文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫全國(guó)版試題選修4-5不等式選講（習(xí)思用數(shù)學(xué)文）

選修45不等式選講考點(diǎn)1不等式的性質(zhì)1.已知a,b,c均為正數(shù),證明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63,并確定a,b,考點(diǎn)2絕對(duì)值不等式2.設(shè)函數(shù)f(x)=|x1|+|x2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函數(shù)g(x)=lnf(x)的值域.3.已知函數(shù)f(x)=2|x+a||x1|(a>0).(1)若函數(shù)f(x)與x軸圍成的三角形的面積的最小值為4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若對(duì)任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4.已知m>1,且關(guān)于x的不等式m|x2|≥1的解集為[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均為正實(shí)數(shù),且滿足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.設(shè)函數(shù)f(x)=x-2+11(1)求實(shí)數(shù)M的值;(2)求關(guān)于x的不等式|x2|+|x+22|≤M的解集.6.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x2|.(1)當(dāng)a=3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x4|的解集包含[1,2],求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)3證明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求證:ab+ba≥a+8.已知a,b,c均為正實(shí)數(shù).求證:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,則a+1+b+1+c+1答案1.解法一因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),所以a2+b2+c2≥3(abc)23因?yàn)?a+1b+1c≥3(所以(1a+1b+1c)2≥9(abc)故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23又3(abc)23+9(abc)-23≥227=所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)23=9(abc)-即當(dāng)a=b=c=314解法二因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,1a2+1b2+1c2≥1ab故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2=a2+b2+c2+1a2+1b2+1c2+2ab+2bc+2ac所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時(shí),③式等號(hào)成立.即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3142.(1)由題意知f(x)=|x1|+|x2|=3當(dāng)x<1時(shí),由f(x)>2,得32x>2,解得x<12,所以x<1當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)>2無(wú)解;當(dāng)x>2時(shí),由f(x)>2,得2x3>2,解得x>52,所以x>52綜上,不等式f(x)>2的解集為(∞,12)∪(52,+∞(2)因?yàn)閒(x)=|x1|+|x2|,則f(x)≥1,又函數(shù)y=lnx在其定義域內(nèi)為增函數(shù).所以函數(shù)g(x)=lnf(x)的值域?yàn)閇0,+∞).3.(1)由題意可得f(x)=-x-2a-圖D1函數(shù)f(x)與x軸圍成的三角形為△ABC,易求得A(2a1,0),B(1-2a3,0),C(a所以S△ABC=12[1-2a3(2a1)]×|a1|=23(a+1)2≥4(a>(2)由圖D1可知,f(x)min=f(a)=a1.對(duì)任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即a1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m|x2|≥1可化為|x2|≤m1,∴1m≤x2≤m1,即3m≤x≤m+1.∵不等式m|x2|≥1的解集為[0,4],∴3-m=0,(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥92,∴a2+b2的最小值為9解法二(消元法求二次函數(shù)的最值)∵a+b=3,∴b=3a,∴a2+b2=a2+(3a)2=2a26a+9=2(a-32)∴a2+b2的最小值為925.(1)f(x)=x-2+11-x≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x=132時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)f(x)的最大值M=32(2)由(1)知M=32.由絕對(duì)值三角不等式可得|x2|+|x+22|≥|(x2)(x+22)|=32.所以不等式|x2|+|x+22|≤32的解集就是方程|x2|+|x+22|=32的解.由絕對(duì)值的幾何意義得,當(dāng)且僅當(dāng)22≤x≤2時(shí),|x2|+|x+22|=32,所以不等式|x2|+|x+22|≤M的解集為{x|22≤x≤2}.6.(1)當(dāng)a=3時(shí),f(x)≥3?|x3|+|x2|≥3?x≤2,-2x+5≥3或2<x<3故當(dāng)a=3時(shí),不等式f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}.(2)由題意可得f(x)≤|x4|在區(qū)間[1,2]上恒成立?|x+a|+2x≤4x在區(qū)間[1,2]上恒成立?2x≤a≤2x在區(qū)間[1,2]上恒成立?3≤a≤0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,0].7.解法一(作差比較法)因?yàn)閍>0,b>0,所以ab+ba(a+b(a)3所以ab+ba≥a+解法二(作商比較法)因?yàn)閍>0,b>0,所以ab+baaa+b-abab=ab+(a-8.(1)要證(a+b)(ab+c2)≥4abc,可證a2b+ac2+ab2+bc24abc≥0,需證b(a2+c22ac)+a(c2+b22bc)≥0,即證b(ac)2+a(cb)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),取等號(hào),由已知,上式顯然成立,故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立.(