2023-2024學(xué)年山東省臨沂市沂水縣高三下第三次月考數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年山東省臨沂市沂水縣高三下第三次月考數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.2.在三棱錐中,,且分別是棱,的中點,下面四個結(jié)論:①;②平面;③三棱錐的體積的最大值為;④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④3.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和,例如:,,,那么在不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.4.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要5.已知數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.116.已知雙曲線:(,)的焦距為.點為雙曲線的右頂點,若點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.37.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.8.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知集合,,則A. B. C. D.10.已知等差數(shù)列{an},則“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件11.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.112.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分,將所留部分折成一個正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得最大值時,其底面棱長為________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,點在曲線:上,且在第四象限內(nèi).已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為__________.15.設(shè)函數(shù),,其中.若存在唯一的整數(shù)使得,則實數(shù)的取值范圍是_____.16.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則的取值范圍為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點,.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點,且,求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+19.(12分)已知橢圓的左右焦點分別是,點在橢圓上,滿足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線過點,且與橢圓只有一個公共點,直線與的傾斜角互補,且與橢圓交于異于點的兩點,與直線交于點(介于兩點之間),是否存在直線,使得直線,,的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出的方程,若不能,請說理由.20.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次小(如5,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎機會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.21.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點(不在棱的端點處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點,當(dāng)四邊形為菱形時,求長.22.(10分)已知函數(shù)(),且只有一個零點.(1)求實數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點,使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點,然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.2.D【解析】

①通過證明平面,證得;②通過證明,證得平面;③求得三棱錐體積的最大值,由此判斷③的正確性;④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設(shè)的中點為,連接,則,,又,所以平面,所以,故①正確;因為,所以平面,故②正確;當(dāng)平面與平面垂直時,最大,最大值為,故③錯誤;若與垂直,又因為,所以平面,所以,又,所以平面,所以,因為,所以顯然與不可能垂直,故④正確.故選:D【點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.3.B【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過18的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個,從中隨機選取兩個不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對應(yīng)的集合是,由解得且對應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。5.B【解析】

根據(jù)題意計算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當(dāng)時,的最大值是9.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.6.A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎(chǔ).7.D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點睛】本題考查向量投影的計算,同時也考查利用向量的模計算向量的夾角,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

求出復(fù)數(shù),得出其對應(yīng)點的坐標(biāo),確定所在象限.【詳解】由題意,對應(yīng)點坐標(biāo)為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】分析:根據(jù)集合可直接求解.詳解:,,故選C點睛:集合題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題形式出現(xiàn),一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式,如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決,若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運算.10.C【解析】試題分析:根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.解:在等差數(shù)列{an}中,若a2>a1,則d>0,即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則a2>a1,成立,即“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件,故選C.考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.11.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以的圖象關(guān)于原點對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因為,所以.因為,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.12.C【解析】

求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)底面邊長為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題,屬綜合中檔題.14.【解析】

先設(shè)切點,然后對求導(dǎo),根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標(biāo),代入原函數(shù)求出切點的縱坐標(biāo),即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:依題意設(shè)切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內(nèi),則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標(biāo),本題屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解:函數(shù),且畫出的圖象如下:因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得;又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為:【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.16.【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對稱的點的等價命題是方程在區(qū)間上有解,化簡方程在區(qū)間上有解,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解:根據(jù)題意,若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則方程在區(qū)間上有解,即方程在區(qū)間上有解,設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù),又由,可得:當(dāng)時,為減函數(shù),當(dāng)時,為增函數(shù),故函數(shù)有最小值,又由;比較可得:,故函數(shù)有最大值,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為;若方程在區(qū)間上有解,必有,則有,即的取值范圍是;故答案為:;【點睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)的零點就是方程的根,在研究方程的有關(guān)問題時,可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點,結(jié)合函數(shù)的圖象,采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)的長為4(2)【解析】

(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量垂直關(guān)系計算得到答案.(2)計算平面的法向量為,為平面的一個法向量,再計算向量夾角得到答案.【詳解】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,所以.,因為,所以,即,解得,所以的長為4.(2)因為,所以,又,故.設(shè)為平面的法向量,則即取,解得,所以為平面的一個法向量.顯然,為平面的一個法向量,則,據(jù)圖可知,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線段長度,二面角,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18.(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】

(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1,利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分別求出【詳解】(Ⅰ)由題意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,則不等式化為1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,則不等式化為2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,則不等式化為2a-1+1-a>1,解得a>1,綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由題意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因為|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時,[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,結(jié)合a<0,所以a的取值范圍是[-1010,0).【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題,含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查了分類討論思想,是中檔題.含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為最值問題,再通過絕對值三角不等式求解最值,從而建立不等關(guān)系,求出參數(shù)范圍.19.(1);(2)不能,理由見解析【解析】

(1)設(shè),則,由此即可求出橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得,則直線斜率為,設(shè)其方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于對稱,可求得,假設(shè)存在直線滿足題意,設(shè),可得,由此可得答案.【詳解】解:(1)設(shè),則,,所以橢圓方程為;(2)設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得,∴,因為兩直線的傾斜角互補,所以直線斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得,,所以關(guān)于對稱,由正弦定理得,因為,所以,由上得,假設(shè)存在直線滿足題意,設(shè),按某種排列成等比數(shù)列,設(shè)公比為,則,所以,則此時直線與平行或重合,與題意不符,所以不存在滿足題意的直線.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查計算能力與推理能力,屬于難題.20.(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】

(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機會,設(shè)恰好獲得60元為事件A,因為60=20×3=40+10+10,所以.【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).21.(1

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