舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題4.1 指數(shù)-重難點題型精講(含答案及解析)_第1頁
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文檔簡介

專題4.1指數(shù)-重難點題型精講1.根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)(2)根式的定義與性質(zhì)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪注:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法,不可理解為個a相乘.在這樣的規(guī)定下,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量,只是形式不同而已.3.有理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用,即對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì):

①(a>0,r,s∈Q);

②(a>0,r,s∈Q);

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個常用結(jié)論:①當(dāng)a>0時,>0;

②當(dāng)a≠0時,=1,而當(dāng)a=0時,無意義;

③若(a>0,且a≠1),則r=s;

④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.4.無理數(shù)指數(shù)冪及實數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地,無理數(shù)指數(shù)冪(a>0,是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).這樣,我們就將指數(shù)冪(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù).

(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪,區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化】【方法點撥】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化運算法則,進(jìn)行計算即可.【例1】(2022?揚中市校級開學(xué))下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中,正確的是()A.?x=(?x)?12B.x?C.(xy)?34D.4y2=1y【變式1-1】(2022?茂名模擬)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A.?x=(?x)12C.6y2=y【變式1-2】(2021秋?電白區(qū)期中)下列根式中,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,正確的是()A.?x=(?x)12C.x?34=【變式1-3】(2021秋?水磨溝區(qū)校級月考)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,正確的是()A.?x=(?x)12C.x?34=【題型2指數(shù)式的化簡】【方法點撥】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì),進(jìn)行化簡計算即可.【例2】(2021秋?惠陽區(qū)校級月考)(112)0﹣(1﹣0.5﹣2)÷A.?13 B.13 C.43【變式2-1】(2021秋?杭州期中)20+A.25 B.35?1 C.35+1 【變式2-2】(2021秋?龍湖區(qū)校級期末)設(shè)a>0,b>0,化簡(aA.?13a23 B.?3a23【變式2-3】(2021秋?秦淮區(qū)校級月考)計算12A.1e B.e C.e2 D.【題型3根據(jù)指數(shù)式求參】【方法點撥】根據(jù)所給的指數(shù)關(guān)系式,利用指數(shù)冪的運算性質(zhì),化簡求解參數(shù)的值.【例3】(2021秋?海陵區(qū)校級月考)已知x7=5,則x的值為()A.5 B.75 C.?75 【變式3-1】(2021?廣東學(xué)業(yè)考試)已知x?23=A.±18 B.±8 C.344【變式3-2】(2022秋?諸暨市校級月考)若4a2?4a+1A.a(chǎn)≥12 B.a(chǎn)≤12 C【變式3-3】(2021秋?聊城期中)若69a2A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,13] C.[13,+∞) D.(13【題型4指數(shù)式的給條件求值問題】【方法點撥】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)解決帶有附加條件的求值問題,一般有三種思路:(1)將條件中的式子用待求式表示出來,進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論.(2)當(dāng)直接代入不易求解時,可以從總體上把握已知,式和所求式的特點,從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進(jìn)行化簡,再用整體代入法來求值.(3)適當(dāng)應(yīng)用換元法,能使公式的使用更清晰,過程更簡潔.【例4】(2021秋?昌吉州期末)已知a+1a=4A.2 B.2 C.?2 D.±【變式4-1】(2022?長沙縣校級開學(xué))若0<a<1,b>0,且ab﹣a﹣b=﹣2,則ab+a﹣b的值為()A.22 B.±22 C.?2【變式4-2】(2021秋?泉山區(qū)校級月考)已知10m=2,10n=3,則10A.49 B.89 C.23 【變式4-3】(2021秋?甌海區(qū)校級月考)已知實數(shù)a,b滿足(a+a2+1)(b+bA.﹣1 B.1 C.±1 D.0【題型5指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【方法點撥】指數(shù)方程常見的類型有:(1)f(x)=g(x);(2)=0.其中類型(1)利用同底法解,類型(2)利用換元法解.【例5】(2021秋?興慶區(qū)校級期末)方程3x?1A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1【變式5-1】(2021?閻良區(qū)校級自主招生)方程5x﹣1?103x=8x的解集是()A.{1,4} B.{14} C.{1,14} D.{4,【變式5-2】(2022春?汪清縣校級月考)方程4x﹣1=1A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.1【變式5-3】(2021秋?青浦區(qū)期末)方程4x﹣10?2x+16=0的解集是.【題型6指數(shù)冪等式的證明】【方法點撥】指數(shù)冪等式的證明中,設(shè)輔助參數(shù)是對數(shù)學(xué)問題的“層次性”的深刻認(rèn)識的體現(xiàn),是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為兩個或多個基本問題的重要分析方法.【例6】已知a>0且a≠1,(2a)m=a,(3a)m=2a,求證:(32)mn=2n【變式6-1】已知6|m|3k2+2?m22+3k2【變式6-2】已知:a>0,b>0,且ab=ba,求證:(ab)a【變式6-3】已知ax3=by3=cz3,且1x+1y+1z=1,求證:(ax2+專題4.1指數(shù)-重難點題型精講1.根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)(2)根式的定義與性質(zhì)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪注:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法,不可理解為個a相乘.在這樣的規(guī)定下,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量,只是形式不同而已.3.有理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用,即對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì):

①(a>0,r,s∈Q);

②(a>0,r,s∈Q);

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個常用結(jié)論:①當(dāng)a>0時,>0;

②當(dāng)a≠0時,=1,而當(dāng)a=0時,無意義;

③若(a>0,且a≠1),則r=s;

④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.4.無理數(shù)指數(shù)冪及實數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地,無理數(shù)指數(shù)冪(a>0,是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).這樣,我們就將指數(shù)冪(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù).

(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):

整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪,區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化】【方法點撥】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化運算法則,進(jìn)行計算即可.【例1】(2022?揚中市校級開學(xué))下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中,正確的是()A.?x=(?x)?12B.x?C.(xy)?34D.4y2=1y【解題思路】由已知結(jié)合二次根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化分別檢驗各選項即可判斷.【解答過程】解:?x=?x12x?13(xy)?344y2=故選:C.【變式1-1】(2022?茂名模擬)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A.?x=(?x)12C.6y2=y【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則化簡判斷即可.【解答過程】解:對于A:?x=?對于B:x?34=4(1對于C:6y2=|y對于D:[3(?x)2]34=((?x故選:B.【變式1-2】(2021秋?電白區(qū)期中)下列根式中,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,正確的是()A.?x=(?x)12C.x?34=【解題思路】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系得出A?x=?x12(x>0),6y2=(y【解答過程】解:A.?x=?x12(xB.6y2=(yC.x?34=4(1D.x?13故選:C.【變式1-3】(2021秋?水磨溝區(qū)校級月考)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,正確的是()A.?x=(?x)12C.x?34=【解題思路】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪與根式互化的運算性質(zhì)對應(yīng)各個選項逐個化簡即可.【解答過程】解:選項A:由運算性質(zhì)可得:?x=?x選項B:因為x≤0,所以6x2=選項C:x?34=1x34選項D:x?13=1x13故選:C.【題型2指數(shù)式的化簡】【方法點撥】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì),進(jìn)行化簡計算即可.【例2】(2021秋?惠陽區(qū)校級月考)(112)0﹣(1﹣0.5﹣2)÷A.?13 B.13 C.43【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求出.【解答過程】解:原式=1﹣(1﹣4)÷(32)2=1+3×故選:D.【變式2-1】(2021秋?杭州期中)20+A.25 B.35?1 C.35+1 【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解.【解答過程】解:原式=25+5+2﹣1=故選:C.【變式2-2】(2021秋?龍湖區(qū)校級期末)設(shè)a>0,b>0,化簡(aA.?13a23 B.?3a23【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行運算即可.【解答過程】解:(a23b13)?(?a12b故選:D.【變式2-3】(2021秋?秦淮區(qū)校級月考)計算12A.1e B.e C.e2 D.【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可.【解答過程】解:原式=2+1﹣1+e?故選:B.【題型3根據(jù)指數(shù)式求參】【方法點撥】根據(jù)所給的指數(shù)關(guān)系式,利用指數(shù)冪的運算性質(zhì),化簡求解參數(shù)的值.【例3】(2021秋?海陵區(qū)校級月考)已知x7=5,則x的值為()A.5 B.75 C.?75 【解題思路】根據(jù)根式性質(zhì)計算即可.【解答過程】解:由根式的定義知x7=5,則x=7故選:B.【變式3-1】(2021?廣東學(xué)業(yè)考試)已知x?23=A.±18 B.±8 C.344【解題思路】把已知等式變形,可得3x2=14【解答過程】解:由x?23=4,得∴x2=164故選:A.【變式3-2】(2022秋?諸暨市校級月考)若4a2?4a+1A.a(chǎn)≥12 B.a(chǎn)≤12 C【解題思路】先對4a2?4a+1=3(1?2a)3進(jìn)行化簡,然后根據(jù)絕對值方程|m|【解答過程】解:∵4a∴|2a﹣1|=1﹣2a則2a﹣1≤0解得a≤故選:B.【變式3-3】(2021秋?聊城期中)若69a2A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,13] C.[13,+∞) D.(13【解題思路】根據(jù)nan=a,n為奇數(shù)【解答過程】解:∵69a2?6a+1=∴1﹣3a≥0,∴a≤1故選:B.【題型4指數(shù)式的給條件求值問題】【方法點撥】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)解決帶有附加條件的求值問題,一般有三種思路:(1)將條件中的式子用待求式表示出來,進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論.(2)當(dāng)直接代入不易求解時,可以從總體上把握已知,式和所求式的特點,從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進(jìn)行化簡,再用整體代入法來求值.(3)適當(dāng)應(yīng)用換元法,能使公式的使用更清晰,過程更簡潔.【例4】(2021秋?昌吉州期末)已知a+1a=4A.2 B.2 C.?2 D.±【解題思路】推導(dǎo)出(a12?a?12)2【解答過程】解:∵a+1a∴(a12?a?12)2=a+1∴a1故選:D.【變式4-1】(2022?長沙縣校級開學(xué))若0<a<1,b>0,且ab﹣a﹣b=﹣2,則ab+a﹣b的值為()A.22 B.±22 C.?2【解題思路】根據(jù)題意,由ab﹣a﹣b=﹣2變形可得(ab﹣a﹣b)2=a2b+a﹣2b﹣2=4,由此求出a2b+a﹣2b的值,又由(ab+a﹣b)2=a2b+a﹣2b+2,變形計算可得答案.【解答過程】解:根據(jù)題意,ab﹣a﹣b=﹣2,則(ab﹣a﹣b)2=a2b+a﹣2b﹣2=4,則有a2b+a﹣2b=6,又由(ab+a﹣b)2=a2b+a﹣2b+2=6+2=8,則有ab+a﹣b=±22,又由0<a<1,b>0,ab+a﹣b>0,則有ab+a﹣b=22,故選:A.【變式4-2】(2021秋?泉山區(qū)校級月考)已知10m=2,10n=3,則10A.49 B.89 C.23 【解題思路】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可得出.【解答過程】解:∵10m=2,10n=3,∴103m?2n2=103m2÷故選:D.【變式4-3】(2021秋?甌海區(qū)校級月考)已知實數(shù)a,b滿足(a+a2+1)(b+bA.﹣1 B.1 C.±1 D.0【解題思路】設(shè)m=a+a2+1,n=b+b2+1,則mn=1,化簡1m=a2+1?【解答過程】解:∵實數(shù)a,b滿足(a+a2+1)(b+b2設(shè)m=a+a2+1,n=則1m=1a+a2+1所以m?1m=(a+a2+1)?(a2同理可得b=n?因為mn=1,所以n=1m,m所以a=m?1m2所以a+b=m?n2故選:D.【題型5指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【方法點撥】指數(shù)方程常見的類型有:(1)f(x)=g(x);(2)=0.其中類型(1)利用同底法解,類型(2)利用換元法解.【例5】(2021秋?興慶區(qū)校級期末)方程3x?1A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1【解題思路】利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.【解答過程】解:∵方程3x?1=19,∴3x﹣1=3﹣2,∴x﹣1=﹣2,∴x=﹣1,因此方程3x?1故選:B.【變式5-1】(2021?閻良區(qū)校級自主招生)方程5x﹣1?103x=8x的解集是()A.{1,4} B.{14} C.{1,14} D.{4,【解題思路】先把103x轉(zhuǎn)化為53x23x,8x=23x,然后再化簡求值即可.【解答過程】解:原方程可化為:5x﹣153x23x=23x,即54x﹣1=1,解得:x=1故選:B.【變式5-2】(2022春?汪清縣校級月考)方程4x﹣1=1A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.1【解題思路】由4x﹣1=116=4﹣2,得x﹣1=﹣2,由此能求出方程4x﹣【解答過程】解:∵4x﹣1=116=4∴x﹣1=﹣2,∴x=﹣1.故選:C.【變式5-3】(2021秋?青浦區(qū)期末)方程4x﹣10?2x+16=0的解集是{1,3}.【解題思路】利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解即可.【解答過程】解:由4x﹣10?2x+16=0得(2x)2﹣10?2x+16=0,設(shè)t=2x,則t>0,則原方程等價為t2﹣10t+16=0,即(t﹣2)(t﹣8)=0,解得t=2或t=8.由t=2x=2,解得x=1.由t=2x=8,解得x=3.故方程的解集為{1,3}.故答案為:{1,3}.【題型6指數(shù)冪等式的證明】【方法點撥】指數(shù)冪等式的證明

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