子的“1”換成a+b，由基本不等式即可證明．【解答過程】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1∴(1+=(2+b＝5+當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab，即a故原題得證．【變式2-1】（2022?甘肅模擬）已知a，b∈R+，設(shè)x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【解題思路】（1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（2）通過平方作差利用乘法公式即可得出．【解答過程】證明：（1）∵a，b∈R+，x=ab，y=∴xy=ab?a2+b（2）∵a，b∈R+，x+y=ab則（a+b）2﹣（x+y）2＝（a+b）2?(ab+而（a+b）4﹣（a﹣b）4＝8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）＝（a﹣b）4，∴（a+b）2≥2∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0，∴a+b≥x+y．【變式2-2】（2021秋?桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求證：a（2）求證：a+b+1≥ab【解題思路】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得證；（2）由基本不等式可得a+1≥2a，b+1≥2b，a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立，三個(gè)式子相加即可得證．【解答過程】證明：（1）因?yàn)?a+9b=1，a＞0所以a+b＝（a+b）（1a+9b）＝10+9ab+ba≥10+29ab?所以a+b≥16．（2）因?yàn)閍＞0，b＞0，則a+1≥2a，b+1≥2b，a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立，所以a+1+b+1+a+b≥2a+2b+2所以a+b+1≥a+【變式2-3】（2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求證：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【解題思路】（1）運(yùn)用分析法證明．要證a+b+c≥3，結(jié)合條件，兩邊平方，可得a2+b2+c2≥1（2）問題轉(zhuǎn)化為證明abc+bac+cab【解答過程】證明：（1）運(yùn)用分析法證明．要證a+b+c≥3即證（a+b+c）2≥3，由a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca＝1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即為a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，則①成立．綜上可得，原不等式成立．（2）∵abc而由（1）a+b+c≥3∴a+b+cabc≥3故只需1abc即abc+bac+cab即：abc+bac+cab≤ab+bc而abc=ab?ac≤ab+ac2，b∴abc+bac+cab≤ab+bc+ac（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c=3【題型3利用基本不等式求最值（無條件）】【方法點(diǎn)撥】(1)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，其解答技巧是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式．(2)若多次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件應(yīng)相同．【例3】（2022春?漳州期末）已知a＞1，則a+4A．5 B．6 C．32 D．【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．【解答過程】解：因?yàn)閍＞1，則a+4a?1=a﹣1+4a?1+當(dāng)且僅當(dāng)a﹣1=4a?1，即a＝故選：A．【變式3-1】（2022春?甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】利用基本不等式的性質(zhì)可求得答案．【解答過程】解：由已知函數(shù)y=x+4∵x≥1，∴4x＞∴x+4x當(dāng)且僅當(dāng)x=4x?，即x＝2∴?當(dāng)x＝2?時(shí)，函數(shù)y=x+4x?有最小值是故選：C．【變式3-2】（2022?懷仁市校級(jí)二模）函數(shù)y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【解題思路】由x＞13可得3x﹣1＞0，所以y＝3x+43x?1=3x【解答過程】解：由x＞13，得3x﹣1＞所以y＝3x+43x?1=3x﹣1+43x?1+1≥當(dāng)且僅當(dāng)3x﹣1=43x?1，即x＝所以y＝3x+43x?1的最小值為故選：D．【變式3-3】（2022?香坊區(qū)校級(jí)模擬）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【解題思路】把ba【解答過程】解：∵a＞0，b＞0，∴b≥4當(dāng)且僅當(dāng)ba∴ba2+1故選：C．【題型4利用基本不等式求最值（有條件）】【例4】（2022秋?涼州區(qū)校級(jí)月考）已知a，b為正實(shí)數(shù)且a+b＝2，則baA．32 B．2+1 C．52 【解題思路】由已知可知ba+【解答過程】解：因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)且a+b＝2，所以ba+2b=ba+a+bb=ba+ab所以ba+2故選：D．【變式4-1】（2022秋?廣東月考）若正實(shí)數(shù)y滿足2x+y＝9，則?1A．6+429 B．?6+429 C．【解題思路】推導(dǎo)出?1x?4y=?19（1x+4y）（【解答過程】解：正實(shí)數(shù)y滿足2x+y＝9，∴?1x?4y=?19=?19（6+8xy+yx當(dāng)且僅當(dāng)8xy則?1x?故選：B．【變式4-2】（2022秋?浙江月考）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4y+4=x+yA．13?2 B．2 C．2+13 D【解題思路】由題意可得1x+4y=x+y?4，再將兩邊同時(shí)乘以x+y【解答過程】解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足1x∴1x∴(1∴(x+y)2當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy，即y＝2∴當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x=4+2∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+13∴x+y的最小值為2+13故選：C．【變式4-3】（2022春?內(nèi)江期末）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b＝4，則(a+1A．22+2 B．4 C．254 【解題思路】由題可知(a+1b)(b+1【解答過程】解：∵正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b＝4，∴(a+1b)(b+1a)=ab+1ab當(dāng)且僅當(dāng)ab=1ab，即ab＝1，a+b＝∴(a+1b)(b+故選：B．【題型5利用基本不等式求參數(shù)】【例5】（2022春?愛民區(qū)校級(jí)期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【解題思路】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，進(jìn)而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答過程】解：∵x＞0，y＞0，且且1x+∴x+y＝（x+y）（1x+4y）＝5+yx當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy，即x＝3，∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜m＜1，即m∈（﹣9，1）．故選：D．【變式5-1】（2021秋?懷仁市校級(jí)期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【解題思路】由已知先利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后結(jié)合不等式的存在性問題與最值關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解二次不等式可求．【解答過程】解：因?yàn)閤＞0、y＞0，且2x+2x+y＝（2x+y）（2x+1y）＝當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx且2x+1y=1，即x＝y(tǒng)＝若2x+y＜m2﹣8m有解，則9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．故選：A．【變式5-2】（2022春?內(nèi)江期末）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【解題思路】由題意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2≥＝4【解答過程】解：因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以(a+1b)(b+1a)=ab+當(dāng)ab=1ab，即ab＝1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b又因?yàn)?a+1b=m所以由基本不等式可知a+1a≥2（a所以m≥2．故選：B．【變式5-3】（2021秋?武清區(qū)校級(jí)月考）設(shè)x＞0，y＞0，設(shè)2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【解題思路】由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x【解答過程】解：由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x+3y）（3x+2y）當(dāng)且僅當(dāng)4yx=9xy且2x+3y=1又因?yàn)?x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）．故選：C．【題型6利用基本不等式解決實(shí)際問題】【方法點(diǎn)撥】解決實(shí)際問題時(shí)，先弄清題意(審題)，建立數(shù)學(xué)模型(列式)，再用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題(求解)，最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答)．【例6】（2021秋?陽春市校級(jí)月考）用一段長為32m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？【解題思路】根據(jù)已知條件，求出x+y＝16，再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答過程】解：設(shè)矩形菜園的長為x（m），寬為y（m），則2（x+y）＝32，x+y＝16，矩形菜園的面積為xy（m2），由xy≤x+y2=162=8，xy≤64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)故這個(gè)矩形的長、寬都為8（m）時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為64（m2）．【變式6-1】（2021秋?涼州區(qū)期末）如圖，計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為x，寬為y．（1）若菜園面積為72，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長最??？（2）若使用的籬笆總長度為30，求1x【解題思路】（1）根據(jù)積定，應(yīng)用基本不等式求和的最小值，注意等號(hào)成立條件；（2）應(yīng)用基本不等式“1”的代換求1x【解答過程】解：（1）由題意知：xy＝72，籬笆總長為x+2y．又x+2y≥22xy=24，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝12，∴當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)，可使所用籬笆總長最??；（2）由題意得：x+2y＝30，又(1∴1x+2y≥310，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x∴1x+2【變式6-2】（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中