【題型梳理練】巧算有理數(shù)（原卷版）

2/2【題型梳理練】巧算有理數(shù)TOC\o"1-3"\h\u【題型1湊整法】 1【題型2拆項(xiàng)法】 2【題型3組合法】 2【題型4裂項(xiàng)相消法】 3【題型5相互轉(zhuǎn)化法】 3【題型6倒數(shù)法】 3【題型7錯(cuò)位相減法】 4【題型8利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算】 4【題型9利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算】 4知識(shí)點(diǎn)1：湊整法多個(gè)有理數(shù)相加時(shí),如果既有分?jǐn)?shù),也有小數(shù),一般將存在數(shù)量少的形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量多的形式,把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起,可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,這種方法簡(jiǎn)稱(chēng)湊整法?！绢}型1湊整法】【例1】（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）計(jì)算：-3.19+21921【變式1-1】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·階段練習(xí)）計(jì)算：-7.3--6【變式1-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：-21【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：-21知識(shí)點(diǎn)2：拆項(xiàng)法先把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)兩部分,再把整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合在一起利用交換律,結(jié)合律得出答案。【題型2拆項(xiàng)法】【例2】（23-24七年級(jí)·河南駐馬店·階段練習(xí)）計(jì)算：-5【變式2-1】（2024秋·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)+357(2)-20185【變式2-2】（23-24七年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）計(jì)算：-20115【變式2-3】（2024秋·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)+172(2)-20232知識(shí)點(diǎn)3：組合法觀察算式,找出算式分布規(guī)律,然后適當(dāng)分組,利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡(jiǎn)化計(jì)算?！绢}型3組合法】【例3】（23-24七年級(jí)·山西太原·階段練習(xí)）計(jì)算1+2-3-4+5+6-7-8+?+2017+2018-2019-2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【變式3-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）計(jì)算：（1）-18+17+（2）+32【變式3-2】（23-24七年級(jí)·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算：2023-2020+2017-2014+2011-2008+……+16-13+10-7+4【變式3-3】（23-24七年級(jí)·北京·期末）1-3-5+7+9-11-13+15+?+2009-2011-2013+2015=．知識(shí)點(diǎn)4：裂項(xiàng)相消法根據(jù)算式特點(diǎn),將各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng),然后把互為相反數(shù)的兩項(xiàng)相加,只剩下首項(xiàng)和末項(xiàng)相加得出結(jié)果?！绢}型4裂項(xiàng)相消法】【例4】（23-24七年級(jí)·山東威海·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)11×2(2)11×3(3)16【變式4-1】（23-24七年級(jí)·安徽馬鞍山·期中）計(jì)算：12×4【變式4-2】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算：1-1×3【變式4-3】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：1-1知識(shí)點(diǎn)5：相互轉(zhuǎn)化法根據(jù)算式特點(diǎn),將式子中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一后再進(jìn)行運(yùn)算?！绢}型5相互轉(zhuǎn)化法】【例5】（23-24七年級(jí)·江蘇鹽城·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：38×【變式5-1】（23-24七年級(jí)·浙江衢州·階段練習(xí)）計(jì)算：8×-【變式5-2】（23-24七年級(jí)·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）計(jì)算：-0.25【變式5-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)-3÷(2)-1【題型6倒數(shù)法】【例6】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·期末）計(jì)算-1【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖北襄陽(yáng)·期中）計(jì)算：(-7【變式6-2】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)）計(jì)算：50÷1【變式6-3】（23-24七年級(jí)·廣東東莞·階段練習(xí)）計(jì)算：13【題型7錯(cuò)位相減法】【例7】（23-24七年級(jí)·山東濱州·期中）計(jì)算：1-5+5【變式7-1】（23-24七年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)計(jì)算：1+2+【變式7-2】（23-24七年級(jí)·貴州銅仁·階段練習(xí)）計(jì)算9+9【變式7-3】（23-24七年級(jí)·廣東深圳·期中）計(jì)算（1）1+7+7（2）1+2×1【題型8利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算】【例8】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：36.2×1.638+6.38【變式8-1】（23-24七年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(1)6(2)999×1184【變式8-2】（23-24七年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)12(2)19【變式8-3】（23-24七年級(jí)·河南開(kāi)封·開(kāi)學(xué)考試）怎樣簡(jiǎn)便怎樣算(1)2021×20222022-2022×20212021；(2)1(3)2015+2016×2014(4)9【題型9利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算】【例9】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·期中）看圖填空：如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12的長(zhǎng)方形，接著把面積為12的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為14的長(zhǎng)方形，再把面積為14(1)試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計(jì)算：12+1并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．(2)請(qǐng)給利用圖（2），再設(shè)計(jì)一個(gè)能求：12【變式9-1】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．下面我們來(lái)探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類(lèi)推．

(1)圖中陰影部分的面積為；(2)受此啟發(fā)，得到12+1(3)聯(lián)系拓廣，得到12+14+(4)遷移應(yīng)用：得到23+1【變式9-2】（23-24七年級(jí)·湖南永州·期中）【閱讀】求值1+2+2【運(yùn)用】仿照此法計(jì)算：解：設(shè)S=1+2+2將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2S=2+2由②-①得：2S-S=2即：S=1+2=2(1)1+5+5(2)【延伸】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形

完成下列問(wèn)題：①小正方形S2022的面積等于②求正方形S1【變式9-3】（23-24七年級(jí)·山東青島·期中）曹沖稱(chēng)象是我國(guó)歷史上著名的故事，大家都說(shuō)曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱(chēng)得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實(shí)質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們?cè)谄吣昙?jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章中引入“相反數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)具體實(shí)例體會(huì)一下化歸思想的運(yùn)用：數(shù)學(xué)問(wèn)題，計(jì)算19+192+19探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．探究一：計(jì)算12第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為12第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+1根據(jù)第n次分割圖可得等式：12探究二：計(jì)算13第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為23第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為2