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2022-2023學(xué)年山東省聊城市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題瘋狂小題搶高分注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在邊長(zhǎng)為的菱形中,,沿對(duì)角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.2.已知的共軛復(fù)數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.4.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.5.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點(diǎn),使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.7.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.9.設(shè)集合則()A. B. C. D.10.已知當(dāng),,時(shí),,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定11.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對(duì)為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,已知是的中點(diǎn),且,點(diǎn)滿足,則的取值范圍是_______.14.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.15.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是____________.16.已知為等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和.若,且與的等差中項(xiàng)為,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.18.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為的前n項(xiàng)和,求證:.19.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,是與的等比中項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21.(12分)已知橢圓:(),點(diǎn)是的左頂點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為(異于點(diǎn)),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,是棱中點(diǎn).(1)已知點(diǎn)在棱上,且平面平面,試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí),直線與平面所成角最大?并求最大角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
畫圖取的中點(diǎn)M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點(diǎn)M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.2.D【解析】
設(shè),整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設(shè),因?yàn)椋?,所以,解得:,所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí),考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
根據(jù)或,驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?,所以?當(dāng)時(shí),,不符合題意,當(dāng)時(shí),.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于容易題.5.B【解析】
由可得;由過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.6.A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A7.C【解析】
利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.9.C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.10.C【解析】
由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時(shí),根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.11.B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B12.C【解析】
確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當(dāng),即時(shí)取最大值,所以.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由中點(diǎn)公式的向量形式可得,即有,設(shè),有,再分別討論三點(diǎn)共線和不共線時(shí)的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識(shí)求出范圍.【詳解】是的中點(diǎn),∴,即設(shè),于是(1)當(dāng)共線時(shí),因?yàn)?,①若點(diǎn)在之間,則,此時(shí),;②若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,則,此時(shí),.(2)當(dāng)不共線時(shí),根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)中點(diǎn)公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.14.【解析】
由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案15.【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.16.【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進(jìn)而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,由于與的等差中項(xiàng)為,則,則,,,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見解析(2)平面.見解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點(diǎn),連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn),.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.18.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng),,可得,又∵當(dāng)時(shí)也成立,;(2),【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)見解析(2)【解析】
(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,平面.平面,.為斜邊的中點(diǎn),,(2),由(1)可知,為等腰直角三角形,則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,則,記平面的法向量為由得到,取,可得,則.易知平面的法向量為.記二面角的平面角為,且由圖可知為銳角,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直,從而得線線垂直,考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí),可以建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求解空間角,可避免空間角的作證過(guò)程,通過(guò)計(jì)算求解.20.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,建立首項(xiàng)和公差的方程組,通過(guò)基本量即可寫出前項(xiàng)和;(2)由(1)中所求,結(jié)合累加法求得.【詳解】(1)由題意可得即又因?yàn)?,所以,所?(2)由條件及(1)可得.由已知得,所以.又滿足上式,所以【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的基本量的求解,涉及利用累加法求通項(xiàng)公式,屬綜合基礎(chǔ)題.21.(1);(2)存在,【解析】
(1)把點(diǎn)代入橢圓C的方程,再結(jié)合離心率,可得a,b,c的關(guān)系,可得橢圓的方程;(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓,運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由,可求得直線的方程,要注意檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設(shè),直線的斜率存在設(shè)為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,∴,化簡(jiǎn)得,∴,解得或因?yàn)榕c不重合,所以舍.所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用,屬于中檔題.22.(1)為中點(diǎn),理由見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí),直線與平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】
(1)為中點(diǎn),可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明,,從而證明平面平面;(2)以A為原點(diǎn),分別以,,所在直線為、、軸建立空間直
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