【題型梳理練】數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題(解析版)_第1頁(yè)
【題型梳理練】數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題(解析版)_第2頁(yè)
【題型梳理練】數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題(解析版)_第3頁(yè)
【題型梳理練】數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題(解析版)_第4頁(yè)
【題型梳理練】數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題(解析版)_第5頁(yè)
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2/2【題型梳理練】數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的絕對(duì)值的最小值問(wèn)題】 1【題型2數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相遇問(wèn)題】 7【題型3數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的中點(diǎn)問(wèn)題】 12【題型4數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相距問(wèn)題】 19【題型5數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的和差倍分問(wèn)題】 24【題型6數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的定值問(wèn)題】 32【題型7數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的折返問(wèn)題】 37【題型8數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的規(guī)律問(wèn)題】 42【題型9數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的新定義問(wèn)題】 46知識(shí)點(diǎn):數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要解題步驟

1)畫(huà)圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況:運(yùn)動(dòng)方向和速度;

2)寫(xiě)點(diǎn)——寫(xiě)出所有點(diǎn)表示的數(shù):一般用含有t的代數(shù)式表示,向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示,向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示;

3)表示距離——右-左,若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值;4)列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式,求值。

注意:要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)?!绢}型1數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的絕對(duì)值的最小值問(wèn)題】【例1】(23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末)閱讀下面材料:若已知點(diǎn)A表示數(shù)a,點(diǎn)B表示數(shù)b,則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,則AB=a-b.回答下列問(wèn)題:(1)①點(diǎn)A表示數(shù)x,點(diǎn)B表示數(shù)1,則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)_____;②點(diǎn)A表示數(shù)x,點(diǎn)B表示數(shù)1,如果AB=6,那么x的值為_(kāi)_____;(2)①如果a+3+b-2=0,那么a=______,②當(dāng)代數(shù)式x+1+x-2取最小值時(shí),相應(yīng)的整數(shù)x的個(gè)數(shù)為(3)在數(shù)軸上,點(diǎn)D表示的數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)、O是原點(diǎn)、E在O的右側(cè)且到O的距離是9,動(dòng)點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)D開(kāi)始運(yùn)動(dòng),到達(dá)E點(diǎn)后立刻返回,再回到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在此過(guò)程中,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度始終保持每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)直接用含t的代數(shù)式表示OP.【答案】(1)①x-1②7或-5(2)①-3,2②4(3)當(dāng)0<t<12時(shí),OP=1-2t,當(dāng)12<t<5時(shí),OP=2t-1,當(dāng)5<t<192【分析】此題主要考查有理數(shù)與數(shù)軸的應(yīng)用,(1)①根據(jù)A、B兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解;②根據(jù)AB=6及A、B兩點(diǎn)之間的距離公式分情況討論即可求解;(2)①根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可求解;②根據(jù)代數(shù)式x+1+|x-2|的含義為點(diǎn)到-1和2的距離之和,故可得到取最小值時(shí),相應(yīng)的整數(shù)x(3)根據(jù)P點(diǎn)位置分情況討論,用含t的式子表示OP的長(zhǎng),即可求解.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分類(lèi)討論求解.【詳解】(1)①∵點(diǎn)A表示數(shù)x,點(diǎn)B表示數(shù)1,∴A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|x-1|;②點(diǎn)A表示數(shù)x,點(diǎn)B表示數(shù)1,∵AB=6,∴|x-1|=6∴x-1=6或x-1=-6∴x=7或x故答案為:①|(zhì)x-1|;②7或-5;(2)①∵a+3+∴a+3=0,b-2=0,∴a=-3,b=2,②代數(shù)式x+1+x-2的含義為點(diǎn)到-1和∴當(dāng)整數(shù)x的值為-1,0,1,2這4個(gè)值時(shí),x+1+|x-2|的最小值為3即相應(yīng)的整數(shù)x的個(gè)數(shù)為4個(gè);故答案為:①-1;2;②4;(3)在數(shù)軸上,點(diǎn)D表示的數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)、O是原點(diǎn)、E在O的右側(cè)且到O的距離是9,∴點(diǎn)D表示的數(shù)是-1,點(diǎn)E表示的數(shù)是9,D、E之間的距離DE=10,∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度始終保持每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,動(dòng)點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)D開(kāi)始運(yùn)動(dòng),到達(dá)E點(diǎn)后立刻返回,再回到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),∴0當(dāng)0<t<12時(shí),當(dāng)12<t<5時(shí),當(dāng)5<t<192時(shí),當(dāng)192<t<10時(shí),∴當(dāng)0<t<12時(shí),OP=1-2t,當(dāng)12<t<5時(shí),OP=2t-1,當(dāng)5<t<192【變式1-1】(23-24七年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期末)如圖,在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)表示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,且a,c滿足以下關(guān)系式:a+3+c-92(1)a=______;c=______;(2)若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與B點(diǎn)重合,則點(diǎn)C與數(shù)______表示的點(diǎn)重合;(3)若點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,當(dāng)代數(shù)式x-a+x-b+x-c取得最小值時(shí),此時(shí)x【答案】(1)-3,9(2)-11(3)1,12【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可;(2)先求出AB的中點(diǎn)表示的數(shù),由此即可得到答案;(3)分圖3-1,圖3-2,圖3-3,圖3-4四種情況討論求解即可.【詳解】(1)解:∵a+3+c-92=0,∴a+3=0c-9=0∴a=-3c=9故答案為:-3;9;(2)解:∵點(diǎn)A表示的數(shù)為-3,點(diǎn)B表示的數(shù)為1,∴AB中點(diǎn)表示的數(shù)為-1,∴點(diǎn)C到AB中點(diǎn)的距離為10,∴點(diǎn)C與數(shù)-1-10=-11表示的點(diǎn)重合,故答案為:-11;(3)解:由題意得x-a=x+1∴代數(shù)式x-a+x-b+x-c的值即為點(diǎn)P到A、如圖3-1所示,當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)x-a+如圖3-2所示,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),x-a如圖3-3所示,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),x-a如圖3-4所示,當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)右側(cè)時(shí),x-a∴綜上所述,當(dāng)P與B點(diǎn)重合時(shí),x-a+【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)性的性質(zhì),絕對(duì)值的幾何意義,數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離,用數(shù)軸表示有理數(shù)等等,熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式1-2】(23-24七年級(jí)·廣東深圳·期末)如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)表示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,且a,c滿足|a+2|+(c-8)2=0(1)a=_____________,c=_________________;(2)若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與B點(diǎn)重合,則點(diǎn)C與數(shù)表示的點(diǎn)重合.(3)在(1)(2)的條件下,若點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,當(dāng)代數(shù)式|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值時(shí),此時(shí)x=____________,最小值為_(kāi)_________________.(4)在(1)(2)的條件下,若在點(diǎn)B處放一擋板,一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng);同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)C處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng),在碰到擋板后(忽略球的大小,可看做一點(diǎn))以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒),請(qǐng)表示出甲、乙兩小球之間的距離d(用t的代數(shù)式表示)【答案】(1)-2,8;(2)-9;(3)1;10;(4)d={8-2t-(-2-t)=10-t(0≤t≤3.5)【分析】(1)根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則這兩個(gè)數(shù)均為零即可得出答案;(2)先求出AB=3,則折點(diǎn)為AB的中點(diǎn),故折點(diǎn)表示的數(shù)為B點(diǎn)表示的數(shù)減去12AB,即折點(diǎn)表示的數(shù)為:1-12×3=-0.5,再求出C點(diǎn)與折點(diǎn)的距離為:8-(-0.5)=8.5,所以C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為(3)當(dāng)P與點(diǎn)B重合時(shí),即當(dāng)x=b時(shí),|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值;(4)分小球乙碰到擋板之前和之后,即當(dāng)0≤t≤3.5,t>3.5時(shí),表示出甲、乙兩小球之間的距離d即可.【詳解】解:(1)∵|a+2|+(c-8)2=0,∴a+2=0,c-8=0∴a=-2,c=8;故答案為:-2,8;(2)因?yàn)閍=-2,b=1,所以AB=1-(-2)=3,將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與B點(diǎn)重合,所以對(duì)折點(diǎn)為AB的中點(diǎn),所以對(duì)折點(diǎn)表示的數(shù)為:1-12×3=-0.5C點(diǎn)與對(duì)折點(diǎn)的距離為:8-(-0.5)=8.5,所以C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-0.5-8.5=-9,即點(diǎn)C與數(shù)-9表示的點(diǎn)重合,故答案為:-9;(3)當(dāng)x=b=1時(shí),|x-a|+|x-b|+|x-c|=|x-(-2)|+|x-1|+|x-8|=10為最小值;故答案為:1;10;(4)t秒后,甲的位置是-2-t,乙的位置是8-2t(0≤t≤3.5)1+2(t-3.5)=2t-6(t>3.5)∴d=8-2t-(-2-t)=10-t(0≤t≤3.5)【點(diǎn)睛】此題考查是列代數(shù)式,數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離,掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【變式1-3】(23-24七年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中)已知:b是最小的正整數(shù),且a、b滿足c-52(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出a,b,c的值:a=________;b=________;c=________;(2)a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C,點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)(即0≤x≤2時(shí)),請(qǐng)化簡(jiǎn)式子:x+1-

(3)在(1)(2)的條件下,點(diǎn)A、B、C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過(guò)后,若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC,點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB.請(qǐng)問(wèn):BC-AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求其值.【答案】(1)-1,1,5(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí),原式=4x+10;②當(dāng)1<x≤2時(shí),原式=2x+12(3)不變,BC-AB=2【分析】(1)根據(jù)最小的正整數(shù)時(shí)1,即可得出b的值,根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性,即可得出a和c是值;(2)根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論,①當(dāng)0≤x≤1時(shí),②當(dāng)1<x≤2時(shí)即可求解;(3)先得出t秒后,點(diǎn)A表示的數(shù)為-1-t;點(diǎn)B表示的數(shù)為1+2t;點(diǎn)C表示的數(shù)為5+5t,再得出BC和AB的表達(dá)式,計(jì)算即可.【詳解】(1)解:∵最小的正整數(shù)是1,∴b=1,∵c-52∴c-5=0,a+b=0,解得:c=5,a=-1,故答案為:-1,1,5;(2)解:①當(dāng)0≤x≤1時(shí),x+1>0,x-1≤0,x+5>0,∴x+1==x+1-1+x+2x+10=4x+10,②當(dāng)1<x≤2時(shí),x+1>0,x-1>0,x+5>0,∴x+1==x+1-x+1+2x+10=2x+12;(3)解:∵a=-1,b=1,c=5,點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),∴t秒后,點(diǎn)A表示的數(shù)為-1-t;點(diǎn)B表示的數(shù)為1+2t;點(diǎn)C表示的數(shù)為5+5t,∴BC=5+5t-1+2t∴BC-AB=4+3t∴BC-AB的值不變,恒為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的非負(fù)性,絕對(duì)值的計(jì)算,數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離,解題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0;正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),0的絕對(duì)值是0;以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法.【題型2數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相遇問(wèn)題】【例2】(23-24七年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí))如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)間的距離為12.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是,點(diǎn)P表示的數(shù)是(用含t的代數(shù)式表示);(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā).求:①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇?②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度?【答案】(1)-6;6-4t;(2)①6秒;②3秒或9秒.【分析】(1)由已知得OA=6,則OB=AB-OA=6,因?yàn)辄c(diǎn)B在原點(diǎn)左邊,從而寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù);動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒,所以運(yùn)動(dòng)的單位長(zhǎng)度為4t,因?yàn)檠財(cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)P所表示的數(shù)是6-4t;(2)由題意可得點(diǎn)Q表示的數(shù)為-6-2t.①點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇,則點(diǎn)P與點(diǎn)Q表示的數(shù)相同,即6-4t=-6-2t,解得t=6.②點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度,則PQ=6,根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義有6-4t--6-2t=6,解得t=3【詳解】(1)∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6,∴OA=6,∵A,B兩點(diǎn)間的距離為12,∴AB=12,∴OB=AB-OA=12-6=6,∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊,∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為-6;∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒的長(zhǎng)度為4t,所以點(diǎn)P所表示的數(shù)為:6-4t;故答案為:-6;6-4t.(2)∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),點(diǎn)Q表示的數(shù)為:-6-2t.①點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇,則點(diǎn)P與點(diǎn)Q表示的數(shù)相同,即6-4t=-6-2t,解得:t=6,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇;②點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度,則PQ=6,即6-4t-解得:t=3或t=9,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3秒或9秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度.【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離,絕對(duì)值的幾何意義,理解并運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵.【變式2-1】(23-24七年級(jí)·甘肅蘭州·期末)如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)間的距離為10.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是_______,點(diǎn)P表示的數(shù)是_______(用含t的代數(shù)式表示);(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā).求:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇?【答案】(1)-4;6-6t.(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇.【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)間的距離及數(shù)軸,根據(jù)題意得出各線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.(1)由題意知OA=6,OB=AB-OA=10-6=4,因?yàn)锽點(diǎn)在原點(diǎn)左邊,從而得出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù);動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),根據(jù)題意則得出點(diǎn)P表示的數(shù);(2)設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q,根據(jù)題意列方程6t=10+4t,解得t值.【詳解】(1)解:∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6,∴OA=6,則OB=AB-OA=10-6=4,又∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊,∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為-4;點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒的長(zhǎng)度為6t,∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),∴P所表示的數(shù)為:6-6t.(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q,根據(jù)題意,得6t=10+4t,

解得:t=5,

答:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇.【變式2-2】(23-24七年級(jí)·福建三明·期中)如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4,點(diǎn)B表示的數(shù)為1,C是數(shù)軸上一點(diǎn),且AC=8.

(1)直接寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù);(2)動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tt>0秒,動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),求當(dāng)t為何值時(shí)P,R(3)動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tt>0秒,動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若P,Q????,R三點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P遇上點(diǎn)R后立即返回向點(diǎn)【答案】(1)-4;(2)當(dāng)t=1時(shí),P,R兩點(diǎn)會(huì)相遇;(3)行駛的路程是24.75個(gè)單位長(zhǎng)度.【分析】(1)根據(jù)AC的距離和點(diǎn)A表示的數(shù)即可求出結(jié)論;(2)先求出BC的長(zhǎng)度,然后根據(jù)題意列出方程即可求出結(jié)論;(3)先求出AB的長(zhǎng),然后求出點(diǎn)P遇上點(diǎn)R的時(shí)間,并求出此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離,從而求出P、Q的相遇時(shí)間,然后即可求出結(jié)論.【詳解】解:(1)∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4,AC=8,點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)∴點(diǎn)C表示的數(shù)為4-8=-4;(2)∵點(diǎn)B表示的數(shù)為1,點(diǎn)C表示的數(shù)為-4∴BC=1-(-4)=5由題意可得3t+2t=5解得:t=1答:當(dāng)t=1時(shí),P,R兩點(diǎn)會(huì)相遇;(3)由題意可得:AB=4-1=3點(diǎn)P遇上點(diǎn)R的時(shí)間為:5÷(3-2)=5(秒)此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離為3+(3-1)×5=13∴P、Q的相遇時(shí)間為13÷(3+1)=3.25(秒)∴點(diǎn)P從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng),行駛的路程是3×(5+3.25)=24.75個(gè)單位長(zhǎng)度答:點(diǎn)P從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng),行駛的路程是24.75個(gè)單位長(zhǎng)度.【點(diǎn)睛】此題考查的是數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式和行程問(wèn)題公式是解題關(guān)鍵.【變式2-3】(23-24七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí))如圖,已知數(shù)軸上A,B,C三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是a,b,c,且c-10=0,若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)B,且點(diǎn)A,B(1)a的值為_(kāi)_____,b-c的值為_(kāi)_____;(2)動(dòng)點(diǎn)P,Q分別同時(shí)從點(diǎn)A,C出發(fā),點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),點(diǎn)Q以每秒m個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A移動(dòng),點(diǎn)P表示的數(shù)為x.①若點(diǎn)P,Q在點(diǎn)B處相遇,求m的值;②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,當(dāng)點(diǎn)P,Q之間的距離為2時(shí),求此時(shí)x的值.【答案】(1)-6;-4;(2)①m=13;②-4【分析】(1)由絕對(duì)值的意義,數(shù)軸的定義,相反數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算,即可求出答案;(2)①利用行程問(wèn)題,即可求出答案;②根據(jù)題意,進(jìn)行分類(lèi)討論:當(dāng)P、Q在相遇之前距離為2時(shí);當(dāng)P、Q在相遇之后距離為2時(shí);分別求出答案即可.【詳解】(1)解:根據(jù)題意,則∵c-10=0∴c=10,∵點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)B,且點(diǎn)A,B表示的數(shù)互為相反數(shù),∴a+12=ba+b=0,解得:a=-6∴b-c=6-10=-4;故答案為:-6,-4;(2)解:①根據(jù)題意,則AC=10-(-6)=16,AB=6-(-6)=12,BC=10-6=4,∵點(diǎn)P,Q在點(diǎn)B處相遇,∴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為:121∴12m=4,∴m=1②∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,∴點(diǎn)Q的速度是每秒2個(gè)單位;當(dāng)P、Q在相遇之前距離為2時(shí);∴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為:16-21+2∴x=-6+14當(dāng)P、Q在相遇之后距離為2時(shí);∴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為:16+21+2∴x=-6+6=0;綜合上述,x的值為-43或【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上表示的數(shù),數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,絕對(duì)值的意義,相反數(shù)的定義等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí),正確的進(jìn)行解題.【題型3數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的中點(diǎn)問(wèn)題】【例3】(23-24七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè))如圖,在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)表示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a,c滿足a+2+(1)a=______,b=______,c=______.(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P,Q停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)PB=2PO時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn),求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度.(注:點(diǎn)O為數(shù)軸原點(diǎn))【答案】(1)-2;1;7(2)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒487個(gè)單位長(zhǎng)度或者每秒16個(gè)【分析】(1)本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),根據(jù)有理數(shù)的特征、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解答;掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0成為解題的關(guān)鍵;(2)本題主要考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,先求出點(diǎn)Q表示的數(shù)是-1,進(jìn)而得到CQ=8,然后分當(dāng)點(diǎn)P在OB和AO上兩種情況解答即可;掌握數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題成為解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:因?yàn)閎是最小的正整數(shù),所以b=1.因?yàn)閍+2+c-72=0,所以故答案為-2;1;7.(2)解:因?yàn)辄c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn),所以點(diǎn)Q表示的數(shù)是-1,此時(shí)CQ=7--1由PB=2PO,可分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí),得OP=1此時(shí)AP=AO+OP=2+1所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為73所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷76②當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí),得PO=OB=1,此時(shí)AP=AO-PO=2-1=1,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1÷2=1所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷1綜上,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒487個(gè)單位長(zhǎng)度或者每秒16個(gè)【變式3-1】(23-24七年級(jí)·湖北武漢·期中)如圖,在數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn),分別表示有理數(shù)a,b,c,且a,b,c滿足式子a+30+b+10+c-14=0;如圖:動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以2個(gè)單位/秒的速度一直向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒后,長(zhǎng)度為6個(gè)單位的線段MN(M為線段左端點(diǎn)且與點(diǎn)B重合,N為線段右端點(diǎn))從B點(diǎn)出發(fā)以3個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C后,線段MN立即以同樣的速度返回向左運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M(1)求a,b,c的值;(2)當(dāng)t=______秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,并求出此時(shí)線段MN上點(diǎn)N所表示的數(shù);(3)記線段MN的中點(diǎn)為Q,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離為1個(gè)單位時(shí),求t的值.【答案】(1)a=-30,b=-10,c=14(2)22秒,11(3)t=735【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)的性質(zhì)求解即可;(2)結(jié)合(1)確定AC之間的距離,然后根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度可計(jì)算當(dāng)t=22秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合;當(dāng)t=22秒時(shí),線段MN的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為17秒,即可確定線段MN從B運(yùn)動(dòng)到C所用時(shí)間為6秒,結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)N起始位置所表示數(shù)為-4,即可確定線段MN運(yùn)動(dòng)17秒后,點(diǎn)N所表示數(shù)為11;(3)由點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn),首先確定點(diǎn)Q的起始位置所表示數(shù)為-7,然后結(jié)合在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)P所表示數(shù)為(-30+2t),分5≤t≤11,11≤t≤17,17≤t≤23三個(gè)階段逐一分析計(jì)算即可獲得答案.【詳解】(1)解:∵a+30∵a+30≥0,b+10≥0∴a+30=0,b+10=0∴a=-30,b=-10,c=14;(2)∵A所表示數(shù)為-30,C所表示數(shù)為14,∴AC=14-(-30)=44,∴點(diǎn)P從運(yùn)動(dòng)到C所用時(shí)間為44÷2=22秒,即當(dāng)t=22秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合;線段MN的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為22-5=17秒,線段MN從B運(yùn)動(dòng)到C所用時(shí)間為14--10∵數(shù)軸上點(diǎn)N起始位置所表示數(shù)為-4,∴線段MN運(yùn)動(dòng)17秒后,點(diǎn)N所表示數(shù)為-4+3×17-6-6(3)點(diǎn)Q的起始位置所表示數(shù)為:-10+-4在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P所表示數(shù)為:-30+2t,①當(dāng)5≤t≤11時(shí),點(diǎn)Q所表示數(shù)為:-7+3t-5PQ=3t-22--30+2t=1,t=-7②當(dāng)11≤t≤17時(shí),點(diǎn)Q所表示數(shù)為:11-3t-11PQ=-3t+44--30+2t=1,t=③當(dāng)17≤t≤23時(shí),點(diǎn)Q所表示數(shù)為:-7+3t-17PQ=3t-58--30+2t=1,t=27綜上所述,t=735或【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、數(shù)軸與有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí),理解題意,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵.【變式3-2】(23-24七年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí))已知A,B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a,b,18,且a、b滿足a+102+b-10=0.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),線段OB為“變速區(qū)”,規(guī)則為:從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,之后立刻恢復(fù)原速,從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍,之后也立刻恢復(fù)原速.當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).

(1)a=,b=,AC=;(2)M,N兩點(diǎn)相遇時(shí),求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù).(3)點(diǎn)D為線段OB中點(diǎn),當(dāng)t為多少秒時(shí),MD=ND?【答案】(1)-10,10,28(2)16(3)t=2或t=11或t=313【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性,數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.(2)設(shè)M,N相遇于點(diǎn)P,且點(diǎn)P表示的數(shù)為m,則點(diǎn)M用時(shí)為OA2+OP1=m+5,BP=10-m,點(diǎn)N用(3)根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),設(shè)時(shí)間為t,分五種情況進(jìn)行討論,分別求出每種情況下點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出MD和ND,令MD=ND,解方程即可得出答案.【詳解】(1)∵A,B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a,b,18,且a、b滿足a+102∴a=-10,b=10,故A表示的數(shù)是-10,C表示的數(shù)是18,∴AC=18--10故答案為:-10,10,28.(2)設(shè)M,N相遇于點(diǎn)P,且點(diǎn)P表示的數(shù)為m,①當(dāng)點(diǎn)M在OA上,點(diǎn)N在BC上時(shí),點(diǎn)M表示的數(shù)為2t-10,點(diǎn)N表示的數(shù)為18-t,此時(shí)無(wú)法相遇;②當(dāng)點(diǎn)M在OB上,點(diǎn)N在BC上時(shí),無(wú)法相遇;③當(dāng)點(diǎn)M在OB上,點(diǎn)N在OB上時(shí),則BP=10-m,PO=m,∴點(diǎn)M用時(shí)為OA2+OP1=m+5根據(jù)題意,得10-m2解得m=16故相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)163(3)∵A表示的數(shù)是-10,點(diǎn)B表示的數(shù)是10,C表示的數(shù)是18,點(diǎn)D為線段OB中點(diǎn),∴點(diǎn)D表示的數(shù)是5;設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),MD=ND,①當(dāng)點(diǎn)M在OA上,點(diǎn)N在BC上時(shí),點(diǎn)M表示的數(shù)為2t-10,點(diǎn)N表示的數(shù)為18-t,此時(shí)MD=5-2t-10=15-2t,∵M(jìn)D=ND,∴15-2t=13-t,解得t=2;②當(dāng)點(diǎn)M在OD上,點(diǎn)N在BC上時(shí),點(diǎn)M表示的數(shù)為t-5,點(diǎn)N表示的數(shù)為18-t,此時(shí)MD=5-t-5=10-t,∵M(jìn)D=ND,∴10-t=13-t,無(wú)解;③當(dāng)點(diǎn)M在OD上,點(diǎn)N在OB上時(shí),點(diǎn)M表示的數(shù)為t-5,點(diǎn)N表示的數(shù)為10-2t-8此時(shí)MD=5-t-5=10-t,∵M(jìn)D=ND,∴10-t=21-2t,解得t=11;④當(dāng)點(diǎn)M在DB上,點(diǎn)N在OB上時(shí),點(diǎn)M表示的數(shù)為t-5,點(diǎn)N表示的數(shù)為10-2t-8此時(shí)MD=t-5-5=t-10,∵M(jìn)D=ND,∴t-10=21-2t,解得t=31⑤當(dāng)點(diǎn)M在BC上,點(diǎn)N在OA上時(shí),點(diǎn)M表示的數(shù)為2t-15+10=2t-20,點(diǎn)N表示的數(shù)為此時(shí)MD=2t-20-5=2t-25,∵M(jìn)D=ND,∴t-8=2t-25,解得t=17;綜上所述,當(dāng)t=2或t=11或t=313或t=17時(shí),【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,點(diǎn)表示的有理數(shù),分類(lèi)思想,熟練掌握兩點(diǎn)間距離公式的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.【變式3-3】(23-24七年級(jí)·廣東廣州·期中)如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)-3,B點(diǎn)表示數(shù)1,C點(diǎn)表示數(shù)9.

(1)若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與______表示的點(diǎn)重合;(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng).①若t秒鐘過(guò)后,A,B,②當(dāng)點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),是否存在常數(shù)m,使mBC-2AB的值為定值,若存在,求m的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)5;(2)①t=1或4或16;②存在,m=-2【分析】(1)求出AC的長(zhǎng)度和中點(diǎn),然后求出中點(diǎn)到點(diǎn)B的距離即中點(diǎn)到點(diǎn)B的重合點(diǎn)的距離,即可求得點(diǎn)B的重合點(diǎn);(2)①分別以A、B、C為中點(diǎn),列出方程求解即可;②使mBC-2AB的值為定值,列出等式中的含t項(xiàng)合并為【詳解】(1)AC=9--312÷2=6,∴AC的中點(diǎn)表示的數(shù)為:9-6=3,∵3-1=2,點(diǎn)B的重合點(diǎn)為3+2=5,故答案為:5;(2)解:①由題意可知,t秒時(shí),點(diǎn)A所在的數(shù)為:-3-2t,點(diǎn)B所在的數(shù)為:1-t,點(diǎn)C所在的數(shù)為:9-4t,(1)若B為AC中點(diǎn),則1-t=-3-2t+解得t=1;(2)若C為AB中點(diǎn),則9-4t=-3-2t+解得t=4;(3)若A為BC中點(diǎn),則-3-2t=1-t+9-4t解得t=16;綜上,當(dāng)t=1或4或16時(shí),A、②假設(shè)存在.∵C在B右側(cè),B在A右側(cè),∴BC=9-4t-1-t=8-3t,∴mBC-2AB=m8-3t當(dāng)3m+2=0即m=-2mBC-2AB=8×-故存在常數(shù)m=-23使【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離,數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是能用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程.【題型4數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的相距問(wèn)題】【例4】(2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))如圖1,已知線段AB=24,點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn),點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn).

(1)若AC=8,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____;(2)若BC=a,求DE的長(zhǎng);(3)動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),相向而行,點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng),Q點(diǎn)以P點(diǎn)速度的兩倍,沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,問(wèn)當(dāng)t為多少秒時(shí)P,Q之間的距離為6?【答案】(1)DE的長(zhǎng)為12;(2)DE的長(zhǎng)為12;(3)當(dāng)t=2或t=103時(shí),之間的距離為【分析】(1)由AB=24,AC=8,則BC=16,由點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn),則DC=4,CE=8,即可得到答案;(2)由AB=24,BC=a,則AC=24-a,由點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn),則DC=12-1(3)由AP=3t,BQ=6t,則AP+PQ+BQ=24或AP+BQ-PQ=24,即可得到答案.【詳解】(1)解:∵AB=24,AC=8,∴BC=16,∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn),∴DC=4,CE=8,∴DE=DC+CE=12,即DE的長(zhǎng)為12;(2)解:∵AB=24,BC=a,∴AC=24-a,∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn),∴DC=12-1∴DE=DC+CE=12,即DE的長(zhǎng)為12;(3)解:∵AP=3t,BQ=6t,如圖,

∴AP+PQ+BQ=24,如圖,

∴AP+BQ-PQ=24,∴3t+6+6t=24或3t+6t-6=24,解得:t=2或t=10∴當(dāng)t=2或t=103時(shí),之間的距離為【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn),線段的和差倍分,一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形,得出線段之間的關(guān)系式.【變式4-1】(23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí))在數(shù)軸上點(diǎn)A表示a,點(diǎn)B表示b,且a、b滿足a+5(1)求a,b的值,并計(jì)算點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離.(2)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)幾秒后,點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)?(3)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)幾秒后,P、Q兩點(diǎn)間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度?【答案】(1)a=-5,b=7,A與B之間的距離為(2)6秒(3)2秒或4秒【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求出a、b,再利用AB=a-(2)根據(jù)運(yùn)動(dòng)距離÷速度=時(shí)間求解即可;(3)分點(diǎn)P、Q相遇前和相遇后兩種情況求解即可.【詳解】(1)解:因?yàn)閍+5所以a=-5,所以點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為-5-7=12(2)解:因?yàn)锳、B兩點(diǎn)之間的距離為12個(gè)單位長(zhǎng)度,所以12÷2=6秒,答:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6秒后到達(dá)B點(diǎn).(3)解:由題意,有兩種情況:P、Q相遇前:12-4÷P、Q相遇后:12+4÷所以運(yùn)動(dòng)2秒或4秒后,P、Q兩點(diǎn)間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值、數(shù)軸,理解絕對(duì)值的非負(fù)性,會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想解決數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.【變式4-2】(23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中)在數(shù)軸上,O表示原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)分別表示﹣8和2.(1)求出線段AB的長(zhǎng)度;(2)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度;同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā),沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)P、Q重合時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,用含有t的式子表示線段PQ的長(zhǎng);(3)在(2)的條件下,t為何值時(shí),點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等.【答案】(1)AB=10;(2)PQ=10﹣2t且0≤t≤5;(3)為0.75、5時(shí),點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等.【分析】(1)用點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離加上點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離,即可求出線段AB的長(zhǎng)度.(2)用線段AB的長(zhǎng)度減去動(dòng)點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度,再加上動(dòng)點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度,用含有t的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)即可.(3)根據(jù)題意,分兩種情況:①點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí);②點(diǎn)P、點(diǎn)Q在原點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí);求出t為何值時(shí),點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等即可.【詳解】(1)AB=OA+OB=8+2=10,(2)PQ=10﹣5t+3t=10﹣2t,由10﹣2t≥0,解得0≤t≤5.(3)①點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí),由10﹣2t=0,解得t=5.②點(diǎn)P、點(diǎn)Q在原點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí),OP=8﹣5t,OQ=2+3t,由8﹣5t=2+3t,解得t=0.75,所以t為0.75、5時(shí),點(diǎn)P、點(diǎn)Q到原點(diǎn)O的距離相等.【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)數(shù)的意義和應(yīng)用,兩點(diǎn)間的距離的求法,考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用,要熟練掌握.【變式4-3】(23-24七年級(jí)·福建三明·期中)已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn),分別表示有理數(shù)-24、-10、10,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.若用PA,PB,PC分別表示點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離,試回答以下問(wèn)題.

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10秒時(shí),PA=______,PB=______,PC=______;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離:PA=______,PB=______,PC=______;(3)經(jīng)過(guò)幾秒后,點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離相等?此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少?(4)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后,再立即以同樣速度返回,運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A.在點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后,P、Q兩點(diǎn)之間的距離能否為4個(gè)單位長(zhǎng)度?如果能,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P表示的數(shù);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)10,4,24;(2)t,-14+t,-34+t;(3)-7;(4)-5,-1,2.5,4.5.【分析】(1)根據(jù)題意求得t=10時(shí),P點(diǎn)的位置,進(jìn)而求得兩點(diǎn)距離;(2)先表示出P點(diǎn)的位置表示的數(shù),進(jìn)而求得兩點(diǎn)距離;(3)根據(jù)題意,列一元一次方程,解方程求解即可;(4)分Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)之前,和Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)之后,兩種情形,根據(jù)兩點(diǎn)距離為,建立一元一次方程解方程求解即可;此題考查了數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,數(shù)軸上兩點(diǎn)距離問(wèn)題,一元一次方程的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)∵A、B、C三個(gè)點(diǎn),分別表示有理數(shù)-24、-10、10,動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒,∴t=10時(shí),P點(diǎn)表示的數(shù)為-24+10=-14,∴當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)10秒時(shí),PA=-14--24=10,PB=故答案為:10,4,24;(2)依題意,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),則PA=t,點(diǎn)P表示的數(shù)為-24+t,∴PB=-24+t--10=故答案為:t,-14+t,-34+t;(3)∵PA=PC,∴t=-34+t即t=-34+t或-t=-34+t,解得:t=17,∴點(diǎn)P表示的數(shù)為-24+17=-7;(4)根據(jù)題意,設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需要的時(shí)間為:20÷1=20(秒)①當(dāng)Q點(diǎn)未到達(dá)C點(diǎn),

此時(shí)AQ=3x,BP=x,則Q點(diǎn)表示的數(shù)為-24+3x,點(diǎn)P表示的數(shù)為-10+x,則PQ=-10+x-即14-2x=4或14-2x=-4,解得:x=5或x=9,∴點(diǎn)表示的數(shù)為-5或-1;②當(dāng)Q點(diǎn)從C點(diǎn)返回后,

此時(shí)AQ=AC-QC=34-3x-34=則Q點(diǎn)表示的數(shù)為-24+68-3x=-3x+44,點(diǎn)P表示的數(shù)為-10+x,則PQ=-10+x-即4x-54=4或4x-54=-4,解得x=292或∴點(diǎn)P表示的數(shù)為4.5或2.5,綜上所述,點(diǎn)P表示的數(shù)為-5,-1,2.5,4.5.【題型5數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的和差倍分問(wèn)題】【例5】(23-24七年級(jí)·江西南昌·期末)已知數(shù)軸上的兩點(diǎn)A,B所表示的數(shù)分別是a和b,O為數(shù)軸上的原點(diǎn),如果有理數(shù)a,b滿足a+8+

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出a和b的值,a=_______,b=_______;(2)若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,點(diǎn)P恰巧到達(dá)線段AB的三等分點(diǎn)?(3)若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)P以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng);點(diǎn)P與點(diǎn)M之間的距離表示為PM,點(diǎn)P與點(diǎn)N之間的距離表示為PN,是否存在某一時(shí)刻使得PM+PN=12?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)-8;(2)經(jīng)過(guò)2秒或4秒,點(diǎn)P恰巧到達(dá)線段AB的三等分點(diǎn)(3)存在,當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3秒或277秒時(shí),會(huì)使得PM+PN=12,此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為7或【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),求出結(jié)果即可;(2)根據(jù)題意畫(huà)出圖形,分兩種情況求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可;(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,先求出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8+222=7,點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8+5x,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為7+3x,點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為22-4x,根據(jù)PM+PN=12得出-15+2x+-30+9x=12【詳解】(1)解:∵a+8∴a+8=0,b-22=0,∴a=-8,b=22.故答案是:-8;22(2)解:如圖1所示:

圖1AB=22+8=30,AB的三等分點(diǎn)為P1,P2,所以P點(diǎn)到達(dá)的三等分點(diǎn)是P1情形①:AP則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=A情形②:AP則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=A因此經(jīng)過(guò)2秒或4秒,點(diǎn)P恰巧到達(dá)線段AB的三等分點(diǎn).(3)解:存在;

圖2理由:設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8+222點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8+5x,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為7+3x,點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為22-4x,則PM=(-8+5x)-PN=-8+5x由PM+PN=12得-15+2x+①當(dāng)0<x≤103時(shí),解得:x=3<10此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8+5x=7;②當(dāng)103<x≤15解得x=277且此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8+5x=79③當(dāng)x>152時(shí),解得x=5711且綜上可知,當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3秒或277秒時(shí),會(huì)使得PM+PN=12,此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為7或79【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離,用數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù),絕對(duì)值方程,數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離,列出相應(yīng)的算式或方程.【變式5-1】(23-24七年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí))如圖,數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)分別為a、b、c,且a、b滿足a+8+

(1)則a=___________,b=___________,點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離是___________;(2)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒10個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),到達(dá)B點(diǎn)停留片刻后,以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸返回到A點(diǎn),共用了6秒;在上述過(guò)程中,點(diǎn)P從點(diǎn)C到點(diǎn)B,停留片刻后,再?gòu)狞c(diǎn)B到點(diǎn)C,共用了2秒.①求C點(diǎn)表示的數(shù)c;②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求t為何值時(shí),點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和為23個(gè)單位?【答案】(1)-8,12,20(2)①7;②1.2、1.8、3、4【分析】(1)根據(jù)a+8+b-12=0,可得:a+8=0,b-12=0,據(jù)此分別求出a(2)①設(shè)AC=x,根據(jù)題意,可得:x10+x6=6-2=4,據(jù)此求出C點(diǎn)表示的數(shù)c即可.②利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,分點(diǎn)P在點(diǎn)C【詳解】(1)解:∵|a+8|+(b-12)∴a+8=0,b-12=0,解得,a=-8,b=12,則點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離是12--8故答案為:-8,12,20;(2)①設(shè)AC=x,則x10解得,x=15,∴c=-8+15=7,即C點(diǎn)表示的數(shù)c是7;②∵PA+PB=12-(-8)=20,∴P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和為23個(gè)單位,只要PC=3即可,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊時(shí),由A到B時(shí),[(7-3)-(-8)]÷10=1.2,由B到A時(shí),6-[(7-3)-(-8)]÷6=6-2=4,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí),由A到B時(shí),[(7+3)-(-8)]÷10=1.8,由B到A時(shí),6-[(7+3)-(-8)]÷6=6-3=3,答:t為1.2、1.8、3、4時(shí),點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和為23個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、非負(fù)數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問(wèn)題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答.【變式5-2】(23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末)如圖1,A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-16和6.(1)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)之間的距離___;(2)若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P,使得AP=13PB(3)如圖2,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)原點(diǎn)O后立即以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),求:當(dāng)OP=4OQ時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值.【答案】(1)22(2)-212(3)當(dāng)OP=4OQ時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為2或134【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A、B兩點(diǎn)之間的距離;(2)設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x.分兩種情況:①點(diǎn)P在線段AB上;②點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上.根據(jù)AP=13PB(3)根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)方向分兩種情況:①當(dāng)t≤3時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng);②當(dāng)t>3時(shí),點(diǎn)Q從原點(diǎn)O開(kāi)始以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),根據(jù)OP=4OQ列出關(guān)于t的方程,解方程即可.【詳解】(1)解:A、B兩點(diǎn)之間的距離是:6--16(2)解:設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x.分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),∵AP=1∴x+16=1解得x=-21②當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí),∵AP=1∴-16-x=1解得x=-27.綜上所述,點(diǎn)P表示的數(shù)為-212或(3)解:分兩種情況:①當(dāng)t≤3時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),此時(shí)Q點(diǎn)表示的數(shù)為6-2t,P點(diǎn)表示的數(shù)為-16+4t,∵OP=4OQ,∴16-4t=46-2t解得t=2,符合題意;②當(dāng)t>3時(shí),點(diǎn)Q從原點(diǎn)O開(kāi)始以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),此時(shí)Q點(diǎn)表示的數(shù)為3t-3,P點(diǎn)表示的數(shù)為-16+4t∵OP=4OQ,∴-16+4t∴當(dāng)3<t≤4時(shí),16-4t=12t-36,解得t=13當(dāng)t>4時(shí),4t-16=12t-36,解得t=5綜上所述,當(dāng)OP=4OQ時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為2或134【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用,數(shù)軸,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了兩點(diǎn)間的距離,以及路程、速度與時(shí)間關(guān)系的應(yīng)用,理解題意,找到相等關(guān)系進(jìn)行正確分類(lèi)是解題的關(guān)鍵.【變式5-3】(23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a、b,并且a+12

(1)求A、B兩點(diǎn)之間距離.(2)若兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),問(wèn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)Q到點(diǎn)B距離的2倍?(3)點(diǎn)C是數(shù)軸上A、B之間一點(diǎn),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā),沿?cái)?shù)軸分別向左、右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)恰好分別到達(dá)點(diǎn)A、B,又運(yùn)動(dòng)a秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)分別到達(dá)點(diǎn)E、F,接下來(lái)調(diào)轉(zhuǎn)方向保持原來(lái)速度不變相向而行,同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)E出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)3秒時(shí),點(diǎn)R與點(diǎn)Q在M點(diǎn)相遇,此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)M的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)M和點(diǎn)C的距離為2個(gè)單位長(zhǎng)度,求點(diǎn)R的速度.【答案】(1)5(2)73秒或9(3)點(diǎn)R的速度為83或【分析】(1)根據(jù)平方數(shù),絕對(duì)值的非負(fù)性可求出a,b的值,再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法即可求解;(2)根據(jù)點(diǎn)P,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,用含t的式子表示點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離,點(diǎn)Q到點(diǎn)B距離,根據(jù)題意列式求解即可;(3)根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以求出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)字,及a的值,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律分別求出點(diǎn)E,F所對(duì)應(yīng)的數(shù)字,并表示它們的距離,根據(jù)行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的計(jì)算方法即可求解.【詳解】(1)解:a+12+4-b=0中,∴a+1=0,解得,a=-1;4-b=0,解得,b=4,∴A、B兩點(diǎn)之間距離為4-(-1)=5.(2)解:點(diǎn)P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是-1,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是4,∴點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為1-t,點(diǎn)Q到點(diǎn)B距離為4-2t,∴①1-t≥0時(shí),則4-2t>0,∴1-t=2(4-2t),解得,t=7②1-t<0,且4-2t>0,即1<t<2時(shí),∴t-1=2(4-2t),解得,t=③1-t<0,4-2t<0時(shí),∴t-1=2(2t-4),解得,t=7綜上所述,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)Q到點(diǎn)B距離的2倍時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為73秒或9(3)解:點(diǎn)C是數(shù)軸上A、B之間一點(diǎn),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)恰好分別到達(dá)點(diǎn)A、B,設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是c,∴①點(diǎn)P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),∴c-(-1)=4-c2,解得,∴點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離為23-(-1)=53,點(diǎn)C到點(diǎn)∵點(diǎn)P從點(diǎn)C到點(diǎn)A的速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,∴a=5∵P、Q兩點(diǎn)恰好分別到達(dá)點(diǎn)A、B,又運(yùn)動(dòng)a秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)分別到達(dá)點(diǎn)E、F,∴點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)字是-1-53=-83此時(shí),點(diǎn)P從點(diǎn)E向右運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)F向左運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)R從點(diǎn)E向右運(yùn)動(dòng),∴①當(dāng)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)3秒時(shí),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為1×3=3,則此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)字為-8∵此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)M的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度,∴xM-13=5∴點(diǎn)E與點(diǎn)M的距離為163∴點(diǎn)R的速度為8÷3=8②當(dāng)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)3秒時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2×3=6,則點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的數(shù)字是223∴點(diǎn)R從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到M的路程為43∴點(diǎn)R的速度為4÷3=4綜上所述,點(diǎn)R的速度為83或4【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)與距離的綜合,掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示,動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系,行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型6數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的定值問(wèn)題】【例6】(23-24七年級(jí)·廣東汕頭·期中)如圖,在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)-3,B點(diǎn)表示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,且b.c滿足b+1(1)b=,c=.(2)若使C.B兩點(diǎn)的距離是A.B兩點(diǎn)的距離的2倍,則需將點(diǎn)C向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度.(3)點(diǎn)A.B.C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒m個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒;①點(diǎn)A.B.C表示的數(shù)分別是..(用含m.t的代數(shù)式表示);②若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為d1,點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為d2,當(dāng)m為何值時(shí),2d1-d2的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變,并求出此時(shí)2d1-d2的值.【答案】(1)b=-1,c=4;(2)1或9;(3)①-3-mt;-1+2t;4+5t;②m=4;2d1-d2的值為12.【分析】(1)由b+12+c-4=0,根據(jù)平方及絕對(duì)值的非負(fù)性可得b+1=0,c-4=0,據(jù)此可求得;(2)先求出AB和BC的長(zhǎng)度,結(jié)合數(shù)軸即可得出點(diǎn)C向左移動(dòng)的距離,有兩解;(3)①結(jié)合路程=時(shí)間×速度寫(xiě)出答案;②根據(jù)①先表示出d1、d2,從而表示出2d1-d2,然后根據(jù)2d1-d2的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變得出t的系數(shù)為0,即可求出m的值,繼而求出2d1-d2的值.【詳解】解:(1)∵b+1∴b+1=0,c-4=0∴b=-1,c=4(2)由數(shù)軸可知:AB=2,∴BC=4,∴點(diǎn)C向左移動(dòng)后的數(shù)是3或-5∴需將點(diǎn)C向左移動(dòng)1或9個(gè)單位;故答案是:1或9;(3)①點(diǎn)A表示的數(shù)是-3-mt;點(diǎn)B表示的數(shù)是-1+2t;點(diǎn)C所表示的數(shù)是4+5t.故答案是:-3-mt;-1+2t;4+5t;②∵點(diǎn)A表示的數(shù)是-3-mt;點(diǎn)B表示的數(shù)是-1+2t;點(diǎn)C所表示的數(shù)是4+5,∴d1=4+5t-(-1+2t)=3t+5,d2=-1+2t-(-3-mt)=(m+2)t+2,∴2d1-d2=2(3t+5)-[(m+2)t+2]=(4-m)t+12,∵2d1-d2的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變∴4-m=0,∴m=4,故當(dāng)m=4時(shí),2d1-d2的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變,此時(shí)2d1-d2的值為12.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,掌握距離公式及平移規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【變式6-1】(23-24七年級(jí)·安徽蕪湖·期中)唐代文學(xué)家韓愈曾賦詩(shī):“天街小雨潤(rùn)如酥,草色遙看近卻無(wú)”,當(dāng)代印度詩(shī)人泰戈?duì)栆矊?xiě)道:“世界上最遙遠(yuǎn)的距離,不是瞬間便無(wú)處尋覓;而是尚未相遇,便注定無(wú)法相聚”.距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門(mén)話題,唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測(cè)量,人類(lèi)才能掌握世界尺度.已知點(diǎn)P,Q在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)p,q,P,Q兩點(diǎn)之間的距離表示為PQ=p-q.例如,在數(shù)軸上,有理數(shù)3與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為3-1=2;有理數(shù)5與-2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為5--2已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,且滿足a-12+b+3(1)分別求a,b,c的值;(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時(shí),請(qǐng)求出x的值;(3)若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否存在一個(gè)常數(shù)k,使得3AC-kAB的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的改變而改變?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)a=1(2)x=9或x=-7(3)k=6【分析】本題考查有關(guān)數(shù)軸的問(wèn)題,關(guān)鍵是掌握在數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的表示方法.(1)由非負(fù)數(shù)的概念即可求解;(2)在數(shù)軸上應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式,即可求解;(3)表示出AC、【詳解】(1)解:∵a-12+b+3∴a-1=0,∴a=1,∴c=-2a+b=-2×1+(-3)=-5;(2)解:∵AD=x-1,BC=∴x-1=4×2∴x=9或x=-7;(3)解:假設(shè)存在符合條件的k值,∵經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)A表示的數(shù)是1+2t,點(diǎn)B表示的數(shù)是-3+t,∴AC=1+2t-(-5)=2t+6,∴3AC-kAB=3(2t+6)-k(t+4)=18-4k+(6-k)t,由題意,6-k=0,∴k=6,即存在符合條件的k值.【變式6-2】(23-24七年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中)已知:在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來(lái)一快一慢兩列火車(chē),快車(chē)長(zhǎng)AB=2(單位長(zhǎng)度),慢車(chē)長(zhǎng)CD=4(單位長(zhǎng)度),如圖,以兩車(chē)之間的某點(diǎn)O為原點(diǎn),此時(shí)快車(chē)頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a,慢車(chē)頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是c,a+8與(c-16)2(1)求此時(shí)刻快車(chē)頭A與慢車(chē)頭C之間相距單位長(zhǎng)度.(2)從此時(shí)刻開(kāi)始,若快車(chē)AB以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛,同時(shí)慢車(chē)CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛秒兩列火車(chē)的車(chē)頭A、C相距8個(gè)單位長(zhǎng)度.(3)在(2)中快車(chē)、慢車(chē)速度不變的情況下,此時(shí)在快車(chē)AB上有一位愛(ài)動(dòng)腦筋的七年級(jí)學(xué)生乘客P,他的位置P到兩列火車(chē)頭A、C的距離和加上到兩列火車(chē)尾B、D的距離和是一個(gè)不變的值(即PA+PC+PB+PD為定值).則這段時(shí)間t是秒,定值是單位長(zhǎng)度.【答案】(1)24(2)4或8(3)0.5,6【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a=-8,c=16,再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解;(2)根據(jù)時(shí)間=路程和÷速度和,列式計(jì)算即可求解;(3)由于PA+PB=AB=2,只需要PC+PD是定值,從快車(chē)AB上乘客P與慢車(chē)CD相遇到完全離開(kāi)之間都滿足PC+PD是定值,依此分析即可求解;【詳解】(1)解:∵a+8與(c-16)2∴a+8+∴a+8=0,c-16=0,解得a=-8,c=16,∴此時(shí)刻快車(chē)頭A與慢車(chē)頭C之間相距16-(-8)=24單位長(zhǎng)度,故答案為:24;(2)解:①當(dāng)相遇前相距8個(gè)單位長(zhǎng)度有,(24-8)÷(2+2)=16÷4=4(秒),②當(dāng)相遇后相距8個(gè)單位長(zhǎng)度有,(24+8)÷(2+2)=32÷4=8(秒)答:再行駛4秒或8秒兩列火車(chē)行駛到車(chē)頭AC相距8個(gè)單位長(zhǎng)度;故答案為:4或8;(3)解:∵PA+PB=AB=2,當(dāng)P在CD之間時(shí),PC+PD是定值4,t=3÷(4+2)=0.5(秒),此時(shí)PA+PC+PB+PD=(PA+PB)+(PC+PD)=2+4=6(單位長(zhǎng)度),故這個(gè)時(shí)間是0.5秒,定值是6單位長(zhǎng)度.故答案為:0.5,6.【變式6-3】(23-24七年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí))已知:在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來(lái)一快一慢兩列火車(chē),快車(chē)長(zhǎng)AB=3(單位長(zhǎng)度),慢車(chē)長(zhǎng)CD=5(單位長(zhǎng)度),設(shè)正在行駛途中的某一時(shí)刻,如圖,以兩車(chē)之間的某點(diǎn)O為原點(diǎn),取向右方向?yàn)檎较虍?huà)數(shù)軸,此時(shí)快車(chē)頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a,慢車(chē)頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是b.若快車(chē)AB以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速行駛,同時(shí)慢車(chē)CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速行駛,a+8+

(1)a=,b=.(2)從此時(shí)刻開(kāi)始算起,問(wèn)再行駛多少秒鐘兩列火車(chē)行駛到車(chē)頭A,C相距(3)此時(shí)在快車(chē)AB上有一位愛(ài)動(dòng)腦筋的七年級(jí)學(xué)生乘客M,他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時(shí)間t秒鐘,他的位置M到兩列火車(chē)頭A、C的距離和加上到兩列火車(chē)尾B、D的距離和是一個(gè)不變的值(即【答案】(1)-8,(2)再行駛2秒或4秒兩列火車(chē)行駛到車(chē)頭AC相距8個(gè)單位長(zhǎng)度(3)正確,這個(gè)時(shí)間是0.625秒,定值是8單位長(zhǎng)度【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a=-8,(2)根據(jù)時(shí)間=路程和÷速度和,列式計(jì)算即可求解;(3)由于MA+MB+AB=3,只需要MC+MD是定值,從快車(chē)AB上乘客M與慢車(chē)CD相遇到完全離開(kāi)之間都滿足MC+MD是定值,依此分析即可求解.【詳解】(1)解:∵a+8∴a+8=0,解得:a=-8,b=16,故答案為:-8,16;(2)解:此時(shí)刻快車(chē)頭A與慢車(chē)頭C之間相距16--824-8÷6+2=16÷8=2答:再行駛2秒或4秒兩列火車(chē)行駛到車(chē)頭AC相距8個(gè)單位長(zhǎng)度;(3)解:正確,∵M(jìn)A+MB=AB=3,∴當(dāng)M在CD之間時(shí),MC+MD是定值5,t=5÷6+2此時(shí)MA+MC+MB+MD=MA+MB故這個(gè)時(shí)間是0.625秒,定值是8單位長(zhǎng)度.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的距離、數(shù)軸、絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性,知道數(shù)軸上任意兩點(diǎn)的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差,熟練掌握行程問(wèn)題的等量關(guān)系:時(shí)間=路程÷速度,根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想理解和解決問(wèn)題.【題型7數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的折返問(wèn)題】【例7】(23-24七年級(jí)·湖北荊州·期末)如圖,A、B、P是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為-20和40.(1)試求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值;若點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別是a和b,試用a、b的代數(shù)式表示P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)值;(2)若A、B、P三點(diǎn)同時(shí)一起在數(shù)軸上做勻速直線運(yùn)動(dòng),A、B兩點(diǎn)相向而行,P點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)A和B之間做觸點(diǎn)折返運(yùn)動(dòng)(即P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觸碰到A、B任意一點(diǎn)就改變運(yùn)動(dòng)方向,向相反方向運(yùn)動(dòng),速度不變,觸點(diǎn)時(shí)間忽略不計(jì)),直至A、B兩點(diǎn)相遇,停止運(yùn)動(dòng).如果A、B、P運(yùn)動(dòng)的速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/s,2個(gè)單位長(zhǎng)度/s,3個(gè)單位長(zhǎng)度/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.①求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,P點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程.②若P點(diǎn)用最短的時(shí)間首次碰到A點(diǎn),且與B點(diǎn)未碰到,試寫(xiě)出該過(guò)程中,P點(diǎn)經(jīng)過(guò)t秒鐘后,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)值(用含t的式子表示);③在②的條件下,是否存在時(shí)間t,使P點(diǎn)剛好在A、B兩點(diǎn)間距離的中點(diǎn)上,如果存在,請(qǐng)求出t值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)10,12(a+b);(2)①60個(gè)單位長(zhǎng)度;②10-3t,0≤t≤7.5;③不存在,理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合A、B兩點(diǎn)表示的數(shù),即可得出結(jié)論;(2)①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與A、B相遇所用時(shí)間相等,根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可求得;②由P點(diǎn)用最短的時(shí)間首次碰到A點(diǎn),且與B點(diǎn)未碰到,可知開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P是和點(diǎn)A相向而行的;③點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越來(lái)越小,而點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離越來(lái)越大,不存在PA=PB的時(shí)候.【詳解】解:(1)∵A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為-20和40,∴AB=40-(-20)=60,∵P是AB的中點(diǎn),∴AP=12×∴點(diǎn)P表示的數(shù)是-20+30=10;∵如圖,點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別是a和b,∴AB=b-a,∵P是AB的中點(diǎn),∴AP=12∴點(diǎn)P表示的數(shù)是a+12(b-a)=1(2)①點(diǎn)A和點(diǎn)B相向而行,相遇的時(shí)間為601+2=20(秒),此即整個(gè)過(guò)程中點(diǎn)P所以,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為3×20=60(單位長(zhǎng)度),故答案是60個(gè)單位長(zhǎng)度.②由P點(diǎn)用最短的時(shí)間首次碰到A點(diǎn),且與B點(diǎn)未碰到,可知開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P是和點(diǎn)A相向而行的.所以這個(gè)過(guò)程中0≤t≤7.5.P點(diǎn)經(jīng)過(guò)t秒鐘后,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)值為10-3t.故答案是:10-3t,0≤t≤7.5.③不存在.由②可知,點(diǎn)P是和點(diǎn)A相向而行的,整個(gè)過(guò)程中,點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離越來(lái)越小,而點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離越來(lái)越大,所以不存在相等的時(shí)候.故答案為(1)10,12(a+b);(2)①60個(gè)單位長(zhǎng)度;②10-3t,0≤t≤7.5;③不存在,理由見(jiàn)解析【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.【變式7-1】(23-24七年級(jí)·重慶九龍坡·期末)已知數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C,D所表示的數(shù)分別是a,b,c,d,且a+142(1)求a,b,c,d的值;(2)點(diǎn)A,C沿?cái)?shù)軸同時(shí)出發(fā)相向勻速運(yùn)動(dòng),103秒后兩點(diǎn)相遇,點(diǎn)A的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度,求點(diǎn)C(3)A,C兩點(diǎn)以(2)中的速度從起始位置同時(shí)出發(fā),向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),D點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng),在t秒時(shí)有BD=2AC,求t的值;(4)A,C兩點(diǎn)以(2)中的速度從起始位置同時(shí)出發(fā)相向勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C起始位置時(shí),迅速以原來(lái)速度的2倍返回;到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后,保持改后的速度又折返向點(diǎn)C起始位置方向運(yùn)動(dòng);當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A起始位置時(shí)馬上停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A也停止運(yùn)動(dòng).在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,A,C兩點(diǎn)相遇,求點(diǎn)A,C相遇時(shí)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案).【答案】(1)a=-14,b=-12,c=6,d=8;(2)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位;(3)t=4或20;(4)-23,-22【分析】(1)根據(jù)平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性計(jì)算即可;(2)設(shè)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)速度為x,由題意得:103(3)根據(jù)題意分別表示出AC,BD,在進(jìn)行分類(lèi)討論計(jì)算即可;(4)根據(jù)點(diǎn)A,C相遇的時(shí)間不同進(jìn)行分類(lèi)討論并計(jì)算即可;【詳解】(1)∵a+142∴a+142∴a=-14,b=-12,c=6,d=8;(2)設(shè)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)速度為x,由題意得:103解得:x=2,∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位;(3)t秒時(shí),點(diǎn)A數(shù)為-14+4t,點(diǎn)B數(shù)為-12,點(diǎn)C數(shù)為6+2t,點(diǎn)D數(shù)為8+t,∴AC=6+2t--14+4t=∵BD=2AC,∴①20-2t≥0時(shí),20+2t=220-2t,解得:t=4②20-2t<0時(shí),即t>10,20+t=22t-20,解得:t=20∴t=4或20.(4)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間為6--142=10s,所以A,C相遇時(shí)間t≤10,由(2)得t=103時(shí),A,C相遇點(diǎn)為-14+4×103=-23①第一次從點(diǎn)C出發(fā)時(shí),若與C相遇,根據(jù)題意得8×t-5=2t,t=203<10,此時(shí)相遇數(shù)為6-2×203=-223;②第二次與C∴A,C相遇時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)為:-23,-22【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【變式7-2】(23-24七年級(jí)·重慶沙坪壩·期中)數(shù)軸上給定兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,點(diǎn)B表示的數(shù)為3,若數(shù)軸上有兩點(diǎn)M、N,線段MN的中點(diǎn)在線段AB上(線段MN的中點(diǎn)可以與A或B點(diǎn)重合),則稱(chēng)M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于線段AB對(duì)稱(chēng),請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)數(shù)軸上,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)C、D、E表示的數(shù)分別為-3、6、7,則點(diǎn)_____與點(diǎn)O關(guān)于線段AB對(duì)稱(chēng);(2)數(shù)軸上,點(diǎn)F表示的數(shù)為x,G為線段AB上一點(diǎn),若點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于線段AB對(duì)稱(chēng),則x的最小值為_(kāi)_____,最大值為_(kāi)_____;(3)動(dòng)點(diǎn)P從-9開(kāi)始以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度,向數(shù)軸正方向移動(dòng)時(shí),同時(shí),線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,向數(shù)軸正方向移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從5開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,向數(shù)軸負(fù)方向移動(dòng);當(dāng)P、Q相遇時(shí),分別以原速立即返回起點(diǎn),回到起點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)結(jié)束,設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t,則t滿足______時(shí),P與Q始終關(guān)于線段AB對(duì)稱(chēng).【答案】(1)D(2)-5;7(3)2≤t≤2.96(t≠2.8)【分析】(1)根據(jù)題目關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)定義的解析,找出點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)解的可能情況,即可得到答案.(2)與(1)做法一樣,找出點(diǎn)G關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)解的情況,找出最小值與最大值即可.(3)把t的取值范圍分3種情況去分析,找出它們中點(diǎn)的表示數(shù),即可解出答案.【詳解】(1)點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)時(shí),∵OB=3,∴另一點(diǎn)與B的距離也是3,∵B點(diǎn)表示數(shù)為3,∴另一點(diǎn)表示數(shù)為6,故為D.(2)分析題目得:當(dāng)G位于點(diǎn)A,關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)時(shí)有最大值,∵AB=4,B點(diǎn)表示數(shù)為3,∴另一點(diǎn)表示數(shù)為7.當(dāng)G位于點(diǎn)B,關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)時(shí)有最大值,∵AB=4,A點(diǎn)表示數(shù)為-1,∴另一點(diǎn)表示數(shù)為-5.故x的最小值為-5,最大值為7.(3)根據(jù)題意得:PQ相遇時(shí)間為9+54+1=2.8(s),相遇于表示數(shù)為2.2處,則回到原點(diǎn)的時(shí)間也是∴總共消耗時(shí)間為5.6s,設(shè)消耗的時(shí)間為t,當(dāng)0<t<2.8,則PQ的中點(diǎn)為-9+4t+5-tA點(diǎn)的表示數(shù)為-1+t,B點(diǎn)的表示數(shù)為1+t,∴-1+t≤3t-42≤1+t∴2≤t<2.8.當(dāng)2.8<t≤5.6時(shí),則PQ的中點(diǎn)為2.2-4(t-2.8)+2.2+(t-2.8)2A點(diǎn)的表示數(shù)為-1+t,B點(diǎn)的表示數(shù)為1+t,∴-1+t≤12.8-3t2≤1+t∴2≤t≤2.96.當(dāng)t=2.8時(shí),PQ不是線段要去掉t=2.8,故答案為2≤t≤2.96(t≠2.8).【點(diǎn)睛】主要考查了軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)知識(shí)以及兩點(diǎn)間的距離和數(shù)軸聯(lián)系,做這類(lèi)題目一定要把所有情況考慮完整.【變式7-3】(23-24七年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí))已知數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C,D所表示的數(shù)分別是a,-12,c,8,且a+14(1)則a=______,c=______;若點(diǎn)A,C沿?cái)?shù)軸同時(shí)出發(fā)相向勻速運(yùn)動(dòng),103秒后兩點(diǎn)相遇,點(diǎn)A的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度為每秒______個(gè)(2)A,C兩點(diǎn)以(1)中的速度從起始位置同時(shí)出發(fā),向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),D點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng),在t秒時(shí)有BD=2AC,求t的值;(3)A,C兩點(diǎn)以(1)中的速度從起始位置同時(shí)出發(fā)相向勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C起始位置時(shí),迅速以原來(lái)速度的2倍返回;到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后,保持改后的速度又折返向點(diǎn)C起始位置方向運(yùn)動(dòng);當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A起始位置時(shí)馬上停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A也停止運(yùn)動(dòng),在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,A,C兩點(diǎn)相遇,求點(diǎn)A,C相遇時(shí)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案).【答案】(1)-14,6,2;(2)t=4或20;(3)-23,-22【分析】(1)根據(jù)平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性計(jì)算即可求得a、c的值,進(jìn)而可求得點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度;(2)根據(jù)題意分別表示出AC,BD,在進(jìn)行分類(lèi)討論計(jì)算即可;(3)根據(jù)點(diǎn)A,C相遇的時(shí)間不同進(jìn)行分類(lèi)討論并計(jì)算即可.【詳解】(1)∵a+14+∴a+14=0,c-6=0,∴a=-14,c=6;6-(-14)=20,20÷103=6∴C的運(yùn)動(dòng)速度為6-4=2(個(gè)單位長(zhǎng)度),故答案為:-14,6,2;(2)解:t秒時(shí),點(diǎn)A數(shù)為-14+4t,點(diǎn)B數(shù)為-12,點(diǎn)C數(shù)為6+2t,點(diǎn)D數(shù)為8+t,∴AC=|6+2t-(-14+4t)|=|20-2t|,BD=|8+t-(-12)|=20+t,∵BD=2AC,∴①20-2t≥0時(shí),20+t=2(20-2t),解得:t=4;②20-2t<0時(shí),即t>10,20+t=2(2t-20),解得:t=20;∴t=4或20.(3)解:C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間為6-(-14)÷2=10s,所以A,C相遇時(shí)間t≤10,由(2)得t=103時(shí),A,C相遇點(diǎn)為-14+4×103=-23,A到C①第一次從點(diǎn)C出發(fā)時(shí),若與C相遇,根據(jù)題意得8×(t-5)=2t,t=203<10,此時(shí)相遇數(shù)為6-2×203=-223∴A,C相遇時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)為:-23,-22【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【題型8數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)中的規(guī)律問(wèn)題】【例8】(23-24七年級(jí)·陜西西安·階段練習(xí))如圖,已知A、B兩地在數(shù)軸上相距20米,A地在數(shù)軸上表示的點(diǎn)為-8,小烏龜從A地出發(fā)沿?cái)?shù)軸往B地方向前進(jìn),第一次前進(jìn)1米,第二次后退2米,第三次再前進(jìn)3米,第四次又后退4米,……,按此規(guī)律行進(jìn),(數(shù)軸的一個(gè)單位長(zhǎng)度等于1米)(1)求B地在數(shù)軸上表示的數(shù);(2)若B地在原點(diǎn)的左側(cè),經(jīng)過(guò)第五次行進(jìn)后小烏龜?shù)竭_(dá)點(diǎn)P,第六次行進(jìn)后到達(dá)點(diǎn)Q,則點(diǎn)P和點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若B地在原點(diǎn)的右側(cè),那么經(jīng)過(guò)30次行進(jìn)后,小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離是多少米?【答案】(1)12或-28;(2)相等;(3)70米.【分析】(1)到A地距離為20的點(diǎn)有兩個(gè),分別位于A點(diǎn)左側(cè)、右側(cè).依據(jù)數(shù)軸兩點(diǎn)距離即可求得點(diǎn)B坐標(biāo)(2)數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加”.依據(jù)規(guī)律計(jì)算分別求出點(diǎn)P、Q相對(duì)A點(diǎn)移動(dòng)的距離即可得到答案(3)根據(jù)100為偶數(shù)可得在數(shù)軸上表示的數(shù),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】解:(1)-8+20=12,-8-20=-28.答:B地在數(shù)軸上表示的數(shù)是12或-28.(2)令小烏龜從A地出發(fā),前進(jìn)為“+”,后退為“-”,則:第五次行進(jìn)后相對(duì)A的位置為:1-2+3-4+5=3,第六次行進(jìn)后相對(duì)A的位置為:1-2+3-4+5-6=-3,因?yàn)辄c(diǎn)P、Q與A點(diǎn)的距離都是3米,所以點(diǎn)P、點(diǎn)Q到A地的距離相等;(3)若B地在原點(diǎn)的右側(cè),前進(jìn)為“+”,后退為“-”,則當(dāng)n為100時(shí),它在數(shù)軸上表示的數(shù)為:-8+1-2+3-4+…+(100-1)-100=-8+-100∵B點(diǎn)表示的為12.∴AB的距離為12-(-58)=70(米).答:小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離是70米.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)加減法的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是明確題意,發(fā)現(xiàn)題目中的規(guī)律,用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量.【變式8-1】(23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè))如圖,在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示1,現(xiàn)將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸做如下移動(dòng),第一次將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A1,第二次將點(diǎn)A1向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A2,第三次將點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)

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