山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第一學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合或x>2，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．所以，?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.2.“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可求參數(shù)的值，從而可判斷兩者之間的關(guān)系【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)且在上是減函數(shù)，故，故，故“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.3.函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞減的，則，解得.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再把正弦余弦轉(zhuǎn)化為正切即可求解.【詳解】.故選：.5.函數(shù)y＝lg的大致圖象為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)y＝lg的定義域,可排除A，C,再代入x＝9,求出y值,結(jié)合選項(xiàng)得出答案.【詳解】函數(shù)y＝lg的定義域?yàn)閧x|x≠－1}，由此排除A，C.當(dāng)x＝9時(shí)，y＝lg＝－1＜0.由此排除B.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象,考查函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生的識(shí)圖能力,屬于基礎(chǔ)題.6.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)f′x即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?,+∞，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在0,1上遞增，在1,+∞上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.7.已知函數(shù)，則使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判斷，此時(shí)可得的單調(diào)性，依題意可得，令，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理得到存在使得，從而得到有零點(diǎn)的充要條件為，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，沒(méi)有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，要使有零點(diǎn)，則需，即，令，則在上單調(diào)遞減，且，，，所以存使得，所以有零點(diǎn)的充要條件為，所以使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是.故選：D8.已知函數(shù)，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍?，所以，令且，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞減；所以，所以在上單調(diào)遞增，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，則，即.故選：D二、多選題9.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心10.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值4 D.有最小值【答案】AD【解析】【分析】求得最值判斷選項(xiàng)A；求得最大值判斷選項(xiàng)B；求得最小值判斷選項(xiàng)C；求得最小值判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），得，故有最大值.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則，則有最大值判斷正確；選項(xiàng)C：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故有最小值4，判斷正確；選項(xiàng)D：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以有最小值.判斷錯(cuò)誤.故選：AD.11.函數(shù)，關(guān)于x的方程，則下列正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)镽B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為C.當(dāng)時(shí)，則方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.若方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】先分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況并作出函數(shù)的圖象，對(duì)于A和B，由分析以及圖象即可得解；由對(duì)于C和D，由方程得解為與，再根據(jù)條件樹(shù)形結(jié)合依次分析兩解對(duì)應(yīng)的根的情況即可得解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，在0,1單調(diào)遞增；當(dāng)，在1,+∞單調(diào)遞減，故，且恒有，綜上①②可知，，綜上，作出函數(shù)大致圖象，如下圖：對(duì)于A，由上可知函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則方程，解得或，由，得或，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；由圖象可知，由得此時(shí)有不相等的實(shí)數(shù)根，且均不為，也不為，所以當(dāng)時(shí)，則方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程與方程共有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又因?yàn)橐延袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程有且僅有1個(gè)根，且不為.所以與有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知，滿足題意，即m的取值范圍是，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值的分布情況，接著作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合使得問(wèn)題更直觀，進(jìn)而即可進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)情況：研究方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可先解方程得與，再根據(jù)條件依次分析兩解對(duì)應(yīng)的根的情況并樹(shù)形結(jié)合即可得解.三、填空題12.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由，得．所以．故答案為：13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，，則__________.【答案】4048【解析】【分析】根據(jù)題中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，從而可得出為周期為4的函數(shù)，從而可求解.【詳解】由題意得為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，由為偶函數(shù)，所以可得為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，從而得，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，又因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所?故答案為：4048.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期，再求出一個(gè)周期內(nèi)的值，最后求和即可.14.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先求出每一段函數(shù)的值域，然后由題意得到，根據(jù)，可將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】結(jié)合解析式可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所?令，得，則，故.令，則，令得；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所?所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題15.函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)的值域?yàn)榧螧．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B滿足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式的求解方法可求得A集合，由指數(shù)函數(shù)的值域可求得集合B；（Ⅱ）由，得，根據(jù)集合的子集關(guān)系可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）A=，B=．（Ⅱ）∵，∴，顯然，，∴或，∴或，即a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示和化簡(jiǎn)，集合的交集運(yùn)算，集合間的子集關(guān)系，屬于中檔題.16.已知，（1）求和的值（2）若，，求的大?。敬鸢浮浚?），；（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn)求得，以及求值；（2）條件等式由誘導(dǎo)公式可得，即可由和差公式求得，結(jié)合范圍即可.【小問(wèn)1詳解】，；【小問(wèn)2詳解】，，∵，∴.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，若，則對(duì)任意x∈R恒成立，可知在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為1,+∞解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為1,+∞18.如圖，在扇形中，，半徑.在弧上取一點(diǎn)C，向半徑、分別作垂線，與線段、分別相交于D、E，得到一個(gè)四邊形.（1）設(shè)，將四邊形的面積S表示成x的函數(shù)；（2）求四邊形的面積S的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用直角三角形面積公式得到，然后利用二倍角公式，輔助角法化簡(jiǎn)求解.（2）由（1）知：，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.詳解】（1），，，，，要得到四邊形則.（2）由（1）知：，因?yàn)樗?，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形的面積S的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【答案】（1）f(x)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函