江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年蘇州市景城學(xué)校初二數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（本大題共8小題，每題2分，共16分）1.下面四個圖形分別是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的標(biāo)志，這四個標(biāo)志中是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；C、是軸對稱圖形，故選項正確；D、不是軸對稱圖形，故選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形的兩部分折疊后可重合．2.在實數(shù)，，，，，，，中是無理數(shù)的有（）個A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】C【解析】【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①含類，如，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如（兩個1之間依次增加1個0），（兩個2之間依次增加1個1）等．【詳解】解：，，，是有理數(shù)，，，，是無理數(shù)，故選C．3.已知的三條邊分別為a、b、c，三個內(nèi)角分別為、、，則滿足下列條件的不是直角三角形的是（）A.，， B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷A，B，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷C，D即可．【詳解】因為，所以是直角三角形，則A不符合題意；因為，所以是直角三角形，則B不符合題意；由，得，解得，可知不是直角三角形，則C符合題意；由，得，即，解得，所以是直角三角形，則D不符合題意．故選：C.【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4.下列二次根式中，化簡后可以合并的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了同類二次根式的判斷，化簡二次根式，被開方數(shù)相同的最簡二次根式叫做同類二次根式．【詳解】解：A、和不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；B、和是同類二次根式，能合并，符合題意；C、和不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；D、和不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；故選B．5.如圖，點A所表示實數(shù)為（）A. B. C. D.2.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可求得的長，再根據(jù)點在點B的右側(cè)，從而得出點所表示的數(shù)．【詳解】解：如圖

則，則點表示的實數(shù)為，故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)和數(shù)軸，以及勾股定理有關(guān)知識，掌握勾股定理求出直角三角形斜邊長是解題關(guān)鍵．6.一個等腰三角形的兩條邊分別為和n，且滿足，則等腰三角形的周長等于（）A.9 B.12 C.12或15 D.15【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)絕對值的非負(fù)性和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出m與n，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3時，∵，∴不符合三角形的三邊條件，∴不成立，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6時，∵，，∴符合三角形三邊條件，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系．7.如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，然后進(jìn)行分析即可解答．【詳解】解：如圖：分三種情況：當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作圓，點，，即為所求；當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作圓，點，，，，即為所求；當(dāng)時，作的垂直平分線，與正方形網(wǎng)格的交點不在格點上，綜上所述：滿足條件的格點的個數(shù)是8，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分三種情況進(jìn)行討論．8.如圖，已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，連接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，則下列結(jié)論：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等邊三角形，④∠BCD的度數(shù)為150°，其中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先證明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等邊三角形，③正確；根據(jù)?ABE與?CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正確；?ABC，?CAD為等腰三角形，頂角都為30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度數(shù)為150°④正確【詳解】解：∵?ABE與?CDE都是等腰直角三角形∴AE=BE,DE=CE∵∠AEB＝∠DEC＝90°∴∠AEC＝∠DEB∴△AEC≌△BED∴AC=BD∵AD＝AC＝AB∴AD＝BD＝AB∴②?ABD是等邊三角形正確∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°∵?ABE與?CDE都是等腰直角三角形∴∠EAB＝∠ABE=45°∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°∴AE為∠CAD的角平分線∵?ABD為等腰三角形∴①AE垂直平分CD正確∴∠CAD＝30°∴②AC平分∠BAD正確∵?ABC為等腰三角形，頂角∠BAC＝30°∴∠ACB＝∠ABC=75°同理∠ACD＝∠ADC=75°∴④∠BCD的度數(shù)為150°正確.故選D【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)及判定定理，內(nèi)角和定理，細(xì)心計算角度是關(guān)鍵.二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）9.如果在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴，故答案為：．10.16的平方根是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【詳解】即：16的平方根是故填：【點睛】此題主要考查平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根的定義．11.近似數(shù)精確到________位．【答案】千【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的精確度看a的最后一個數(shù)在原數(shù)中的位置，由的最后一個數(shù)為6，在原數(shù)中為千位，從而可得答案．【詳解】解：近似數(shù)所對應(yīng)的數(shù)為：306000，∵6對應(yīng)的是千位，∴近似數(shù)精確到千位，故答案為：千．【點睛】本題考查的是近似數(shù)的精確度問題，理解科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的精確度是解題的關(guān)鍵．12.若等腰三角形的一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為________°．【答案】或【解析】【分析】分的角為頂角和底角兩種情況進(jìn)行討論，利用等邊對等角和三角形的內(nèi)角和進(jìn)行計算即可．【詳解】①的角為頂角；②的角為底角時，則頂角的度數(shù)為：；故答案為：或．【點睛】本題考查利用等邊對等角求角度．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．13.如圖，在中，，，，將沿折疊得，連接，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理得到，根據(jù)翻折性質(zhì)得出，，然后借助三角形的面積公式列出關(guān)于線段CO的關(guān)系式，問題即可解決．【詳解】解：如圖，連接交于點O，∵，，，，∴，∴，根據(jù)翻折的性質(zhì)得，，，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC的延長線于點E．若，，則EC的長為______．【答案】【解析】【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵的垂直平分線交于點D，交的延長線于點E，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．15.如圖，點為的三個內(nèi)角的角平分線的交點，，，，將平移使其頂點與重合，則圖中陰影部分的周長為______．【答案】4【解析】【分析】連接AI，BI，由點I為△ABC的內(nèi)心，得到AI平分∠CAB，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAI=∠BAI．根據(jù)平移的性質(zhì)得到AC∥DI，由平行線的性質(zhì)和等角對等邊得到AD=DI，BE=EI，根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：連接AI，BI，∵點I為△ABC的內(nèi)心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI．由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID．∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI．同理可得：BE=EI，∴△DIE的周長=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB，因為，即圖中陰影部分的周長為4．故答案為：4．【點睛】本題考查角平分線的定義、平移的性質(zhì)、等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義、平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)和等角對等邊．16.如圖，中，，，，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在外作等邊．若F是DE的中點，當(dāng)CF取最小值時，的周長為____________．【答案】18【解析】【分析】連接BF，由△BDE是等邊三角形、點F是DE的中點，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射線BF的位置是固定的，再根據(jù)點到直線的距離垂線段最短可得到當(dāng)CF⊥BF時，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)列方程求出BD，最后求周長即可．【詳解】解：解：如圖，連接BF，∵△BDE是等邊三角形，點F是DE的中點，∴∠DBF=∠DBE=30°，又∵∠ABC=30°，∴∠CBF=60°，∴即射線BF的位置是固定的，∴當(dāng)CF⊥BF時，CF最短，此時∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，∴BF=BC.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，BC=，∴BF=，設(shè)BD=2x，則DF=x，∴，即，解得x=3∴BD=6∴的周長為18．故填：18．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，說明射線BF的位置不會隨著點D的移動而改變，而點C是射線BF外一點，由此可得當(dāng)CF⊥BF時，CF的長度最小成為解答本題的關(guān)鍵．三、填空題（本大題共8小題，每題2分，共68分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先算絕對值，二次根式乘法，再算加減即可；（2）先算除法，再算乘法即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相應(yīng)的運算法則．18.求下列各式中x的值．（1）（2）【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先將方程移項，然后根據(jù)平方根的定義即可求解；（2）先將方程移項，然后根據(jù)立方根的定義即可求解．【小問1詳解】，，，，解得：或；【小問2詳解】，，，解得：．【點睛】本題考查了根據(jù)平方根與立方根解方程，掌握平方根與立方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根．19.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根．【答案】±3．【解析】【分析】根據(jù)平方根和立方根定義求出a,b再求出c，再求a+b+c平方根．【詳解】解：根據(jù)題意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；

故a=5，b=2；

又∵2<<3，

∴c=2，

∴a+b+c=5+2+2=9，

∴9的平方根為±3．∴a+b+c的平方根±3．【點睛】考核知識點：開方.理解開方的方法是關(guān)鍵.20.已知，計算x﹣y2的值．【答案】-【解析】【詳解】由題意得：，解得：x=，把x=代入y=﹣4，得y=﹣4，當(dāng)x=，y=﹣4時x-y2=﹣16=﹣14．21.如圖，在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC．（1）△ABC的形狀是．（2）利用網(wǎng)格線畫△A′B′C′，使它與△ABC關(guān)于直線l對稱．（3）在直線l上求作點P使AP+CP的值最小，則AP+CP的最小值＝．【答案】（1）直角三角形；（2）見解析；（3）3．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出三邊平方關(guān)系式分析得出答案；（2）直接利用關(guān)于直線對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，連線即得答案；（3）直接利用對稱點，兩點之間線段最短的求最短路線方法得出答案．【詳解】（1）∵BC2=12+12=2，AB2=22+22=8，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；故答案為：直角三角形；（2）如圖所示：作點對稱，連線即得△A′B′C′即為所求；（3）根據(jù)兩點之間線段最短，作出點A的對稱點A′，連接A′C交直線l于點P，如圖所示：點P即為所求，AP+CP的最小值=A′C==3．故答案：3．【點睛】考查了圖形的對稱性，利用對稱點作圖形，勾股定理的判定和逆定理的應(yīng)用，兩點之間線段最短的性質(zhì)和作圖方法，掌握對稱性的圖形的性質(zhì)特點是解題關(guān)鍵．22.如圖，在和中，，點E為中點，，，點E、F關(guān)于成軸對稱，連接．求證：為等邊三角形．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，由軸對稱的性質(zhì)得到，則，由此可證明為等邊三角形．【詳解】解：如圖所示，連接，∵在和中，，點E為中點，∴，∵點E、F關(guān)于成軸對稱，∴，∴，∴為等邊三角形．23.如圖，已知，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）作的平分線，交于點D；（2）在線段上求作一點E，使得．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟知相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）作線段的垂直平分線交于E，則，由此可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求．24.細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問題：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；…（1）請用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：________，________；（2）我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘以，分母就變成了4，請仿照這種方法求的值．【答案】（1）n，（2）18【解析】【分析】本題考查了數(shù)學(xué)中的閱讀能力，規(guī)律問題，還有二次根式的化簡，分母有理化，關(guān)鍵是理解新定義和有關(guān)二次根式的化簡運算．（1）根據(jù)題意找到規(guī)律，，即可得到答案；（2）根據(jù)題意將原式進(jìn)行分母有理化進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；……，以此類推，可知，，故答案為：n，；【小問2詳解】解：．25.如圖1，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABD，與BC邊交于點E，（1）若∠ACE＝18°，則∠ECD＝（2）探索：∠ACE與∠ACD有怎樣數(shù)量關(guān)系？猜想并證明．（3）如圖2，作△ABC的高AF并延長，交BD于點G，交CD延長線于點H，求證：CH2+DH2＝2AD2．【答案】（1）45°；（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°，理由見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACE＝18°，得出∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝90°，AB＝AD，求出∠DAC＝54°，證出AC＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，即可得出答案；（2）由（1）得出∠BAC＝180°﹣2∠ACE，得出∠DAC＝90°﹣2∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（3）連接BH，由（2）得出∠ECD＝45°，由等腰三角形的性質(zhì)得出BF＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BH＝CH，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠HBC＝∠BCD＝45°，證出∠BHC＝90°，由勾股定理得出BH2+DH2＝BD2．進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACE＝18°，∴∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，∵以AB為直角邊作等腰直角三角形ABD，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAC＝144°﹣90°＝54°，∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝63°﹣18°＝45°；故答案為：45°；（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°；理由如下：由（1）得：∠BAC＝180°﹣2∠ACE，∴∠DAC＝∠BAC﹣90°＝90°﹣2∠ACE，∵AC＝AD，∴∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝[180°﹣（90°﹣2∠ACE）]＝45°+∠ACE，∴∠ACE＝∠ACD﹣45°；（3）連接BH，如圖2所示：由（2）得：∠ECD＝45°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠BCD＝45°，∴∠BHC＝90°，∴BH2+DH2＝BD2．∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD2＝2AD2，∴CH2+DH2＝2AD2．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26.定義：三角形中，連接一個頂點和它所對的邊上一點，如果所得線段把三角形的周長分成相等的兩部分，則稱這條線段為三角形的“周長平分線”．（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是_______（只要填序號）；①腰上的高；②底邊上的中線；③底角平分線．（2）如圖1，在四邊形中，，為的中點，．取中點，連接．求證：是的“周長平分線”．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取，的中點，，如圖2．請在上找點，，使為的“周長平分線”，為的“周長平分線”．①用無刻度直尺確定點，的位置（保留畫圖痕跡）；②若，，直接寫出的長．【答案】（1）②；（2）見詳解；（3）①見詳解；②【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及“周長平分線”的定義，即可判斷；（2）延長BA，CD交于點M，連接MP，則?BMC是等腰直角三角形，再證明?ABP??DMP，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）①連接QM，并延長交BP于點E，連接QN，并延長交BC于點F，即可；②連接AE，D