易錯訓練：分式和分式方程（解析版）

第十二章分式和分式方程易錯訓練易錯題型一分式值為0時求值，忽略分母不為0例題：（2024上·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）若分式，則x的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】本題考查了分式的值為0的條件，根據(jù)題意可得，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：，故選：D．鞏固訓練1．（2024上·廣東云浮·八年級羅定中學校聯(lián)考期末）分式的值為0，則的值為（

）A．2或 B．或 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了分式值為0的條件，根據(jù)分式值為0的條件是分子為0，分母不為0得到，解之即可得到答案．【詳解】解：∵的值為0，∴，解得，故選：D．2．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為零，則的值是（

）A．2或 B．2 C． D．4【答案】C【分析】本題考查了分式值為零的條件，當分式的值為0時，分子為0，分母不為0，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得，且，解得：且，即故選：C．3．（2023上·山東聊城·八年級?？茧A段練習）①當時，分式有意義；②當時，分式的值為0．【答案】【分析】本題考查了分式有意義的條件和分式為零的條件，根據(jù)分式有意義分母不為零，分式為零分子為零，分母不為零進行求解即可．【詳解】解：①分式有意義，，即，②分式的值為0，，得，故答案為：①；②．4．（2023秋·八年級單元測試）已知分式．(1)若分式無意義，求x；(2)若分式值為0，求x；(3)若分式的值為整數(shù)，求整數(shù)x的值．【答案】(1)或(2)(3)或4或8【分析】（1）分式無意義，分母值為零，進而可得，再解即可；（2）分式值為零，分子為零，分母不為零，進而可得，且，再解即可；（3）分式值為整數(shù)，將分式變形為，再根據(jù)數(shù)的整除求解．【詳解】（1）解：∵分式無意義，∴，解得：或；（2）∵分式值為0，∴，解得：；（3）∵分式的值為整數(shù)，∴或5或或，解得：或8或2或，∵且，∴整數(shù)x的值為或4或8．【點睛】此題主要考查了分式無意義、分式值為零、分式的值，關(guān)鍵是掌握各種情況下，分式所應(yīng)具備的條件．易錯題型二整式與分式混合運算易錯例題：（2024上·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）化簡：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的混合運算，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合運算法則計算即可．【詳解】解：．鞏固訓練1．（2024上·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】本題考查了分式的混合運算，首先將括號內(nèi)的式子進行通分，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分化簡即可，熟練掌握分式的混合運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．2．（2024·陜西西安·一模）化簡：．【答案】【分析】本題考查分式的化簡，掌握分式的混合運算法則，即可解題．【詳解】解：．3．（23-24八年級上·山東青島·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的通分及運算法則是的關(guān)鍵；（1）先進行分式的通分，在利用同分母分式的減法法則計算，然后進行約分，即可得到答案；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】（1）；，；（2）=．4．（2023上·山東東營·八年級?？计谥校┯嬎泐}：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查分式混合運算，涉及分式加減乘除混合運算、通分、約分等知識，熟練掌握分式混合運算的運算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）先通分，利用同分母的分式加法運算計算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解，約分即可得到答案；（2）先通分，利用同分母的分式加法運算計算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解，約分，最后通過整式乘法計算即可得到答案；（3）先通分，利用同分母的分式減法運算計算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解，約分即可得到答案；（4）先通分，利用同分母的分式減法運算計算，因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分，最后通分、利用同分母的分式減法運算計算后約分即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．易錯題型三自主取值再求值時，忽略分母或除式不能為0例題：（23-24八年級上·甘肅慶陽·期末）先化簡，再求值：，再從，，，中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【答案】，．【分析】本題考查了分式的化簡求值，先計算括號內(nèi)分式減法運算，然后將除法轉(zhuǎn)換成乘法進行約分化簡，最后選取符合題意的代入求值，熟練掌握運算順序和運算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，由題意得，且，∴時，原式，．鞏固訓練1．（2024·陜西西安·一模）先化簡，再從，0，中選取適合的數(shù)字求這個代數(shù)式的值．【答案】，當時，原式【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先根據(jù)分式的混合計算法則化簡分式，再根據(jù)分式有意義的條件得到且，據(jù)此得到，最后代值計算即可．【詳解】解；，∵分式有意義，∴，∴且，∴當時，原式．2．（23-24八年級上·湖南益陽·期中）先化簡，再求值：，請從0，1、2、3中選取一個合適的數(shù)作為x的值．【答案】，時，原式【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算是解題的關(guān)鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則變形，再計算除法運算，約分得到最簡結(jié)果，將代入計算即可求出值．【詳解】∵，，∴，，∴當時，原式．3．（23-24八年級上·貴州安順·期末）先化簡：，再從，0，1中選擇一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件，括號內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可化簡，再根據(jù)分式有意義的條件得出，代入計算即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，時，原式．4．（23-24八年級上·江西贛州·期末）先化簡，并從0，，2中選一個合適的數(shù)，作為a的值代入求值．【答案】，當時，原式＝1【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，掌握運算順序是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇合適的值代值計算即可．【詳解】解：，，，且，當時，原式．易錯題型四解分式方程不驗根例題：（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)無解(2)無解【分析】本題考查了解分式方程；（1）方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，檢驗后可得答案；（2）方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，檢驗后可得答案．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘以得：，解得：，檢驗：當時，，所以是增根，原方程無解；（2）解：方程兩邊同乘以得：，解得：，檢驗：當時，，所以是增根，原方程無解．鞏固訓練1．（23-24八年級下·江蘇揚州·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題主要考查分式方程的求解能力：（1）方程兩邊同乘以得整式方程，再求解，檢驗即可；（2）方程兩邊同乘以得整式方程，再求解，檢驗即可；【詳解】（1）解：，方程兩邊同乘以得：，解得，，檢驗：當時，最簡公分母，∴是原方程的解；（2）解：方程兩邊同乘以得：解得，

經(jīng)檢驗，是增根，∴原方程無解2．（23-24七年級下·山東濱州·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程無解(2)【分析】（1）根據(jù)解分式方程的一般步驟求解即可；（2）根據(jù)解分式方程的一般步驟求解即可．【詳解】（1）解：化為整式方程得，，去括號得，，移項、合并同類項得，，系數(shù)化為1得，，檢驗：把代入，∴是原方程的增根，原方程無解；（2）解：化為整式方程得，，去括號得，，移項、合并同類項得，，檢驗：把代入，∴是原方程的解．3．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法．（1）根據(jù)去分母、去括號、合并同類項、化系數(shù)為1，即可求解；（2）根據(jù)去分母、去括號、合并同類項、化系數(shù)為1，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，經(jīng)檢驗，是原方程的解，原方程的解為：；（2）解：，，，，，經(jīng)檢驗，是增根，原分式方程無解．4．（23-24八年級下·陜西西安·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)無解(2)【分析】本題主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后檢驗．（1）方程兩邊都乘，得，解這個方程得，經(jīng)檢驗：是增根，原分式方程無解；（2）方程兩邊都乘，得，解這個方程得，經(jīng)檢驗：是原分式方程的根，原分式方程的解為．【詳解】（1），方程兩邊都乘，得，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，解這個方程，得，經(jīng)檢驗：是增根，故原分式方程無解．（2），方程兩邊都乘，得，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，經(jīng)檢驗：是原分式方程的根，故原分式方程的解為：．5．（23-24八年級下·江蘇揚州·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查了解分式方程．熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵．先去分母將分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后進行檢驗即可．【詳解】（1）解：，，，，解得，，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；（2）解：，，，解得，，經(jīng)檢驗，不是原分式方程的解，∴原分式方程無解．易錯題型五分式方程無解與增根混淆不清例題：（23-24九年級下·山東臨沂·階段練習）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為．【答案】3【分析】本題考查解分式方程，增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根，所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，∵原方程有增根，

∴最簡公分母，解得，當時，，解得．故答案為：3．鞏固訓練1．（23-24八年級上·河北邢臺·期末）若關(guān)于的分式方程有增根，則增根是，的值是．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根問題，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．先確定最簡公分母，令最簡公分母為，求出的值，然后把分式方程化為整式方程，再將的值代入整式方程，解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：分式方程的最簡公分母為，分式方程有增根，，解得：，增根是，分式方程去分母得：，把代入方程得：，解得：，故答案為：，．2．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）若分式方程無解，則的值為．【答案】6【分析】本題考查解分式方程和分式方程的解，理解分式方程無解的意義是解答的關(guān)鍵．先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根為求解a值即可．【詳解】解：去分母，得：，則，∵分式方程無解，∴是分式方程的增根，∴，則，故答案為：6．3．（2024八年級·全國·競賽）若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】或1【分析】本題考查了分式方程無解，理解分式方程無解的含義是解題的關(guān)鍵．去分母，整理得，根據(jù)分式方程無解可知增根分別為或，分別求解即可．【詳解】分式方程兩邊都乘以最簡公分母，得：，整理得：，關(guān)于的分式方程無解，當時，得，解得，當時，得，解得．∴的值為或1．故答案為：或1．4．（2023·全國·九年級專題練習）已知關(guān)于x的分式方程.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2【詳解】試題分析：（1）原方程化為整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；（3）方程無解，可分為有增根和化成的整式方程無解兩種情況求解即可.試題解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因為原方程的增根為x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因為原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因為x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根為x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①當3－a＝0，即a＝3時，整式方程(3－a)x＝10無解，則原分式方程也無解；②當3－a≠0時，要使原方程無解，則由(2)知，此時a＝－2.綜上所述，a的值為3或－2.點睛：分式方程有增根時，一定存在使最簡公分母等于0的整式方程的解．分式方程無解是指整式方程的解使最簡公分母等于0或整式方程無解．易錯題型六已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時參數(shù)的值例題：（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則k的取值范固是．【答案】且【分析】本題主要考查了分式方程的解及分式方程有意義的條件、一元一次不等式組的求解，熟練掌握相關(guān)計算方法是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將分式方程的解用含的表達式進行表示，進而令，再因分式方程要有意義則，進而計算出的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，根據(jù)題意且∴∴∴k的取值范圍是且．故答案為：且．鞏固訓練1．（2023上·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值．解分式方程得：，再根據(jù)其解的情況求解即可，注意分母不能為0的條件．掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，化為整式方程為，解得：．∵該分式方程的解為正