2.2+基本不等式（第一課時） 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式（第一課時）教學目標

推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義（重點、難點）01

會用基本不等式解決簡單問題（重點、難點）02

03

04基本不等式學科素養(yǎng)

基本不等式的形式以及推導過程數(shù)學抽象

運用圖像解釋基本不等式

直觀想象

通過圖形，分析法與綜合法等證明基本不等式邏輯推理

準確熟練運用基本不等式數(shù)學運算

數(shù)據(jù)分析

將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決數(shù)學建?；静坏仁?1知識回顧RetrospectiveKnowledge等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．不等式與不等關(guān)系：

用不等式表示不等關(guān)系，注意文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)化．2．比較兩個實數(shù)大小關(guān)系的依據(jù)：3．作差比較法：

作差

→

變形

→

判斷符號

→

作出結(jié)論性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?a<b?2傳遞性a>b，b>c?a>c?3可加性a>b?a＋c>b＋c?4可乘性a>b，c>0?ac>bc；

a>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向同正7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)8可開方性a>b>0?(n∈N*，n≥2)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．思考：

把上圖的“風車”抽象成右圖（正方形中有4個全等的直角三角形），你能在這個圖中找出些正方形面積與直角三角形面積的相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?

設直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b那么正方形的邊長為，這樣4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為，由于正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式：DABCabE(FGH)

當且僅當E、F、G、H四點重合即a=b時，四個直角三角形面積和等于正方形面積，即：重要不等式:

?a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（當且僅當a=b時，等號成立）另證：因為a2+b2－2ab

=(a－b)2

≥0,

所以a2+b2

≥2ab.

（當且僅當a=b時，等號成立）如果a>0，b>0，我們用

分別代替上式中的a，b，可得到:通常把上式寫作：（當且僅當a=b時，等號成立）

?a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（當且僅當a=b時，等號成立）重要不等式→基本不等式

通常稱上述不等式為基本不等式．其中，

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，

叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．幾何平均值算術(shù)平均值（當且僅當a=b時，等號成立）

基本不等式（均值不等式）:

如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋？探究如圖，可證△ACD∽△DCB，則CD=

，半徑為

，圓的半徑大于或等于CD，用不等式表示為

，當且僅當點C與圓心重合，即當a＝b時，上述不等式的等號成立．證明：

（當且僅當a=b時，等號成立）思考：我們是否還可以用其他方法證明基本不等式？證明：要證

當且僅當a=b時，不等式中的等號成立．只要證

只要證

只要證

顯然成立.

所以原不等式成立．該證明方法稱為分析法當且僅當a=b時等號成立.綜合法重要不等式與基本不等式的異同：不等式適用范圍a,b∈Ra>0,b>0文字敘述兩數(shù)的平方和不小于他們積的兩倍兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)“=”成立的條件

a=b【例1】已知x>0，求

的最小值．【例2】已知x

，y都是正數(shù)，求證：

（1）若xy

等于定值P，那么當x=y時，x+y取得最小值；【例2】已知x

，y都是正數(shù)，求證：

(2)若x+y等于定值S，那么當x=y時，xy

取得最大值.利用基本不等式求最值時，需滿足:（1）a，b必須是正數(shù).（正）（2）當a+b為定值時，便可求ab的最大值；

當ab為定值時，便可求a+b的最小值.

（定）（3）當且僅當a=b時，等式成立.

（取等）【練習】已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：【練習】已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp重要不等式基本不等式

等號成立的條件當且僅當a=b時，等號成立已知x,y都是正數(shù)，

(1)若xy

等于定值P，那么當x=y時，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么當x=y時，xy

取得最大值.利用基本不等式求最值時，需滿足:（1）a，b必須是正數(shù).（正）（2）當a+b為定值時，便可求ab的最大值；

當ab為定值時，便可求a+b的最小值.

（定）（3）當且僅當a=b時，等式成立.

（取等）05課后