復(fù)變函數(shù)-第7章-拉普拉斯變換

第7章拉普拉斯變換7.1拉普拉斯變換7.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)7.3拉普拉斯逆變換7.4拉普拉斯變換的應(yīng)用在所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為

7.1拉普拉斯變換7.1.1拉普拉斯變換的概念定義1設(shè)函數(shù)當(dāng)有定義,而且積分是一個復(fù)參量）

我們稱上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式,記做?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),=?

的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),亦即存在常數(shù)7.1.2拉普拉斯變換存在定理

若函數(shù)滿足下列條件

Ⅰ在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù),時,

Ⅱ當(dāng)時,

及,使得成立,則函數(shù)的拉氏變換在半平面上一定存在.此時右端的積分絕對收斂而且一致收斂.并且在此半平面內(nèi)為解析函數(shù)記?+

?-即?+

?-?+

?-即∴?

?-但仍記作?

7.1.3一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換

例2

求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解:?

例1

求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換

解:

?

例3

求函數(shù)的拉氏變換

解:

?

例4

求單位斜坡函數(shù)的拉氏變換

解:

?

例5

求冪函數(shù)的拉氏變換

解:

?

當(dāng)為正整數(shù)時,

?

例6

求正弦函數(shù)

的拉氏變換

?

解:

則所以?

即同理可得如?

?

例7求:解:?

是周期為當(dāng)在一個周期上連續(xù)或分段連續(xù)時,則有7.1.4周期函數(shù)的拉普拉斯變換

這是求周期函數(shù)拉氏變換公式的周期函數(shù),即可以證明:若?

例8求:?

解:?

兩次分部積分7.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

7.2.1線性性質(zhì)

設(shè)為常數(shù)則

??

?

?

例9求:解:?

?

?

7.2.2相似性質(zhì)

若=?

則??7.2.3位移性質(zhì)

（1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)(延遲性質(zhì))

??

?例10

求函數(shù)的拉氏變換解:因為?

所以?

若為非負(fù)實數(shù)，則（2）象函數(shù)的位移性質(zhì)

??

若為實常數(shù)，則(為正整數(shù)).

例11

求解:因為?

?

?

?

所以?

?

則一般地,??

若?特別地,當(dāng)時,?可以證明?7.2.4微分性質(zhì)(1)原象函數(shù)的微分性質(zhì)（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)

若則?從而??

??一般地,有從而?例12

求函數(shù)解:因為

同理,???

所以,?例13求:解1:?由象函數(shù)的位移性質(zhì),得?再由象函數(shù)的微分性質(zhì),?

?

解2:?

?

?

7.2.5積分性質(zhì)

若?則??

(1)象原函數(shù)的積分性質(zhì)

一般地?且積分收斂若?則??

(2)象函數(shù)的積分性質(zhì)

一般地?或復(fù)數(shù)中的∞是對應(yīng)與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點,實部、虛部與幅角的概念對它均無意義,但它的模則規(guī)定為正無窮大,即|∞|=+∞推論若則?

且積分收斂例14求?

解因為?

所以??

順便可得?7.2.7拉氏變換的卷積與卷積定理

(1)上的卷積定義

若函數(shù),滿足

時都為零,稱為函數(shù)在上的卷積.則卷積滿足下列性質(zhì)1)2)3)4)例15

對函數(shù)計算上的卷積

解:例16

求:解:(2)拉氏變換的卷積定理若則???

?

注：上述定理可推廣到有限個函數(shù)的情形例17

已知為正整數(shù))求在上的卷積解因為???所以??7.3拉普拉斯逆變換

求拉普拉斯逆變換的方法主要有留數(shù)法、部分分式法、查表法等.

根據(jù)拉普拉斯變換的定義

右端的積分稱為拉氏反演積分.它是一個復(fù)變函數(shù)的積分,但計算比較麻煩.7.3.1利用拉普拉斯變換對和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換

一些常用函數(shù)的拉氏變換對拉氏逆變換的性質(zhì)

????????例18已知求解所以例19已知求解所以??部分分式法例20已知求解所以例21已知求解所以7.3.2利用留數(shù)定理求拉氏逆變換

定理特別當(dāng)(1)(2)上述兩個公式也稱為Heaviside展開式.例22利用留數(shù)方法求的逆變換解:?例23求的逆變換解1:?留數(shù)方法解2:部分分式法則比較分子

的同次冪系數(shù),得??7.4拉普拉斯變換的應(yīng)用

7.4.1常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法

利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問題,其基本步驟如下:

（1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程;

（2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù);

（3）對象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.(微分、積分方程的Laplace變換解法)微分、積分方程取Laplace變換象函數(shù)的代數(shù)方程解代數(shù)方程

象函數(shù)取Laplace逆變換象原函數(shù)(方程的解)例24求微分方程滿足初始條件的解

解設(shè)?解得所以??對方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得例25求微分方程滿足初始條件的解.解設(shè)???對方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得例26求積分方程的解.解設(shè)???即對方程兩邊取拉氏變換，則得例27求微分、積分方程在滿足初始條件的解.解

設(shè)?即對方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，則得例28求微分方程組滿足