專題03三角形中的導(dǎo)角模型-“8”字模型“A”字模型與三角板模型（教師卷）

專題03三角形中的導(dǎo)角模型“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長(zhǎng)，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵例3．（2023·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，已知線段相交于點(diǎn)O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點(diǎn)P，且與分別相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等即可證明；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解．②根據(jù)，可得，，再由三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，∵，∴；（2）解：①∵和的平分線和相交于點(diǎn)P，∴，∵①，②，由，得：，即，∵，∴；②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“8字形”求解．例4．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點(diǎn)，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點(diǎn)，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，求證：．【答案】(1)；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，，，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)證即可得出結(jié)論；（3）在上取一點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，證，即，同理證，然后同理（1）得，變形不等式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，即；（2）證明：平分，，在和中，，，；（3）證明：在上取一點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，是的角平分線，，在和中，，，，同理可證，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個(gè)或幾個(gè)定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實(shí)、定理、常用的數(shù)學(xué)結(jié)論和基本規(guī)律為基礎(chǔ)，圖形簡(jiǎn)單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個(gè)“8字形”中，存在結(jié)論．我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個(gè)“飛鏢形”中，存在結(jié)論．

(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：如圖2，、分別平分、，說明：．(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．

【答案】(1)見解析(2)①；②；③【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)題干的結(jié)論列出，相加得到，繼而得到，即可證明結(jié)論；（2）①如圖所示，分作的角平分線交于H，根據(jù)（1）的結(jié)論得到，再由角平分線的定義和平角的定義證明，，再根據(jù)題干的結(jié)論可推出；②如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知，，同理可得，，則由四邊形內(nèi)角和定理可得；③由題干的結(jié)論可得，由角平分線的定義得到，再求出，由題干的結(jié)論可知，由此可得．【詳解】（1）解：∵分別平分，∴，∴，由題干的結(jié)論得：，∠，∴，∴，∴，即；（2）解：①如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知，∵分別平分，∴，∵∴，∴，同理可得，由題干的結(jié)論可得，∴；

②如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知，，同理可得，，∴；③由題干的結(jié)論可得，∵平分，平分的外角，∴，∵，∴，由題干的結(jié)論可知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識(shí)圖并運(yùn)用好“8”字形的結(jié)論，然后列出兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基例2．（2023·綿陽(yáng)市·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·福建泉州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，若，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴∠ABC＝∠D＝45°，∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°90°=90°∴40°90°=50°故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．例6．（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請(qǐng)歸納與的關(guān)系是______________；（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（3）根據(jù)（1）和（2）可知，，根據(jù)，即可；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，則，，，再根據(jù)等量代換，即可．【詳解】（1）為直角三角形，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．

（2）∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．（3）由（1）和（2）得，，∵，∴，∴．（4），理由見下：由題意得，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形的外角和定理．例7．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應(yīng)用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；【答案】(1)180°(2)180°(3)360°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案．（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)四邊形中可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，故答案為：180°；（2）如圖，由（1）得，∵，∴．（3）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，，，故答案為：360°．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀D①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023·山西呂梁·聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖：和是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜邊AB、DE在同一直線上，其中，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵由題意得，，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．例2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，再結(jié)合對(duì)頂角相等，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角，牢記“三角形內(nèi)角和是”及“對(duì)頂角相等”是解題的關(guān)鍵．例3.（2023·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C、F分別為直角頂點(diǎn)，且，，若，則的度數(shù)是（）

A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可求出，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴．∵是的外角，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)在另一個(gè)三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，由題意得：，，

，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．例4．（2023春·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有．（填序號(hào)）

【答案】①②④【分析】如圖，由題意得：，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，進(jìn)而可求出，即可判斷③④；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和角的和差求出，即可判斷①；求出，進(jìn)而可判斷②．【詳解】解：如圖，由題意得：，∵，∴，

∵，∴，∴，，故結(jié)論③錯(cuò)誤；∵，∴，∴平分，故結(jié)論④正確；∵，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形的相關(guān)知識(shí)和平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)______秒時(shí)，；當(dāng)______秒時(shí)，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為，如圖2，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)、時(shí)，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)當(dāng)為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等(3)是定值，，理由見解析【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值；（3）找出與，，，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，當(dāng)時(shí)，

平分，，，又為的一個(gè)外角，，；如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，．故答案為：3；21．（2）①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，；③如圖，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述：當(dāng)為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等．（3）是為定值105，理由如下：是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個(gè)角之間的關(guān)系是關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東江門·八年級(jí)?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得，同理可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，，∴∵∴，同理可得：，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用內(nèi)外角之間的關(guān)系可得．【詳解】解：∵三角形的內(nèi)角和等于，∴可得和的鄰補(bǔ)角之和等于，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和等于,解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．3．（2023·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為(

)A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，進(jìn)而可求出∠ABD＋∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，在△DBC中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°，此題難度不大．4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵在于根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解．5．（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．【詳解】解：如圖，，，，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖標(biāo)記，然后利用三角形的外角性質(zhì)得，，再利用互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標(biāo)記，，，，又，，，，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由外角定理知，，將已知角代入求解即可．【詳解】解：如圖，，，∵，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角定理，觀察圖形，由角的位置關(guān)系導(dǎo)出角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙?jí)校考期末）將一個(gè)直角三角板與一個(gè)直尺按如圖所示的方式擺放，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到，結(jié)合得到得度數(shù)．【詳解】∵，，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，補(bǔ)角，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9（2022春·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)校考期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請(qǐng)你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°，∴∠1+∠2=360°（∠B+∠C）=360°90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案為：270°；（2）∠1+∠2=360°（∠B+∠C）=360°（180°∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2=180°+∠A；證明：∠1+∠2=360°（∠B+∠C）=360°（180°∠A）=180°+∠A；故答案為：180°+∠A．【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，若，則．

【答案】/250度【分析】按圖先進(jìn)行標(biāo)注，根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出，，，，再根據(jù)，進(jìn)行求解即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，進(jìn)行標(biāo)注，

是的一個(gè)外角，，是的一個(gè)外角，，即，是的一個(gè)外角，，，是的一個(gè)外角，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，圓周角及鄰補(bǔ)角的應(yīng)用，熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，．【答案】/240度【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】連接，，∴又，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對(duì)頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023春·重慶黔江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為度時(shí)，；當(dāng)為度時(shí)，．(2)當(dāng)時(shí)，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．【答案】(1)，(2)不變，理由見解析【分析】（1）如圖，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，由，可得，再利用角的和差關(guān)系可得答案；如圖，記與的交點(diǎn)為，求解，由角的和差關(guān)系可得答案；（2）如圖3，設(shè)分別交、于點(diǎn)、，在中，可得，結(jié)合，，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，

，

，，

，即，如圖，記與的交點(diǎn)為，

，，，，即，（2）當(dāng)，，保持不變，理由如下：如圖3，設(shè)分別交、于點(diǎn)、，在中，，

，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．13．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學(xué)研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；②由三角板可知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：；（2）解：①∵，，∴；②∵，，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫出求解過程）(3)請(qǐng)你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)140，90，50；(2)35，過程見解析；(3)，理由見解析．【分析】（1）在中，由和三角形內(nèi)角和定理求得，在中，由及三角形內(nèi)角和定理求得，即可求得；（2）按照（1）的過程即可得到答案；（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．【詳解】（1）在中，，，在中，，，；故答案為：140，90，50．（2）在中，，，在中，，，，故答案為：35；（3）與之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：在中，．在中，．，．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．15．（20