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河南省登封市外國(guó)語(yǔ)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,線段的垂直平分線過(guò),若橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,則的最小值為()A. B.3C.6 D.2.已知圓與圓,則兩圓的位置關(guān)系是()A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離3.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,定點(diǎn),M為拋物線上一點(diǎn),則|MA|+|MF|的最小值為()A.3 B.4C.5 D.64.已知點(diǎn),則滿足點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有()A.1 B.2C.3 D.45.設(shè)函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A. B.C. D.6.已知點(diǎn)A、是拋物線:上的兩點(diǎn),且線段過(guò)拋物線的焦點(diǎn),若的中點(diǎn)到軸的距離為3,則()A.3 B.4C.6 D.87.曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A.﹣9 B.﹣3C.9 D.158.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8,且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心,則該橢圓的左頂點(diǎn)為()A B.C. D.9.已知,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10.在數(shù)列中,,,,則()A.2 B.C. D.111.兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的公共弦所在直線的方程為()A.x+2y﹣6=0 B.x﹣3y+5=0C.x﹣2y+6=0 D.x+3y﹣8=012.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線,使它被該圓截得的線段最短,則直線的方程是______14.已知內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,已知,且,則c的最小值為_(kāi)_________.15.在空間直角坐標(biāo)系中,向量為平面ABC的一個(gè)法向量,其中,,則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____16.過(guò)直線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,點(diǎn)P為線段MC上的點(diǎn)(1)若平面PAB,試確定點(diǎn)P的位置,并說(shuō)明理由;(2)若,,,求三棱錐的體積18.(12分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)求在區(qū)間上的最值.19.(12分)已知二次函數(shù),.(1)若,求函數(shù)的最小值;(2)若,解關(guān)于x的不等式.20.(12分)已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若橢圓的下頂點(diǎn)為,如圖所示,點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于,且與交于,兩點(diǎn),與交于點(diǎn),四邊形和的面積分別為,,求的最大值.21.(12分)如圖甲是由正方形,等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形,其中,將其沿,,折起得三棱錐,如圖乙.(1)求證:平面平面;(2)過(guò)棱作平面交棱于點(diǎn),且三棱錐和的體積比為,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的左,右焦點(diǎn)分別為F1(﹣,0),F(xiàn)2(,0),且橢圓C過(guò)點(diǎn)(﹣).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過(guò)(0,﹣2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求直線l的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì),用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示,再利用均值不等式得到答案【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸,雙曲線實(shí)軸,由題意可知:,又,,兩式相減,可得:,,.,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),的最小值為6,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì),用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力2、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑,再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系,即可判斷位置關(guān)系.【詳解】對(duì)圓,其圓心,半徑;對(duì)圓,其圓心,半徑;又,故兩圓外切.故選:A.3、B【解析】作出圖象,過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M,A,H共線時(shí)|MA|+|MH|最小,求解即可【詳解】過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,由拋物線的定義可知|MF|=|MH|,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值,結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M,A,H共線時(shí)|MA|+|MH|最小,其最小值為.故選:B4、D【解析】以為圓心,為半徑,為圓心,為半徑分別畫(huà)圓,將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù),判斷兩圓的位置關(guān)系,從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心,為半徑,為圓心,為半徑分別畫(huà)圓,如圖所示,由題意,滿足點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù),因?yàn)?,所以?xún)蓤A外離,所以?xún)蓤A的公切線有4條,即滿足條件的直線有4條.故選:D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù),從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).5、A【解析】求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心,結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,,所以,函?shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,再將所得圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到奇函數(shù)的圖象,即函數(shù)為奇函數(shù).故選:A6、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求結(jié)果【詳解】設(shè),,則的中點(diǎn)到軸的距離為,則故選:D7、C【解析】y′=3x2,則y′|x=1=3,所以曲線在P點(diǎn)處的切線方程為y-12=3(x-1)即y=3x+9,它在y軸上的截距為9.8、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心,求得c,再根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是,所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是,即c=3,又橢圓的短軸長(zhǎng)為8,即b=4,所以橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,所以橢圓的左頂點(diǎn)為,故選:D9、B【解析】求得中的取值范圍,由此確定充分、必要條件.【詳解】,,所以“”是“”的充要條件.故選:B10、A【解析】根據(jù)題中條件,逐項(xiàng)計(jì)算,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,,,所以,因?故選:A.11、C【解析】?jī)蓤A方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】?jī)蓤A方程相減得,即x﹣2y+6=0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6=0故選:C12、C【解析】由an=Sn-Sn-1,【詳解】解:因?yàn)椋?,,兩式相減可得,即,因?yàn)?,,所以,即,時(shí),也滿足上式,所以,所以,故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知得圓的圓心為,所以當(dāng)直線時(shí),被該圓截得的線段最短,可求得直線的方程.【詳解】解:由得,所以圓的圓心為,所以當(dāng)直線時(shí),被該圓截得的線段最短,所以,解得,所以直線l的方程為,即,故答案為:.14、【解析】先利用正弦定理邊化角式子,得到,再利用正弦定理求出,根據(jù)與的關(guān)系,求得,即可求得c的最小值.【詳解】,即,又,當(dāng)最大時(shí),即,最小,且為由正弦定理得:,當(dāng)時(shí),c的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在解三角形題目中,若已知條件同時(shí)含有邊和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要選擇“邊化角”或“角化邊”,變換原則常用:(1)若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理,“角化邊”;(2)若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理,“邊化角”;(3)若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮余弦定理,“角化邊”;(4)代數(shù)變形或者三角恒等變換前置;(5)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí),要用到.15、【解析】根據(jù)向量為平面ABC的一個(gè)法向量,由求解.【詳解】因?yàn)?,,所以,又因?yàn)橄蛄繛槠矫鍭BC的一個(gè)法向量,所以,解得,所以,故答案為:16、【解析】當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí),切線長(zhǎng),最小,則四邊形的面積最小,此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離,再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:根據(jù)題意可知:當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí),切線長(zhǎng),最小,則四邊形的面積最小,此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.圓心到直線的距離為四邊形面積的最小值為故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)點(diǎn)P為MC中點(diǎn),理由見(jiàn)解析(2)【解析】(1)根據(jù)平面PAB,得到線線垂直,再得到點(diǎn)P的位置;(2)根據(jù)平面PAB,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】∵平面PAB,平面ABP,∴又∵在中,,∴P為MC中點(diǎn).∴若平面PAB,則點(diǎn)P為MC中點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí),在中,,,∴,同理可得∴在中,,∵由(1)知平面PAB,∴∴三棱錐的體積為18、(1)在、上是增函數(shù),在上是減函數(shù);(2)在區(qū)間,上的最大值為2,最小值為【解析】(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)(1)可知,函數(shù)在,、上為增函數(shù),在上為減函數(shù),求出端點(diǎn)值和極值,比較即可求出最值【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意,由于,,得到,,在、上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);【小問(wèn)2詳解】由(1)可知,函數(shù)在,,上為增函數(shù),在上為減函數(shù),,(1),,,在區(qū)間,上的最大值為2,最小值為19、(1)(2)當(dāng)時(shí),不等式的解集為當(dāng)時(shí),不等式的解集為當(dāng)時(shí),不等式的解集為【解析】(1)帶入,將化解為,再利用基本不等式求最值即可;(2)將不等式移項(xiàng)整理為,再對(duì)a分類(lèi)討論,比較兩根的大小,即可求得解集.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=3時(shí),函數(shù)可整理為,因?yàn)?,所以利用基本不等式,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),y取到最小值.所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為.【小問(wèn)2詳解】將不等式整理為,令,即,解得兩根為與1,因?yàn)?,?dāng)時(shí),即時(shí),此時(shí)的解集為;當(dāng)時(shí),即時(shí),此時(shí)的解集為;當(dāng)時(shí),即時(shí),此時(shí)的解集為.綜上所述,當(dāng)時(shí),不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式的解集為.20、(1)(2)【解析】(1)因?yàn)樵跈E圓上,所以,又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為,所以,解得,所以橢圓的方程為(2)由(1)可知,設(shè),則當(dāng)時(shí),,所以,直線的方程為,即,由得,則,,,又,所以,由,得,所以,所以,當(dāng),直線,,,,,所以當(dāng)時(shí),.點(diǎn)睛:在圓錐曲線中研究最值或范圍問(wèn)題時(shí),若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下方面考慮:①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)取的中點(diǎn)為,連接,,證明,,即證平面,即證得面面垂直;(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),再計(jì)算平面法向量,利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn)為,連接,.∵,∴.∵,,∴,同理.又,∴,∴.∵,,平面,∴平面.又平面,∴平面平面;(2)解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系可知,,,,,∴,.∵三棱錐和的體積比為,∴,∴,∴.設(shè)平面的法向量為,則,令,得.設(shè)直線與平面所成角為,則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求空間中直線與平面所成角的常見(jiàn)方法為:(1)定義法:直接作平面的垂線,找到線面成角;(2)等體積法:不作垂線,通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離,距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值;(3)向量法:利用平面法向量與斜線方向向量所成的
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