壓軸訓練：實數(shù)（解析版）

實數(shù)壓軸訓練壓軸題型一求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分例題：若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．【答案】【分析】根據(jù)首先確定的值，則小數(shù)部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．鞏固訓練1.的整數(shù)部分是．小數(shù)部分是．【答案】3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為；故答案為3，．【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．2.（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習）已知的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則，．【答案】【分析】根據(jù)的取值范圍，根據(jù)整數(shù)部分和小數(shù)部分的定義，即可求解，本題考查了，求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定義．【詳解】解：∵的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，，∴，，故答案為：，．3.已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a﹣b的值為．【答案】．【分析】先求出介于哪兩個整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用減去它的整數(shù)部分求出它的小數(shù)部分，再代入即可.【詳解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案為．【點睛】此題考查的是帶根號的實數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此題的關(guān)鍵.壓軸題型二與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題例題：（23-24七年級下·江蘇南京·階段練習）按要求填空：（1）填表并觀察規(guī)律：0.00040.044400（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知：，則______；已知：，，則______．【答案】（1）見解析；（2）；【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，算術(shù)平方根，根據(jù)解題過程找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）先求出每個數(shù)的算術(shù)平方根，再填表即可；（2）根據(jù)計算找出規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：（1），，，，填表如下：a（2）由以上解答過程發(fā)現(xiàn)：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大或縮小100倍，則它的算術(shù)平方根擴大或縮小10倍，；，，∵，．鞏固訓練1.（23-24七年級下·安徽蕪湖·期中）（1）填表并觀察規(guī)律：a0.00640.64646400____________________________________________（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①已知，則___________；②已知，則___________．（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡要說明．【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術(shù)平方根擴大10倍或縮小為原來的【分析】本題考查算術(shù)平方根中的規(guī)律探究：（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，填表即可；（2）根據(jù)表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術(shù)平方根擴大10倍或縮小為原來的，進行求解即可；（3）根據(jù)表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術(shù)平方根擴大10倍或縮小為原來的，作答即可．【詳解】解：（1）填表如下：a0.00640.646464000.080.8880（2）①，則：；故答案為：5800；②已知，則；故答案為：0.001225；（3）由表格可知：求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，被開方數(shù)擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術(shù)平方根擴大10倍或縮小為原來的．2.（23-24七年級下·貴州黔東南·階段練習）先填寫表，通過觀察后再回答問題∶a…1……x1y…(1)表格中________，________；(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題∶①已知，則________；②已知，若，用含m的式子表示b，則________；(3)試比較與a的大小．【答案】(1)，；(2)①；②；(3)見解析【分析】本題考查了求算術(shù)平方根及算術(shù)平方根的規(guī)律：（1）根據(jù)算術(shù)平方根定義直接求解即可得到答案；（2）①根據(jù)表格得到算術(shù)平方根的規(guī)律被開方數(shù)擴大倍，算術(shù)平方根擴大倍求解即可得到答案；②根據(jù)表格得到算術(shù)平方根的規(guī)律被開方數(shù)擴大倍，算術(shù)平方根擴大倍求解即可得到答案；（3）分，，，四類討論即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意得，，，故答案為：，；（2）解：由表格及（1）得，被開方數(shù)擴大倍，算術(shù)平方根擴大倍，①∵，∴，故答案為：；②∵，，∴，故答案為：；（3）解：當時，，當時，，當，時，．3.（23-24八年級下·廣東江門·期中）如圖，細心觀察圖形，認真分析下列各式，然后解答問題．，；，；，．(1)推算出______；______．(2)請用含（是正整數(shù)）的式子填空：______

______(3)求出的值．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】本題考查的是勾股定理、數(shù)字的變化規(guī)律；（1）根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可；（3）根據(jù)題意列出算式，根據(jù)乘方法則，加法法則計算即可．【詳解】（1）解：依題意，，，故答案為：，．（2）解：由題意得：，，故答案為：，；（3）．壓軸題型三開立方運算中小數(shù)點移動規(guī)律例題：（23-24七年級下·吉林四平·期中）已知：，則．【答案】【分析】本題考查了立方根，立方根擴大倍，被開方數(shù)擴大倍．根據(jù)被開方數(shù)的小數(shù)點向右移動6位則立方根的小數(shù)點向右移動2位，即可求解．【詳解】解：∵∴故答案為：．鞏固訓練1.（23-24七年級下·河南漯河·期中）已知，，，則．【答案】【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的立方根，根據(jù)結(jié)合已知條件即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．2.（23-24七年級下·湖北咸寧·期中）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知，若，則．【答案】【分析】本題主要考查的是立方根的性質(zhì)，熟練掌握被開方數(shù)小數(shù)點與對應(yīng)的立方根小數(shù)點移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．依據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點向左或向右移動3為對應(yīng)的立方根的小數(shù)點向左或向右移動1為求解即可．【詳解】若，則，故答案為：．3.（23-24七年級下·福建廈門·期中）如果，，那么；．【答案】【分析】本題考查了立方根，算術(shù)平方根，根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的變化特點和給出的數(shù)據(jù)進行解答即可．【詳解】解：，；故答案為：，．壓軸題型四平方根與立方根的綜合例題：（23-24七年級下·吉林白山·期末）已知的算術(shù)平方根為3，的立方根為4．(1)求，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、平方根的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由算術(shù)平方根的定義得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值；（2）先求出的值，再由平方根的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：的算術(shù)平方根為3，，解得，的立方根為4，，，解得，，．（2）解：，，，的平方根是．鞏固訓練1.（23-24七年級下·廣東汕尾·階段練習）已知的算術(shù)平方根是，的平方根是，是的整數(shù)部分，求：(1)、、的值；(2)的立方根．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根、求算術(shù)平方根的整數(shù)部分等知識點，能求出、、的值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可；（2）將（1）中求出的、、的值代入，求出結(jié)果后再求出立方根即可．【詳解】（1）解：的算術(shù)平方根是，的平方根是，，，解得：，，，，的整數(shù)部分是，即，，，；（2）解：，，，，，的立方根是．2.（23-24七年級上·山東煙臺·期末）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是2，c是的相反數(shù)．(1)求a，b，c的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，，(2)3【分析】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用，熟記相關(guān)結(jié)論即可．（1）根據(jù)，的相反數(shù)是即可求解；（2）計算出即可求解；【詳解】（1）解：∵的立方根是，∴，解得：；∵的算術(shù)平方根是2，∴，即，∴．∵c是的相反數(shù)，∴故：，，．（2）解：∵，，，∴，∴的算術(shù)平方根為33.（22-23七年級下·重慶江北·期末）已知的算術(shù)平方根是2，的立方根是3．(1)求的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)14(2)10【分析】（1）根據(jù)已知條件，求出、的值，即可求出最終答案；（2）把x、y的值代入，進而即可求解．【詳解】（1）解：∵的算術(shù)平方根是2，∴，解得：，又∵的立方根是3，∴，解得：，∵，∴的值為14.（2）解：由（1）可知，，，∵，∴的算術(shù)平方根是10．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、立方根的概念，掌握算術(shù)平方根、立方根的概念是關(guān)鍵．壓軸題型五程序設(shè)計與實數(shù)運算例題：（23-24八年級下·江西贛州·階段練習）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，原理如下：當輸入的時，輸出的．【答案】【分析】本題考查算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根、有理數(shù)、無理數(shù)的意義是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，輸入，進行計算，一直到是無理數(shù)則輸出即可．【詳解】解：第1次計算得，，而4是有理數(shù)，因此第2次計算得，，而2是有理數(shù)，因此第3次計算得，是無理數(shù)，則輸出．故答案為：．鞏固訓練1.（23-24七年級下·廣西南寧·期末）在信息技術(shù)課上，好學的小明制作了一個關(guān)于實數(shù)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為時，則輸入的實數(shù)x可取的負整數(shù)值是．【答案】或【分析】本題考查了實數(shù)的運算，理解程序的運算步驟是解題的關(guān)鍵．按照程序的運算步驟進行計算，即可解答．【詳解】解：若1次運算輸出的值是時，，，解得：或；若2次運算輸出的值是時，，，解答：或；若3次運算輸出的值是時，，，解答：或；，且取負整數(shù)，或，故答案為：或．2.（23-24七年級下·山西呂梁·期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：

當輸入的時，輸出的y等于．【答案】【分析】本題考查流程圖計算，涉及算術(shù)平方根、立方根，有理數(shù)與無理數(shù)的定義．根據(jù)流程圖，結(jié)合算術(shù)平方根運算，立方根運算，由無理數(shù)與有理數(shù)定義進行判斷即可得到答案．【詳解】解：當輸入的時，則取立方根為：，4是有理數(shù)，取算術(shù)平方根為：，2取立方根為：，是無理數(shù)，即，故答案為：．3.（23-24七年級下·四川南充·期中）下面是一個簡單的數(shù)值運算程序：當輸入x的值是時，輸出的結(jié)果是【答案】【分析】本題主要考查了與流程圖有關(guān)的實數(shù)計算，根據(jù)題意可得算式，據(jù)此計算即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，故答案為：．壓軸題型六新定義下的實數(shù)運算例題：（22-23八年級上·內(nèi)蒙古包頭·期末）對于兩個不相等的實數(shù)，定義一種新的運算如下，如:，那么．【答案】/0.4【分析】本題考查了新定義實數(shù)的運算，根據(jù)題意列式計算即可得出答案，理解題意是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．鞏固訓練1.（23-24八年級上·貴州畢節(jié)·期末）定義運算：，則．【答案】6【分析】本題考查的是算術(shù)平方根的計算，把，代入中計算即可．【詳解】解：，∴．故答案為：6．2.（23-24八年級下·山東東營·期末）對于任意不相等的兩個實數(shù)，，新定義一種運算*如下：那么．【答案】3【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，理解新定義運算并掌握二次根式乘除法計算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)規(guī)定的運算方法轉(zhuǎn)化為二次根式的混合運算，再進行計算即可．【詳解】解：故答案為：3．3.（22-23八年級上·江蘇南京·開學考試）我們用表示不大于的最大整數(shù)，如：，，.（1）；（2）若，則的取值范圍是.【答案】1/【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，新定義：（1）估算無理數(shù)的大小，再根據(jù)的意義進行計算即可；（2）根據(jù)的意義得到，進而得出x的取值范圍即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，故答案為：1；（2）∵，∴，∴，∴，故答案為：．壓軸題型七與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題例題：（23-24八年級下·四川綿陽·期中）已知數(shù)列：，，，，，……那么第6個數(shù)是．【答案】【分析】本題考查規(guī)律探索問題，結(jié)合已知數(shù)據(jù)總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律后即可求得．【詳解】解：第1個數(shù)：；第2個數(shù)：；第3個數(shù)：；第4個數(shù)：；故第6個數(shù)：；故答案為：．鞏固訓練1.（23-24七年級下·河南商丘·期中）將，，，，…，按如圖的方式排列．規(guī)定表示第排從左向右第個數(shù)，若表示的數(shù)為時，．【答案】【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探究問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到規(guī)律，進行解答，涉及有理數(shù)的乘方等知識．【詳解】第一排的個數(shù)為：，前一排的總數(shù)為：；第二排的個數(shù)為：，前兩排的總數(shù)為：，從右往左依次增大排列；第三排的個數(shù)為：，前三排的總數(shù)為：，從左往右依次增大排列；第四排的個數(shù)為：，前四排的總數(shù)為：，從右往左依次增大排列；……，∴第排的個數(shù)為：個，前排的總數(shù)為：個；奇數(shù)排從左往右依次增大排列；偶數(shù)排從右往左依次增大排