重難點(diǎn)06 中考相似三角形重點(diǎn)六大模型

重難點(diǎn)06中考相似三角形重點(diǎn)六大模型模型解密模型一:A字型A型模型反A型模型在△ABC中，DE∥BC在△ABC中，∠AED＝∠B模型二:母抱子型反A型模型雙垂直型在△ABC中，∠ACD＝∠B如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠ACB＝90模型三:一線三等角模型在Rt△ABC與Rt△CDE中，A，C，D三點(diǎn)共線，∠A＝∠BCE＝∠D＝90在△ABC與△CDE中，B，C，D三點(diǎn)共線，∠B＝∠ACE＝∠D模型四:半角模型正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，連接AC，EF，GH，CH，CF模型五:手拉手模型（1）有公共頂點(diǎn)的直角三角形（2）有公共頂點(diǎn)的任意三角形模型六：8字模型典例分析模型一:A字型1．（2023?無錫）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)D為⊙O的切線，CD與AB相交于點(diǎn)E．DF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F，CF＝CD．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若DE?DC＝8，求⊙O的半徑．2．（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝．3．（2023?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長是（）A． B． C． D．4．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．（2）桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大．①畫出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為cm．5．（2022?上海）我們經(jīng)常會(huì)采用不同方法對某物體進(jìn)行測量，請測量下列燈桿AB的長．（1）如圖（1）所示，將一個(gè)測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測角儀高為b米，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖（2）所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．模型二:母抱子型6．（2023?海曙區(qū)模擬）如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為．7．（2022?長寧區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如果＝，AD＝8，那么CD的長是．8．（2023?楊浦區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．9．（2022?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．模型三:一線三等角模型10．（2023?武漢模擬）點(diǎn)C在AB的延長線上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如圖（1），若∠C＝∠A，求證：△DAB∽△BCE；（2）如圖（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，則的值為；（直接寫出）（3）如圖（3），連接AE，若△DAB∽△DBE，，求證：AE＝2BD．11．（2023?廣水市模擬）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊BC上一點(diǎn)，沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處．設(shè)＝x（x＞1），（1）若點(diǎn)F恰為CD邊的中點(diǎn)，則x＝．（2）設(shè)＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是．12．（2022?太原二模）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則EB的長為．13．（2022?鄭州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，△CDE與△ACE相似．14．（2023?武漢模擬）【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，∠B＝∠ACE＝∠D，求證：△ABC∽△CDE；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，求證：AC2＝AB?AE；【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心、若OA＝2，OB＝OC，則BC的長為．模型四:半角模型15.（2023秋?江津區(qū)校級(jí)月考）已知正方形ABCD邊長為5，點(diǎn)M、N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，則線段NC的長為（）A．2 B．3 C． D．16．（2020?河北區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為．17．（2023?增城區(qū)二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF．（1）如圖1，若BE＝2，DF＝3，求EF的長度；（2）如圖2，連接BD，BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N，若正方形ABCD的邊長為6，BE＝2，求DF的長；（3）判斷線段BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．18．（2022?綏化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．模型五:手拉手模型19．（2023?獲嘉縣模擬）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P為AB上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PM⊥AB交AG于點(diǎn)M，得到△APM．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，P為AB的中點(diǎn)時(shí)，CM與BP的數(shù)量關(guān)系為；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)n＝2時(shí)，△APM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CM，BP，則在旋轉(zhuǎn)過程中CM與BP之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知AB＝4，AP＝2，當(dāng)△APM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出線段BM的長．20．（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．請判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系：．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系：．（3）【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．21．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）[問題提出]如圖1，在等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．[數(shù)學(xué)思考]當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來解決問題．[嘗試解決]將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接P′P，則△APP′為等邊三角形．∴PP′＝PA＝3，又∵PB＝4，PC＝5，PP′2+PB2＝PC2．∴△BP′P為三角形，∴∠APB的度數(shù)為．[類比探究]如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．[聯(lián)想拓展]如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若PA＝3，PB＝2，PC＝4，求∠APB的度數(shù)．22.（2023?虎林市校級(jí)二模）已知△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE，G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接FG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，求證；（2）如圖2、圖3，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，請直接寫出EC與FG的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．23．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．模型六：8字模型24．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（）A．2 B．4 C．6 D．825．（2023?包河區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值是（）A． B． C． D．26．（2023?豐南區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣6，﹣3）27．（2023?山西模擬）同學(xué)們在物理課上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度AB為1.5cm時(shí)，所成的像A'B'的高度為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm28．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)G，連接DE．下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．29．（2023?太原一模）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF交對角線BD于點(diǎn)E．若DE＝2BE，則EF的長為（）A．2 B． C． D．330．（2023?城關(guān)區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE交BD于點(diǎn)F，若AC＝8，OF＝3，則菱形ABCD的邊長為（）A．10 B． C． D．31．（2023?灞橋區(qū)校級(jí)四模）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F為對角線AC與DE的交點(diǎn)．若AB：AE＝3：2，則△AEF與?ABCD的面積之比為（）A． B． C． D．

重難點(diǎn)06中考相似三角形重點(diǎn)六大模型典例分析模型一:A字型1．（2023?無錫）如圖，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)D為⊙O的切線，CD與AB相交于點(diǎn)E．DF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F，CF＝CD．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若DE?DC＝8，求⊙O的半徑．【答案】（1）67.5°；（2）2．【解答】解：（1）如圖，連接OD，∵FD為⊙O的切線，∴∠ODF＝90°，∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∴DA2＝DE?DC＝8，∵DA＞0，∴DA＝2，∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，∴OA＝2，即⊙O的半徑為2．2．（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝．【答案】．【解答】解：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故答案為：3．（2023?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，連接AE，OE，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC與半圓相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE為半圓的切線，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE?AB＝BE?AE，即：，∴．故選：B．4．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．（2）桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大．①畫出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為80cm．【答案】（1）見證明過程．（2）①如圖：②80cm．【解答】解：（1）設(shè)AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．∵AB∥CD，∴△OAB～△OCD，△OEF～△OMN，△OEB～△OMD，∴，，，∴，∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿著AB方向平移時(shí)，CD長度不變．（2）①以A為圓心，AB長為半徑畫圓，當(dāng)OQ與⊙A相切于H時(shí)，此時(shí)CD最大為CQ．此時(shí)AB所在位置為AH．②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA～△GPO，∴，∴設(shè)GA＝x，則GO＝2x，在Rt△OPG中，OP2+PG2＝OG2，∴362+（18+x）2＝（2x）2，∴x2﹣12x﹣540＝0，∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），∴AG＝30，由①，∴，∴CQ＝80，即CD的長度的最大值為80cm．5．（2022?上海）我們經(jīng)常會(huì)采用不同方法對某物體進(jìn)行測量，請測量下列燈桿AB的長．（1）如圖（1）所示，將一個(gè)測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測角儀高為b米，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖（2）所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．【答案】（1）（atanα+b）米；（2）3.8米．【解答】解：（1）如圖：由題意得：BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，在Rt△AEC中，AE＝CE?tanα＝atanα（米），∴AB＝AE+BE＝（b+atanα）米，∴燈桿AB的高度為（atanα+b）米；（2）由題意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，∵∠AHB＝∠GHC，∴△ABH∽△GCH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△EDF，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝0.9米，∴＝，∴AB＝3.8米，∴燈桿AB的高度為3.8米．模型二:母抱子型6．（2023?海曙區(qū)模擬）如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為．【答案】．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案為：．7．（2022?長寧區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如果＝，AD＝8，那么CD的長是．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝，故答案為：．8．（2023?楊浦區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B選項(xiàng)正確，不符合題意；故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．9．（2022?廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明過程見解答；（2）⊙O的半徑為．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD?AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半徑為．模型三:一線三等角模型10．（2023?武漢模擬）點(diǎn)C在AB的延長線上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如圖（1），若∠C＝∠A，求證：△DAB∽△BCE；（2）如圖（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，則的值為；（直接寫出）（3）如圖（3），連接AE，若△DAB∽△DBE，，求證：AE＝2BD．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析．【解答】（1）證明：∵∠DAB＝∠DBE，∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝∠DAB+∠DAB，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠C＝∠A，∴△DAB∽△BCE；（2）解：如圖（2），過點(diǎn)E作EF⊥EC交AC于點(diǎn)F，∵∠C＝45°，∴∠BFE＝90°+45°＝135°，∠CFE＝45°，∴∠C＝∠CFE，∴CE＝EF，CF＝EF，∵CE∥AD，∴∠A＝180°﹣45°＝135°，∴∠A＝∠BFE，由（1）可得△DAB∽△BFE，∴，設(shè)CE＝EF＝a，則BF＝a，CF＝a，∴BC＝BF+CF＝2a，∴，故答案為：；（3）證明：如圖（3），延長AB到點(diǎn)F，使得∠BFE＝∠DAB，連接EF，∵△DAB∽△DBE，∴∠DAB＝∠DBE，∵∠DBF＝∠ADB+∠DAB＝∠DBE+∠EBF，∴∠EBF＝∠BDA，又∵∠DAB＝∠BFE，∴△DAB∽△BFE，∴，∵△DAB∽△DBE，∴，∴，設(shè)AD＝m，則AB＝m，BF＝m，EF＝2m，∴AF＝AB+BF＝2m，∴，又∵∠F＝∠DAB，∴△DAB∽△EFA，∴，∴AE＝2BD．11．（2023?廣水市模擬）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊BC上一點(diǎn)，沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處．設(shè)＝x（x＞1），（1）若點(diǎn)F恰為CD邊的中點(diǎn)，則x＝2．（2）設(shè)＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y＝．【答案】（1）2；（2）y＝．【解答】解：（1）∵點(diǎn)F為CD邊的中點(diǎn)，∴DC＝2DF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折疊得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案為：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案為：y＝．12．（2022?太原二模）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則EB的長為．【答案】．【解答】解：過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，∴∠DME＝∠BME＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CDA+∠EDM＝90°，∴∠CDA＝∠DEM，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝BC＝2，∵∠C＝∠DME＝90°，∴△ACD∽△DME，∴＝＝，∴設(shè)EM＝2x，則DM＝3x，∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BME∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BM＝x，∵BD＝2，∴DM+BM＝2，∴3x+x＝2，∴x＝，∴EM＝，BM＝，∴BE＝＝＝，故答案為：．13．（2022?鄭州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為或．時(shí)，△CDE與△ACE相似．【答案】或．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等邊三角形，則OD＝OE＝DE，設(shè)E（a，0），則OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE與△ACE相似，分兩種情況討論：①當(dāng)△CDE∽△EAC時(shí)，則∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四邊形AEDC是平行四邊形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②當(dāng)△CDE∽△AEC時(shí)，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．14．（2023?武漢模擬）【問題背景】（1）如圖1，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，∠B＝∠ACE＝∠D，求證：△ABC∽△CDE；【問題探究】（2）在（1）條件下，若點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，求證：AC2＝AB?AE；【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心、若OA＝2，OB＝OC，則BC的長為10．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）10．【解答】（1）證明：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠ACE＝∠B，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△CDE；（2）證明：∵△ABC∽△CDE，∴，∴，又∵∠B＝∠ACE，∴△ABC∽△ACE，∴，∴AC2＝AB?AE；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)O作EF⊥OA交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴∠EAO＝∠FAO，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴OE＝OF＝OA＝2，AE＝AF＝＝＝4，∵∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEO＝∠OFC＝135°，∵∠BOF＝∠BEO+∠EBO，∠BOF＝∠BOC+∠COF，∴∠COF＝∠OBE，∴△BOE∽△COF，∴，∵OB＝OC，∴，∴BE＝OF＝＝4，CF＝，∴AB＝AE+BE＝4+4＝8，AC＝AF+CF＝4+2＝6，∵∠BAC＝90°，∴△BAC為直角三角形，∴BC＝＝＝10，故答案為：10．模型四:半角模型15.（2023秋?江津區(qū)校級(jí)月考）已知正方形ABCD邊長為5，點(diǎn)M、N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，則線段NC的長為（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解答】解：如圖，延長CB，使BE＝DN，∵四邊形ABCD是邊長為5的正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝5，∴∠ABE＝90°，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴EB＝DN，MN＝EM，設(shè)CN＝x，則DN＝5﹣x，∴EB+BM＝MN＝7﹣x，在Rt△CMN中，MN2＝CM2+CN2，∴（7﹣x）2＝32+x2，解得x＝，∴CN＝，故選：D．16．（2020?河北區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周長為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案為：2+2．17．（2023?增城區(qū)二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF．（1）如圖1，若BE＝2，DF＝3，求EF的長度；（2）如圖2，連接BD，BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N，若正方形ABCD的邊長為6，BE＝2，求DF的長；（3）判斷線段BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．【答案】（1）EF＝5；（2）DF＝3；（3））BN2+DM2＝MN2，證明見解析．【解答】解：（1）如圖，延長CB至點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD為正方形，∴DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，BG＝DF，AG＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝EG＝BG+BE＝DF+BE＝5；（2）∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，∴BC＝CD＝6，設(shè)DF＝x，則CF＝CD﹣DF＝6﹣x，由（1）知，EF＝DF+BE，∵BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝4，EF＝2+x，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝3，∴DF＝3；（3）BN2+DM2＝MN2，證明如下：如圖，延長CB至點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG，在AG上截取AH＝AM，連接HN，BH，由（1）知，∠BAG＝∠DAF，∠EAG＝∠EAF＝45°，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，在△ABH和△ADM中，，∴△ABH≌△ADM（SAS），∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADM＝45°，∴∠HBN＝∠ABH+∠ABN＝90°，在△AHN和△AMN中，，∴△AHN≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，在Rt△BHN中，BN2+BH2＝NH2，∴BN2+DM2＝MN2．18．（2022?綏化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH＝AB；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖①AH＝AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在△ABM與△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵AH⊥MN，∴∠MAH＝MAN＝22.5°，∵∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，在△ABM與△AHM中，，∴△ABM≌△AHM，∴AB＝AH；故答案為：AH＝AB；（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM對應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH；（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，分別延長BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD，設(shè)AH＝x，則MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得x1＝6，x2＝﹣1（不符合題意，舍去）∴AH＝6．模型五:手拉手模型19．（2023?獲嘉縣模擬）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P為AB上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PM⊥AB交AG于點(diǎn)M，得到△APM．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，P為AB的中點(diǎn)時(shí)，CM與BP的數(shù)量關(guān)系為CM＝BP；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)n＝2時(shí)，△APM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CM，BP，則在旋轉(zhuǎn)過程中CM與BP之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，已知AB＝4，AP＝2，當(dāng)△APM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出線段BM的長．【答案】（1）CM＝BP；（2）CM＝BP，證明見解答；（3）線段BM的長為2+1或2﹣1．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，AB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴＝，∵P為AB的中點(diǎn)，∴＝，∴AP＝BP＝AB，∵PM⊥AB，∴∠APM＝90°，∴∠APM＝∠ABC，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∴＝＝，∴AC＝AB，AM＝AP＝AB，∴CM＝AC﹣AM＝AB﹣AB＝AB，∴＝＝，∴CM＝BP，故答案為：CM＝BP；（2）CM＝BP的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：當(dāng)n＝2時(shí)，AB＝2BC，則＝＝，∴BC＝AB，PM＝AP，由勾股定理可得：AC＝＝＝AB，AM＝＝＝AP，∴＝＝，∴AC＝AB，AM＝AP，∴CM＝AC﹣AM＝（AB﹣AP）＝BP，由旋轉(zhuǎn)得：∠CAB＝∠MAP，即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAM，∴△ABP∽△ACM，∴＝＝，∴CM＝BP；（3）∵AB＝4，AP＝2，∴BC＝2，PM＝1，由勾股定理可得：AC＝2，AM＝，∵△APM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至B，P，M三點(diǎn)共線，∴∠APM＝90°，PM＝1，∠APB＝180°﹣90°＝90°，∴BP＝＝＝2，當(dāng)△APM旋轉(zhuǎn)至直線AB上方時(shí)，如圖，則BM＝BP+PM＝2+1；當(dāng)△APM旋轉(zhuǎn)至直線AB下方時(shí)，如圖，則BM＝BP﹣PM＝2﹣1；綜上所述，線段BM的長為2+1或2﹣1．20．（2023?平遙縣二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．請判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD＝CE．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系：或．（3）【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．【答案】（1）BD＝CE；（2）或；（3）①；②．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB，△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE，故答案為：BD＝CE．（2）結(jié)論：或，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴，∵∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝45°，∴∠DAB＝∠EAC，且∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ADB∽△AEC，∴，∴或，故答案為：或；（3）①∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC，設(shè)AB＝3x，BC＝4x，在Rt△ABC中，，同理，在Rt△ADE中，設(shè)AD＝3a，DE＝4a，則AE＝5a，∴∠DAB＝∠EAC，，即，∴△DAB∽△EAC，∴；②由①得：△DAB∽△EAC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BGF＝∠AGC，∴△BGF∽△CGA，∴∠BFG＝∠GAC，∴sin∠BFC＝sin∠BAC，在Rt△ABC中，∴，∴．21．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）[問題提出]如圖1，在等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．[數(shù)學(xué)思考]當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來解決問題．[嘗試解決]將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接P′P，則△APP′為等邊三角形．∴PP′＝PA＝3，又∵PB＝4，PC＝5，PP′2+PB2＝PC2．∴△BP′P為直角三角形，∴∠APB的度數(shù)為150°．[類比探究]如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．[聯(lián)想拓展]如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若PA＝3，PB＝2，PC＝4，求∠APB的度數(shù)．【答案】[嘗試解決]直角，150°；[類比探究]135°；[聯(lián)想拓展]120°．【解答】解：[嘗試解決]直角，150°；[類比探究]將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接P′P，則△APP′為等腰直角三角形，∴PP′＝PA＝2，又∵PB＝1，PC＝P'B＝3，∴PP′2+PB2＝P'B2，∴△BP′P為直角三角形，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+45°＝135°．[聯(lián)想拓展]如圖，在PA的左側(cè)構(gòu)造三角形PAP'，使∠P'PA＝30°，∠P′AP＝90°，∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，∴∠P′AP＝∠BAC，∠P'PA＝∠BCA，∴△P′AP∽△BAC，∴＝，∴＝，∵∠BAP′+∠BAP＝90°，∠CAP+∠BAP＝90°，∴∠BAP′＝∠CAP，∴△BAP′∽△CAP，∴＝＝tan30°＝，∴P'B＝PC?＝4，在△P′BP中，PB＝2，PP'＝2，∴PP′2+PB2＝P'B2，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+30°＝120°．22.（2023?虎林市校級(jí)二模）已知△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE，G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接FG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，求證；（2）如圖2、圖3，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，請直接寫出EC與FG的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】（1）見解答；（2）圖2：．圖3：．【解答】（1）證明：如圖1，連接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F(xiàn)分別為BC，DE的中點(diǎn)，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．（2）如圖2，連接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F(xiàn)分別為BC，DE的中點(diǎn)，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．如圖3，連接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F(xiàn)分別為BC，DE的中點(diǎn)，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．故答案為：圖2：．圖3：．23．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．【答案】（1）①見解析；②△ADE是等腰三角形；（2）見解析．【解答】（1）①證明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥