【題型梳理練】巧算有理數(shù)（原卷版）

2/2【題型梳理練】巧算有理數(shù)TOC\o"1-3"\h\u【題型1湊整法】 1【題型2拆項法】 2【題型3組合法】 2【題型4裂項相消法】 3【題型5相互轉(zhuǎn)化法】 3【題型6倒數(shù)法】 3【題型7錯位相減法】 4【題型8利用分配律進行簡算】 4【題型9利用圖形進行簡算】 4知識點1：湊整法多個有理數(shù)相加時,如果既有分數(shù),也有小數(shù),一般將存在數(shù)量少的形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量多的形式,把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起,可以使計算簡便,這種方法簡稱湊整法?！绢}型1湊整法】【例1】（23-24七年級·上海普陀·期中）計算：-3.19+21921【變式1-1】（23-24七年級·廣東廣州·階段練習）計算：-7.3--6【變式1-2】（2024七年級·全國·專題練習）計算：-21【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級?？茧A段練習）計算：-21知識點2：拆項法先把帶分數(shù)拆成整數(shù)和真分數(shù)兩部分,再把整數(shù)部分和真分數(shù)部分分別結(jié)合在一起利用交換律,結(jié)合律得出答案?！绢}型2拆項法】【例2】（23-24七年級·河南駐馬店·階段練習）計算：-5【變式2-1】（2024秋·山東德州·七年級?？茧A段練習）計算：(1)+357(2)-20185【變式2-2】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習）計算：-20115【變式2-3】（2024秋·山東德州·七年級校考階段練習）計算：(1)+172(2)-20232知識點3：組合法觀察算式,找出算式分布規(guī)律,然后適當分組,利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡化計算?！绢}型3組合法】【例3】（23-24七年級·山西太原·階段練習）計算1+2-3-4+5+6-7-8+?+2017+2018-2019-2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【變式3-1】（23-24七年級·吉林長春·期中）計算：（1）-18+17+（2）+32【變式3-2】（23-24七年級·安徽阜陽·階段練習）計算：2023-2020+2017-2014+2011-2008+……+16-13+10-7+4【變式3-3】（23-24七年級·北京·期末）1-3-5+7+9-11-13+15+?+2009-2011-2013+2015=．知識點4：裂項相消法根據(jù)算式特點,將各項變?yōu)閮身?然后把互為相反數(shù)的兩項相加,只剩下首項和末項相加得出結(jié)果?！绢}型4裂項相消法】【例4】（23-24七年級·山東威?！るA段練習）計算：(1)11×2(2)11×3(3)16【變式4-1】（23-24七年級·安徽馬鞍山·期中）計算：12×4【變式4-2】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）計算：1-1×3【變式4-3】（23-24七年級·廣東佛山·階段練習）計算：1-1知識點5：相互轉(zhuǎn)化法根據(jù)算式特點,將式子中的分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)，統(tǒng)一后再進行運算?！绢}型5相互轉(zhuǎn)化法】【例5】（23-24七年級·江蘇鹽城·開學考試）計算：38×【變式5-1】（23-24七年級·浙江衢州·階段練習）計算：8×-【變式5-2】（23-24七年級·福建廈門·階段練習）計算：-0.25【變式5-3】（23-24七年級·河北石家莊·開學考試）計算：(1)-3÷(2)-1【題型6倒數(shù)法】【例6】（23-24七年級·陜西漢中·期末）計算-1【變式6-1】（23-24七年級·湖北襄陽·期中）計算：(-7【變式6-2】（23-24七年級·江蘇連云港·階段練習）計算：50÷1【變式6-3】（23-24七年級·廣東東莞·階段練習）計算：13【題型7錯位相減法】【例7】（23-24七年級·山東濱州·期中）計算：1-5+5【變式7-1】（23-24七年級·江蘇連云港·階段練習計算：1+2+【變式7-2】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習）計算9+9【變式7-3】（23-24七年級·廣東深圳·期中）計算（1）1+7+7（2）1+2×1【題型8利用分配律進行簡算】【例8】（23-24七年級·河北石家莊·開學考試）計算：36.2×1.638+6.38【變式8-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）用簡便方法計算(1)6(2)999×1184【變式8-2】（23-24七年級·江蘇南京·階段練習）簡便計算：(1)12(2)19【變式8-3】（23-24七年級·河南開封·開學考試）怎樣簡便怎樣算(1)2021×20222022-2022×20212021；(2)1(3)2015+2016×2014(4)9【題型9利用圖形進行簡算】【例9】（23-24七年級·全國·期中）看圖填空：如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為12的長方形，接著把面積為12的長方形等分成兩個面積為14的長方形，再把面積為14(1)試利用圖形揭示的規(guī)律計算：12+1并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．(2)請給利用圖（2），再設計一個能求：12【變式9-1】（23-24七年級·山東青島·期中）數(shù)和形是數(shù)學的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應用．如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推．

(1)圖中陰影部分的面積為；(2)受此啟發(fā)，得到12+1(3)聯(lián)系拓廣，得到12+14+(4)遷移應用：得到23+1【變式9-2】（23-24七年級·湖南永州·期中）【閱讀】求值1+2+2【運用】仿照此法計算：解：設S=1+2+2將等式①的兩邊同時乘以2得：2S=2+2由②-①得：2S-S=2即：S=1+2=2(1)1+5+5(2)【延伸】如圖，將邊長為1的正方形分成4個完全一樣的小正方形，得到左上角一個小正方形為S1，選取右下角的小正方形進行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形

完成下列問題：①小正方形S2022的面積等于②求正方形S1【變式9-3】（23-24七年級·山東青島·期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負數(shù)的乘法了．下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運用：數(shù)學問題，計算19+192+19探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算12第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為12第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+1根據(jù)第n次分割圖可得等式：12探究二：計算13第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為23第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為2