專題7.17 銳角三角函數(shù)（中考?？伎键c專題）（基礎篇）（專項練習）-2022-2023學年九年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（蘇科版）

專題7.17銳角三角函數(shù)（中考?？伎键c專題）（基礎篇）（專項練習）一、單選題【類型一】銳角三角函數(shù)【考點一】（正弦??余弦??正切）概念??辨析1．（2025·吉林長春·中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（

）A． B． C． D．2．（2025·湖北湖北·模擬猜測）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【考點二】角??（正弦??余弦??正切）函數(shù)值3．（2025·浙江寧波·三模）如圖，將ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（

）A． B． C．2 D．4．（2025·福建省廈門其次中學模擬猜測）如圖，在中，，則（

）A． B．2 C． D．【考點三】（正弦??余弦??正切）函數(shù)值??求邊長5．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，在中，，若，則的長為（

）A．8 B．12 C． D．6．（2025·吉林·長春市赫行試驗學校一模）如圖要測量小河兩岸相對的兩點P、A的距離，可以在小河邊取的垂線上的一點C，測得米，，則小河寬為（

）米A． B． C． D．【類型二】特殊銳角三角函數(shù)【考點一】特殊銳角??函數(shù)值7．（2016·江蘇無錫·中考真題）sin30°的值為（

）A． B． C． D．8．（2025·廣東深圳·中考真題）計算的值為（

）A． B．0 C． D．【考點二】函數(shù)值??特殊銳角9．（2025·河南焦作·模擬猜測）王明同學遇到了這樣一道題，，則銳角的度數(shù)為（

）A．40° B．30° C．20° D．10°10．（2025·江蘇無錫·一模）已知是銳角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【考點三】混合運算??特殊銳角??二次根式11．（2025·山東泰安·模擬猜測）計算：的結(jié)果是（

）A． B． C． D．12．（2025·山東省日照市試驗中學二模）計算（tan30°）﹣1﹣|﹣2|＋＋（）0的結(jié)果是（

）A．6 B．12 C．2＋ D．2＋2【考點四】特殊銳角值??推斷三角形外形13．（2025·貴州黔西·模擬猜測）在中，若，都是銳角，且，，則的外形是（

）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形14．（2020·山東德州·二模）假如△ABC中，sinA=cosB=，則下列最精確?????的結(jié)論是（）A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是銳角三角形【類型三】解直角三角形【考點一】解直角三角形??直接解直角三角形15．（2025·陜西·中考真題）如圖，是的高，若，，則邊的長為（

）A． B． C． D．16．（2025·四川廣元·中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點D，再分別以A、D為圓心，大于AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點E、F，則AE的長度為（）A． B．3 C．2 D．【考點二】解非直角三角形??轉(zhuǎn)化為直角三角形并解之17．（2019·河北石家莊·二模）在東西方向的海岸線上有，兩個港口，甲貨船從港沿東北方向以海里時的速度動身，同時乙貨船從港口沿北偏西方向動身，后相遇在點處，如圖所示．問港與港相距（）海里．A． B． C． D．18．（2019·重慶·一模）縉云山是國家級自然風景名勝區(qū)，上周周末，小明和媽媽到縉云山游玩，登上了香爐峰觀景塔，從觀景塔底中心處水平向前走米到點處，再沿著坡度為的斜坡走一段距離到達點，此時回望觀景塔，更顯氣概宏偉，在點觀看到觀景塔頂端的仰角為再往前沿水平方向走米處處，觀看到觀景塔頂端的仰角是，則觀景塔的高度為（

）（tan22°≈0.4）A．米 B．米 C．米 D．米【考點三】解不規(guī)章圖形??構(gòu)造直角三角形并解之19．（2019·重慶九龍坡·模擬猜測）如圖是重慶輕軌10號線龍頭寺公園站入口扶梯建設示意圖．起初工程師方案修建一段坡度為3:2的扶梯，扶梯總長為米．但這樣坡度大陡，扶梯太長簡潔引發(fā)平安事故．工程師修改方案：修建、兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯和平臺形成的為135°，從點看點的仰角為36.5°，段扶梯長米，則段扶梯長度約為（

）米（參考數(shù)據(jù)：，，）A．43 B．45 C．47 D．4920．（2018·河北·模擬猜測）如圖（1）是一個六角星的紙板，其中六個銳角都為60°，六個鈍角都為120°，每條邊都相等，現(xiàn)將該紙板按圖（2）切割，并無縫隙無重疊地拼成矩形ABCD．若六角星紙板的面積為9cm2，則矩形ABCD的周長為（

）A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm【類型四】解直角三角形的應用【考點一】解直角三角形??仰角??俯角21．（2025·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學愛好小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同始終線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．22．（2025·山東濟南·中考真題）無人機低空遙感技術已廣泛應用于農(nóng)作物監(jiān)測．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機對一塊試驗田進行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為的處測得試驗田右側(cè)出界處俯角為，無人機垂直下降至處，又測得試驗田左側(cè)邊界處俯角為，則，之間的距離為（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）（

）A． B．C． D．【考點二】解直角三角形??方位角23．（2025·河北·模擬猜測）從觀測點A測得海島B在其北偏東60°方向上，測得海島C在其北偏東80°方向上，若一艘小船從海島B動身沿南偏西40°方向以每小時40海里的速度，行駛2小時到C海島，則C海島到觀測點A的距離是（

）A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里24．（2025·山東·濟南市市中區(qū)泉秀學校一模）如圖，一艘測量船在A處測得燈塔S在它的南偏東60°方向，測量船連續(xù)向正東航行30海里后到達B處，這時測得燈塔S在它的南偏西75°方向，則燈塔S離觀測點A的距離是（

）A．15海里 B．（15﹣15）海里C．（15﹣15）海里 D．15海里【考點三】解直角三角形??坡度坡比25．（2025·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．26．（2025·湖南衡陽·中考真題）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖．自動扶梯的傾斜角為，大廳兩層之間的距離為6米，則自動扶梯的長約為（）（

）．A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米【考點四】解直角三角形??其他問題27．（2025·廣西·中考真題）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米28．（2025·湖北十堰·中考真題）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A．B． C． D．二、填空題【類型一】銳角三角函數(shù)【考點一】（正弦??余弦??正切）概念??辨析29．（2025·上海市青浦區(qū)教育局二模）小明要測量公園里一棵古樹的高，被一條小溪攔住去路，接受計算方法，在點測得古樹頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點，測得古樹頂?shù)难鼋菫椋瑒t古樹的高度為________米．30．（2025·福建廈門·一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，則∠B＝_____．【考點二】角??（正弦??余弦??正切）函數(shù)值31．（2025·四川樂山·三模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A、B均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，圖中的點C是該弧與網(wǎng)格線的交點．則sin∠BAC的值等于_____．32．（2025·湖南益陽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝_____．【考點三】（正弦??余弦??正切）函數(shù)值??求邊長33．（2025·廣東深圳·二模）如圖，直角中，，依據(jù)作圖痕跡，若，，則________cm．34．（2025·湖南邵陽·中考真題）如圖，在矩形中，，垂足為點．若，，則的長為______．【類型二】特殊銳角三角函數(shù)【考點一】特殊銳角??函數(shù)值35．（2025·西藏·中考真題）計算：（π﹣3）0＋（﹣）﹣2﹣4sin30°＝___．36．（2020·湖南湘潭·中考真題）計算：________．【考點二】函數(shù)值??特殊銳角37．（2025·陜西·西安輔輪中學三模）若sin(α+15°)=1，則∠α等于_____________度．38．（2020·湖北·武漢二中廣雅中學三模）若sinA＝，則tanA＝_____．【考點三】混合運算??特殊銳角??二次根式39．（2025·重慶·模擬猜測）計算：sin45°+＝_____．40．（2025·湖北荊門·一模）計算：________．【考點四】特殊銳角值??推斷三角形外形41．（2020·江蘇淮安·三模）在中,若，則是_____三角形．42．（2019·四川自貢·一模）在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，則∠C＝_____．【類型三】解直角三角形【考點一】解直角三角形??直接解直角三角形43．（2019·遼寧大連·中考真題）如圖，是等邊三角形，延長到點，使，連接．若，則的長為_____．44．（2015·廣西玉林·中考真題）如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點O分斜邊AB為BO：OA=1：，將△BOC繞C點順時針方向旋轉(zhuǎn)到△AQC的位置，則∠AQC=___________．【考點二】解非直角三角形??轉(zhuǎn)化為直角三角形并解之45．（2025·湖北武漢·模擬猜測）如圖是某商場自動扶梯的示意圖，自動扶梯AB的傾斜角是30°，在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角是60°，則自動扶梯的垂直高度___________m．（取值1.732，結(jié)果精確到0.1米）46．（2020·安徽阜陽·二模）如圖，在一條東西方向筆直的沿湖道路l上有A、B兩個游船碼頭，觀光島嶼C在碼頭A的北偏東60°方向、在碼頭B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么碼頭A、B之間的距離等于_____千米．（結(jié)果保留根號）【考點三】解不規(guī)章圖形??構(gòu)造直角三角形并解之47．（2025·湖北湖北·中考真題）如圖，某活動小組利用無人機航拍校內(nèi)，已知無人機的飛行速度為，從A處沿水平方向飛行至B處需，同時在地面C處分別測得A處的仰角為，B處的仰角為．則這架無人機的飛行高度大約是_______（，結(jié)果保留整數(shù)）48．（2019·遼寧遼陽·中考真題）某數(shù)學小組三名同學運用自己所學的學問檢測車速，他們將觀測點設在一段筆直的大路旁且距大路100米的點處，如圖所示，直線表示大路，一輛小汽車由大路上的處向處勻速行駛，用時5秒，經(jīng)測量，點在點北偏東45°方向上，點在點北偏東60°方向上，這段大路最高限速60千米/小時，此車_____（填“超速”或“沒有超速”）（參考數(shù)據(jù)：）【類型四】解直角三角形的應用【考點一】解直角三角形??仰角??俯角49．（2025·山東煙臺·中考真題）數(shù)學愛好小組利用無人機測量學校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為______________米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）50．（2025·四川樂山·中考真題）如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點處測得石碑頂點的仰角為，她朝石碑前行5米到達點處，又測得石頂點的仰角為，那么石碑的高度的長________米．（結(jié)果保留根號）【考點二】解直角三角形??方位角51．（2025·四川·巴中市教育科學爭辯所中考真題）一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔30海里的處，它沿北偏東方向航行一段時間后，到達位于燈塔的北偏東方向上的處，此時與燈塔的距離約為________海里．（參考數(shù)據(jù)：，，）52．（2025·遼寧沈陽·二模）如圖，我國的一艘海監(jiān)船在釣魚島A四周沿正東方向航行，船在B點時測得釣魚島A在船的北偏東60°方向，船以50海里/時的速度連續(xù)航行2小時后到達C點，此時釣魚島A在船的北偏東30°方向．請問船連續(xù)航行______海里與釣魚島A的距離最近．【考點三】解直角三角形??坡度坡比53．（2025·廣西柳州·中考真題）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長度為____m．54．（2025·江蘇無錫·中考真題）一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，則前進100米所上升的高度為________米．【考點四】解直角三角形??其他問題55．（2025·山東泰安·中考真題）如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角，已知窗戶的高度，窗臺的高度，窗外水平遮陽篷的寬，則的長度為______（結(jié)果精確到）．56．（2025·廣西梧州·中考真題）某市跨江大橋即將竣工，某同學做了一個平面示意圖（如圖），點A到橋的距離是40米，測得∠A＝83°，則大橋BC的長度是___米．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）參考答案1．D【分析】依據(jù)正弦三角函數(shù)的定義推斷即可．解：∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故選：D．【點撥】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．把握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．2．D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，依據(jù)正弦三角函數(shù)的定義推斷即可；解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合題意；B．=tanA，不符合題意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合題意；D．=sin∠DBC=sinA，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的概念，把握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關鍵．3．D【分析】首先構(gòu)造以∠A為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義即可求解．解：連接BD，如圖所示：依據(jù)網(wǎng)格特點可知，，∴，∵，，∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正確．故選：D．【點撥】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構(gòu)造直角三角形是本題的關鍵．4．C【分析】依據(jù)勾股定理，可得AB與BC的關系，依據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．解：∵∠C=90°，，∴，，故C正確．故選：C．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先利用勾股定理得出AB與AC的關系，再利用正弦函數(shù)的定義．5．C【分析】利用正弦的定義得出AB的長，再用勾股定理求出BC.解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故選C.【點撥】本題考查了正弦的定義，以及勾股定理，解題的關鍵是先求出AB的長.6．C【分析】在直角三角形APC中依據(jù)∠PCA的正切函數(shù)可求小河寬PA的長度．解：∵PA⊥PB，∴∠APC=90°，∵PC=50米，∠PCA=44°，∴tan44°=，∴小河寬PA=PCtan∠PCA=50?tan44°米．故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②依據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．7．A【分析】依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．解：sin30°=故答案為：A．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的問題，把握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、確定值的性質(zhì)分別化簡得出答案．解：故選C．【點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，確定值的性質(zhì)等學問，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．9．C【分析】依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=，∵α為銳角，∴α+10°=30°，α=20°．故選C．【點撥】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．10．A【分析】依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值以及三角函數(shù)的定義，即可得到答案．解：∵是銳角，∴=30°，故選A．【點撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)，把握特殊角三角函數(shù)值是解題的關鍵．11．A【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，確定值的代數(shù)意義，乘方的意義，以及負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果．解：原式．故選：．【點撥】本題考查實數(shù)的運算，把握運算挨次是解決為題的關鍵，先乘方、再乘除、最終加減，留意牢記特殊角的三角函數(shù)值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則，確定值的代數(shù)意義，以及立方根定義計算即可求出值．解：原式＝﹣（2﹣）+3+1＝﹣2++3+1＝2+2．故選：D．【點撥】本題考查實數(shù)的運算，把握正確的運算挨次是解決問題的關鍵.13．D【分析】依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可推斷，，從而可求出，即證明的外形是直角三角形．解：∵，都是銳角，且，，∴，，∴，∴的外形是直角三角形．故選D．【點撥】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值推斷三角形外形，三角形內(nèi)角和定理．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵．14．C解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選：C．15．D【分析】先解直角求出AD，再在直角中應用勾股定理即可求出AB．解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故選D．【點撥】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，嫻熟把握三角函數(shù)的意義是解題的關鍵．16．A【分析】由題意易得MN垂直平分AD，AB=10，則有AD=4，AF=2，然后可得，進而問題可求解．解：由題意得：MN垂直平分AD，，∴，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，∴AD=4，AF=2，，∴；故選A．【點撥】本題主要考查勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)，嫻熟把握勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關鍵．17．B【分析】先作于點，依據(jù)甲貨船從港沿東北的方向以5海里小時的速度動身，求出和，從而得出的值，得出的值，即可求出答案．解：作于點，甲貨船從港沿東北的方向以5海里小時的速度動身，，，，乙貨船從港沿西北方向動身，，，，答：港與港相距海里，故選：．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，解題的關鍵是從實際問題中整理出直角三角形并利用解直角三角形的學問求解．本題要留意關鍵詞：在東西方向的海岸線上有，兩個港口.18．A【分析】作交DA的延長線于N，延長CB交DE于M，則四邊形DMBN是矩形,依據(jù)AB的坡度，設表示出在中，在中，依據(jù)列出式子，求出的值，即可求解.解：如圖，作交DA的延長線于N，延長CB交DE于M，則四邊形DMBN是矩形,可以假設則，在中，在中，解得：答：觀景塔的高度DE為21米.故選A.【點撥】考查解直角三角形，坡度問題，嫻熟把握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵.19．B【分析】首先構(gòu)建直角三角形，然后利用三角函數(shù)值得出DG，即可得解.解：作AH⊥EB于H，延長DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如圖所示：∵∠ACD=135°∴∠ACN=45°在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°∴AN=CN=18在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，設∴解得或（不符合題意，舍去）∴AH=45∴HN=AH-AN=45-18=27∵四邊形DGHN是矩形∴DG=HN=27在Rt△DEG中，∴故選：B.【點撥】此題主要考查銳角三角函數(shù)的實際應用，嫻熟把握，即可解題.20．D【分析】過點E作EF⊥AB于點F，設AE=xcm，則AD=3x,則,然后利用AB?AD=求出x的值，即可得到AD,AB的長度，則周長可求．解：如圖，過點E作EF⊥AB于點F，

∵六個銳角都為60°，六個鈍角都為120°，∴設AE=xcm，則AD=3x，∵∠AEB=120°，∴∠EAB=30°，∴AB=2AF=，∵六角星紙板的面積為cm2

，∴AB?AD=，即，解得x=，∴AD=，AB=3，∴矩形ABCD的周長=cm．故選:D．【點撥】本題主要考查解直角三角形和一元二次方程的應用，把握特殊角的三角函數(shù)值，利用方程的思想是解題的關鍵．21．A【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．解：設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點撥】本題考查三角函數(shù)，依據(jù)直角三角形的邊的關系，建立三角函數(shù)模型是解題的關鍵．22．C【分析】依據(jù)題意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后依據(jù)三角函數(shù)可進行求解．解：由題意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故選C．【點撥】本題主要考查解直角三角形的應用，嫻熟把握三角函數(shù)是解題的關鍵．23．D【分析】利用平行線性質(zhì)得出：∠ABD=∠EAB=60°，進而得出∠ABC=∠BAC=20°，得出BC=AC，進而得出答案．解：由題意可得出：∠EAC=80°，∠EAB=60°，∠DBC=40°，BC=40×2=80（海里），∴∠BAC=80°-60°=20°，∠BCA=60°，∵AE∥BD，∴∠ABD=∠EAB=60°，∵∠DBC=40°，∴∠ABC=60°-40°=20°，∴∠ABC=∠BAC=20°，∴BC=AC=80（海里）．∴C海島到觀測點A的距離是80海里．故選D.【點撥】本題主要考查了解直角三角形的應用，利用方向角得出BC=AC是解題的關鍵．24．B【分析】題中利用特殊角度，做幫助線過S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，設CS＝x海里，則x+x+2x＝AB，可得：x＝，可知AS＝（15﹣15）海里．解：過S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，∴∠CDS＝∠CAS＝30°，∵∠ABS＝15°，∴∠DSB＝15°，∴SD＝BD，設CS＝x海里，在Rt△ASC中，∠CAS＝30°，∴AC＝x（海里），AS＝DS＝BD＝2x（海里），∵AB＝30海里，∴x+x+2x＝30，解得：x＝，∴AS＝（15﹣15）海里．故選：B．【點撥】本題主要考查方位角問題，嫻熟運用特殊角三角函數(shù)是解題的關鍵．25．A【分析】直接利用坡度的定義得出的長，再利用勾股定理得出的長．解：∵，，∴，解得：，則．故選：A．【點撥】本題考查解直角三角形和勾股定理的實際應用．由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關鍵．26．D【分析】結(jié)合題意，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算，即可得到答案．解：依據(jù)題意，得：∵米∴米故選：D．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的學問；解題的關鍵是嫻熟把握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．27．A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點撥】本題考查解直角三角形的應用，嫻熟把握直角三角形邊角關系是解題的關鍵．28．A【分析】應充分利用所給的α和45°在樹的位置構(gòu)造直角三角形，進而利用三角函數(shù)求解．解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選：A．【點撥】本題考查銳角三角函數(shù)的應用．需留意構(gòu)造直角三角形是常用的幫助線方法，另外，利用三角函數(shù)時要留意各邊相對．29．【分析】由正切的定義分別確定的表達式，進而聯(lián)立成方程組，求解方程組即可得到答案．解：如圖，CD為樹高，點C為樹頂，則，BD=AD-100∴依題意，有由①得將③代入②，解得故答案為：．【點撥】本題考查正切的定義，二元一次方程組得應用，能依題意依據(jù)正切的定義列出方程組是解題的關鍵．30．60°【分析】利用正弦定義計算即可．解：如圖，∵sinB＝，∴∠B＝60°，故答案為：60°．【點撥】此題主要考查了解直角三角形，關鍵是把握正弦定義．31．【分析】利用CDAB，得到∠BAC=∠DCA，依據(jù)同圓的半徑相等，AC=AB=3，可得sin∠ACD==，從而可得答案．解：如圖：∵CDAB，∴∠BAC＝∠DCA．∵同圓的半徑相等，∴AC＝AB＝3．在中，sin∠ACD＝．∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝．故答案為：．【點撥】此題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是利用圖形的性質(zhì)進行角的等量代換．32．【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到cosB＝sinA＝．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝＝，∴cosB＝＝．故答案為：．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的定義，由定義可推出互余兩角的三角函數(shù)的關系：若∠A+∠B＝90°，則sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相關定義是解題關鍵．33．【分析】先解直角三角形ABC求出BC的長，從而求出AB的長，再由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，即可得到BE的長，再解直角△BED即可得到答案．解：∵∠C=90°，AC=3cm，，∴，∴BC=4cm，∴，由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，∴DE⊥AB，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，正確理解DE是線段AB的垂直平分線是解題的關鍵．34．3【分析】在中，由正弦定義解得，再由勾股定理解得DE的長，依據(jù)同角的余角相等，得到，最終依據(jù)正弦定義解得CD的長即可解題．解：在中，在矩形中，故答案為：3．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、正弦、勾股定理等學問，是重要考點，難度較易，把握相關學問是解題關鍵．35．3【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×＝1＋4﹣2＝3．故答案為：3．【點撥】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．36．【分析】依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接書寫即可．解：故答案為：．【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，堅固記憶是解題的關鍵．37．75【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．解：∵sin（α+15°）=1，∴α+15°=90°，∴α=75°，故答案為：75．【點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．38．．【分析】先依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的度數(shù)，然后求出tanA的值．解：∵sinA＝，∴∠A＝30°，則tanA＝．故答案為：．【點撥】本題考查了對特殊角的三角函數(shù)值的應用，解題的關鍵是檢查同學能否嫻熟地運用進行計算．39．4##【分析】依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算即可．解：sin45°+，故答案為：4．【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和負整數(shù)指數(shù)冪，相關公式有：，．40．【分析】依據(jù)確定值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負指數(shù)冪的性質(zhì)即可求解．解：原式．故答案為：．【點撥】本題主要考查了確定值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負指數(shù)冪的性質(zhì)．41．等腰【分析】依據(jù)確定值和平方的非負性求出sinA和tanB的值，再依據(jù)銳角三角函數(shù)的特殊值求出∠A和∠B的角度，即可得出答案.解：∵∴，∴∠A=30°，∠B=30°∴△ABC是等腰三角形故答案為等腰.【點撥】本題考查的是特殊三角函數(shù)值，比較簡潔，需要牢記特殊三角函數(shù)值.42．75°．【分析】先依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定cosA=，tanB=1，再依據(jù)特殊角的三角函數(shù)解答．解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，則cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案為75°．【點撥】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵，同時還考查了三角形內(nèi)角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等，證得△ABD是含30°角的直角三角形是解題的關鍵．44．105°．【分析】連接OQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△AQC≌△BOC，從而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再依據(jù)特殊直角三角形邊的關系，分別求出∠AQO與∠OQC的值，可求出結(jié)果．解：連接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，設BO=1，OA=，∴AQ=1，則tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案為105°．45．3.5【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到，依據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．解：∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴（m）．故答案為：3.5.【點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用，關鍵是證明AC＝BC，需要嫻熟把握三角形函數(shù)定義，此題難度不大．46．（2+2）【分析】作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中利用三角函數(shù)求得CD、AD的長，然后在Rt△BCD中求得BD的長，即可得到碼頭A、B之間的距離．解：如圖，作CD⊥AB于點D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC?sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC?cos30°＝4×＝2（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2+2（km），故答案是：（2+2）．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，作出幫助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計算，求得CD的長是關鍵．47．20【分析】過點作于點，過點作水平線的垂線，垂足為點，先解直角三角形求出的長，從而可得，再依據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長即可得．解：如圖，過點作于點，過點作水平線的垂線，垂足為點，由題意得：，，，在中，，，在中，，，在中，，即這架無人機的飛行高度大約是，故答案為：20．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，通過作幫助線，構(gòu)造直角三角形是解題關鍵．48．沒有超速【分析】作⊥直線于，依據(jù)求出BC，進而求出小汽車的速度，即可進行推斷.解：作⊥直線于，在中，，∴，在中，，則，∴（米），小汽車的速度為：（千米/小時），∵52.704千米/小時＜速60千米/小時，∴小汽車沒有超速，故答案為沒有超速．【點撥】此題主要考查三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是依據(jù)題意作出幫助線進行求解.49．14．【分析】利用無人機所在水平線與旗桿所在豎直線所成的直角三角形，求出BC，再用40去減即可．解：如圖，無人機所在水平線與旗桿所在豎直線交于點B，