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文檔簡介
第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)題組直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.[2017全國卷Ⅲ,10,5分]在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC2.[2013新課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分][理]已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l3.[2017北京,18,14分]如圖841,在三棱錐PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).圖841(Ⅰ)求證:PA⊥BD;(Ⅱ)求證:平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)當(dāng)PA∥平面BDE時,求三棱錐EBCD的體積.4.[2017全國卷Ⅲ,19,12分][理]如圖842,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.圖842(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角DAEC的余弦值.5.[2016全國卷Ⅱ,19,12分][理]如圖843,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF=54,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=10圖843(Ⅰ)證明:D'H⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角BD'AC的正弦值.6.[2015湖北,20,13分][數(shù)學(xué)文化題]《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖844所示的陽馬PABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),連接DE,BD,BE.(Ⅰ)證明:DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;(Ⅱ)記陽馬PABCD的體積為V1,四面體EBCD的體積為V2,求V1V圖8447.[2013全國卷Ⅰ,18,12分][理]如圖845,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.圖845(Ⅰ)證明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.A組基礎(chǔ)題1.[2018南昌市高三調(diào)考,10]如圖846,四棱錐PABCD中,△PAB與△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,則下列結(jié)論不一定成立的是圖846()A.PB⊥AC B.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD2.[2018南寧市摸底聯(lián)考,16]如圖847,在正方形ABCD中,AC為對角線,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H.下列說法錯誤的是(將符合題意的序號填到橫線上).
圖847①AG⊥△EFH所在平面;②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面.3.[2018惠州市一調(diào),19]如圖848,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,點(diǎn)E在A1D上.圖848(1)證明:AA1⊥平面ABCD;(2)當(dāng)A1EED為何值時,A1B∥平面EAC,并求出此時直線A1B與平面4.[2018遼寧五校聯(lián)考,19]如圖849所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AB=2AF.圖849(1)證明:平面ABE⊥平面EBD;(2)若三棱錐ABDE的外接球的體積為82π3,求三棱錐AB組提升題5.[2017甘肅二診,19]如圖8410,在Rt△ABC中,AB⊥BC,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,AD=2DB,AC=3EC,沿DE將△ADE翻折起來,使得點(diǎn)A到P的位置,滿足PB=3DB.圖8410(1)證明:DB⊥平面PBC;(2)若PB=BC=3,PC=6,求二面角DPEC的正弦值.6.[2017長春第四次質(zhì)量監(jiān)測,19]如圖8411,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,AA1⊥平面ABCD,E為B1D的中點(diǎn).圖8411(1)證明:平面ACE⊥平面ABCD;(2)若二面角DAEC為60°,AA1=AB=1,求三棱錐CADE的體積.7.[2017南昌市三模,19]如圖8412,四棱錐PABCD的底面ABCD為平行四邊形,平面PAB⊥平面ABCD,PB=PC,∠ABC=45°,點(diǎn)E是線段PA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).圖8412(1)求證:AB⊥PC;(2)若△PAB是邊長為2的等邊三角形,求直線DE與平面PBC所成角的正弦值.答案1.C由正方體的性質(zhì),得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E?平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故選C.2.D由于m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,則平面α與平面β必相交,但未必垂直,且交線垂直于直線m,n,又直線l滿足l⊥m,l⊥n,則交線平行于l,故選D.3.(Ⅰ)因為PA⊥AB,PA⊥BC,且AB∩BC=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥平面ABC.又因為BD?平面ABC,所以PA⊥BD.(Ⅱ)因為AB=BC,D為AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(Ⅰ)知,PA⊥BD,且PA∩AC=A,AC?平面PAC,PA?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(Ⅲ)因為PA∥平面BDE,PA?平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因為D為AC的中點(diǎn),所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(Ⅰ)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐EBCD的體積V=16BD·DC·DE=14.(1)由題意可得△ABD≌△CBD,從而AD=DC.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.所以∠DOB為二面角DACB的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由題意及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA的方向為x軸正方向,|OA|為單位長,建立如圖D845所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),D(0,0,1).圖D845由題意知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的12,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的12,即E為DB的中點(diǎn),得E(0,32,12).故AD=(1,0,1),AC=(2,0,0),AE=(1,3設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,則n即-可取n=(1,33,1)設(shè)m是平面AEC的法向量,則m同理可取m=(0,1,3).則cos<n,m>=n·m|由圖可知,二面角DAEC為銳角,所以二面角DAEC的余弦值為775.(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC因此EF⊥HD,從而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-由EF∥AC得OHDO=AEAD=所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(Ⅱ)如圖D846,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HF的方向為x軸正方向,HD的方向為y軸正方向,HD'的方向為z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H圖D846則H(0,0,0),A(3,1,0),B(0,5,0),C(3,1,0),D'(0,0,3),AB=(3,4,0),AC=(6,0,0),AD'=(3,1,3)設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,則m·AB所以可取m=(4,3,5).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,則n·AC所以可取n=(0,3,1).于是cos<m,n>=m·n|m||sin<m,n>=295因此二面角BD'AC的正弦值是2956.(Ⅰ)因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD為長方形,可知BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因為DE?平面PCD,所以BC⊥DE.因為PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個鱉臑,其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(Ⅱ)由已知,知PD是陽馬PABCD的高,所以V1=13S長方形ABCD·PD=13BC·CD·由(Ⅰ)知,DE是鱉臑DBCE的高,BC⊥CE,所以V2=13S△BCE·DE=16BC·CE在Rt△PDC中,因為PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE=CE=22CD于是V1V2=13BC7.(Ⅰ)取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA1,A1B.因為CA=CB,所以O(shè)C⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB.因為OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交線為AB,所以O(shè)C⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩相互垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA的方向為x軸的正方向,|OA|為單位長,建立如圖D847所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.圖D847由題意知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(1,0,0).則BC=(1,0,3),BB1=AA1=(1,3,0),A1C=設(shè)n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,則n·BC=0,n·BB1=0故cos<n,A1C>=n·所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為105A組基礎(chǔ)題1.B如圖D848,對于選項A,取PB的中點(diǎn)O,連接AO,CO.∵在四棱錐PABCD中,△PAB與△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,∴AO⊥PB,CO⊥PB,∵AO∩CO=O,∴PB⊥平面AOC,∵AC?平面AOC,∴PB⊥AC,故選項A正確;對于選項B,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)M,易知M為AC的中點(diǎn),若PD⊥平面ABCD,則PD⊥BD,由已知條件知點(diǎn)D滿足AC⊥BD且位于BM的延長線上,∴點(diǎn)D的位置不確定,∴PD與BD不一定垂直,∴PD⊥平面ABCD不一定成立,故選項B不正確;對于選項C,∵AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD,∵PD?平面PBD,∴AC⊥PD,故選項C正確;對于選項D,∵AC⊥平面PBD,AC?平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD,故選項D正確.選B.圖D8482.①③④根據(jù)折疊前AB⊥BE,AD⊥DF可得折疊后AH⊥HE,AH⊥HF,可得AH⊥平面EFH,即②正確;∵過點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直,∴①不正確;∵AG⊥EF,AH⊥EF,∴EF⊥平面HAG,∴平面HAG⊥平面AEF,過H作直線垂直于平面AEF,該直線一定在平面HAG內(nèi),∴③不正確;∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正確,④不正確,綜上,說法錯誤的是①③④.3.(1)因為四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2,在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥同理AA1⊥AD,又AB∩AD=A,所以AA1⊥平面ABCD.當(dāng)A1EED=1時,A1B∥平面EAC.證明如下:如圖D849,連接BD交AC圖D849當(dāng)A1EED=1,即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時,連接OE,則OE∥A1B,又A1B?平面EAC,所以A1B直線A1B與平面EAC之間的距離等于點(diǎn)A1到平面EAC的距離,因為E為A1D的中點(diǎn),所以點(diǎn)A1到平面EAC的距離等于點(diǎn)D到平面EAC的距離,VDEAC=VEACD,設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF,則EF∥AA1,且EF=1,所以EF⊥平面ACD,又△ACD為邊長為2的等邊三角形,所以可求得S△ACD=3,所以VEACD=13×1×3=3又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2,所以S△EAC=72,所以13S△EAC·d=33(d表示點(diǎn)D到平面EAC的距離),解得d=2214.(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊥AD,ED?平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∵AB?平面ABCD,∴AB⊥ED,設(shè)AD=2a,則AB=a,又∠BAD=60°,∴AB⊥BD.又BD∩ED=D,BD?平面EBD,ED?平面EBD,∴AB⊥平面EBD,又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.(2)由(1)得AD⊥DE,AB⊥BE,∴三棱錐ABDE的外接球的球心為線段AE的中點(diǎn).∴43·π·(AE2)3=82π3,解得AE=22∴VABEF=VBAEF=13×12×1×2×32B組提升題5.(1)在Rt△ABC中,設(shè)AB=3,∵AD=2DB,PB=3DB,∴PD=AD=2,DB=1,PB=3,∴PD2=DB2+PB2,∴DB⊥PB.在Rt△ABC中,AB⊥BC,∵PB∩BC=B,PB?平面PBC,BC?平面PBC,∴DB⊥平面PBC.(2)∵PB=BC=3,PC=6,∴PB⊥BC.由(1)知,DB⊥平面PBC,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖D8410所示的平面直角坐標(biāo)系Bxyz,圖D8410則P(0,0,3),D(1,0,0),C(0,3,0),E(1,233,0),DP=(1,0,3),DE=(0,2設(shè)m=(x,y,z)是平面PDE的法向量,則m即-可取m=(3,0,1).同理,可知平面PEC的一個法向量n=(3,3,3).則|cos<m,n>|=|m·n設(shè)二面角DPEC的平面角為θ,由圖可知θ為鈍角,即cosθ=217∴sinθ=277,即二面角DPEC的正弦值為6.(1)連接BD,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F,連接EF,因為E為B1D的中點(diǎn),F為BD的中點(diǎn),所以EF∥BB1,所以EF⊥平面ABCD,因為EF?平面ACE,所以平面ACE⊥平面ABCD.(2)由于四邊形ABCD為菱形,所以以F為坐標(biāo)原點(diǎn),以FC,FD,FE的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角
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