2024-2025高中物理競賽輔導(dǎo) 原子物理含答案

2024-2025高中物理競賽輔導(dǎo)原子物理含答案原子物理自1897年發(fā)現(xiàn)電子并確認(rèn)電子是原子的組成粒子以后，物理學(xué)的中心問題就是探索原子內(nèi)部的奧秘，經(jīng)過眾多科學(xué)家的努力，逐步弄清了原子結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動變化的規(guī)律并建立了描述分子、原子等微觀系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的理論體系——量子力學(xué)。本章簡單介紹一些關(guān)于原子和原子核的基本知識?！?.1原子1．1．1、原子的核式結(jié)構(gòu)1897年，湯姆生通過對陰極射線的分析研究發(fā)現(xiàn)了電子，由此認(rèn)識到原子也應(yīng)該具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而不是不可分的。1909年，盧瑟福和他的同事以α粒子轟擊重金屬箔，即α粒子的散射實(shí)驗，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)α粒子穿過金箔后仍沿原來的方向前進(jìn)，但有少數(shù)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并且有極少數(shù)偏轉(zhuǎn)角超過了90°，有的甚至被彈回，偏轉(zhuǎn)幾乎達(dá)到180°。1911年，盧瑟福為解釋上述實(shí)驗結(jié)果而提出了原子的核式結(jié)構(gòu)學(xué)說，這個學(xué)說的內(nèi)容是：在原子的中心有一個很小的核，叫原子核，原子的全部正電荷和幾乎全部質(zhì)量都集中在原子核里，帶負(fù)電的電子在核外的空間里軟核旋轉(zhuǎn)，根據(jù)α粒子散射的實(shí)驗數(shù)據(jù)可估計出原子核的大小應(yīng)在10-14nm以下。1、1．2、氫原子的玻爾理論1、核式結(jié)論模型的局限性通過實(shí)驗建立起來的盧瑟福原子模型無疑是正確的，但它與經(jīng)典論發(fā)生了嚴(yán)重的分歧。電子與核運(yùn)動會產(chǎn)生與軌道旋轉(zhuǎn)頻率相同的電磁輻射，運(yùn)動不停，輻射不止，原子能量單調(diào)減少，軌道半徑縮短，旋轉(zhuǎn)頻率加快。由此可得兩點(diǎn)結(jié)論：①電子最終將落入核內(nèi)，這表明原子是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)；②電子落入核內(nèi)輻射頻率連續(xù)變化的電磁波。原子是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)顯然與事實(shí)不符，實(shí)驗所得原子光譜又為波長不連續(xù)分布的離散光譜。如此尖銳的矛盾，揭示著原子的運(yùn)動不服從經(jīng)典理論所表述的規(guī)律。為解釋原子的穩(wěn)定性和原子光譜的離經(jīng)叛道的離散性，玻爾于1913年以氫原子為研究對象提出了他的原子理論，雖然這是一個過渡性的理論，但為建立近代量子理論邁出了意義重大的一步。2、玻爾理論的內(nèi)容：一、原子只能處于一條列不連續(xù)的能量狀態(tài)中，在這些狀態(tài)中原子是穩(wěn)定的，電子雖做加速運(yùn)動，但并不向外輻射能量，這些狀態(tài)叫定態(tài)。二、原子從一種定態(tài)（設(shè)能量為E2）躍遷到另一種定態(tài)（設(shè)能量為E1）時，它輻射或吸收一定頻率的光子，光子的能量由這種定態(tài)的能量差決定，即=E2-E1三、氫原子中電子軌道量子優(yōu)化條件：氫原子中，電子運(yùn)動軌道的圓半徑r和運(yùn)動初速率v需滿足下述關(guān)系：，n=1、2……其中m為電子質(zhì)量，h為普朗克常量，這一條件表明，電子繞核的軌道半徑是不連續(xù)的，或者說軌道是量子化的，每一可取的軌道對應(yīng)一個能級。定態(tài)假設(shè)意味著原子是穩(wěn)定的系統(tǒng)，躍遷假設(shè)解釋了原子光譜的離散性，最后由氫原子中電子軌道量子化條件，可導(dǎo)出氫原子能級和氫原子的光譜結(jié)構(gòu)。氫原子的軌道能量即原子能量，為因圓運(yùn)動而有由此可得根據(jù)軌道量子化條件可得：，n=1，2……因，便有得量子化軌道半徑為：，n=1，2……式中已將r改記為rn對應(yīng)的量子化能量可表述為：，n=1，2……n=1對應(yīng)基態(tài)，基態(tài)軌道半徑為計算可得：=0.529r1也稱為氫原子的玻爾半徑基態(tài)能量為計算可得：E1=eV。對激發(fā)態(tài)，有：，n=1，2…n越大，rn越大，En也越大，電子離核無窮遠(yuǎn)時，對應(yīng)，因此氫原子的電離能為：電子從高能態(tài)En躍遷到低能態(tài)Em輻射光子的能量為：光子頻率為，因此氫原子光譜中離散的譜線波長可表述為：，試求氫原子中的電子從第n軌道遷躍到n-1第軌道時輻射的光波頻率，進(jìn)而證明當(dāng)n很大時這一頻率近似等于電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動頻率。輻射的光波頻率即為輻射的光子頻率，應(yīng)有將代入可得當(dāng)n很大時，這一頻率近似為電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動頻率為：將代入得因此，n很大時電子從n第軌道躍遷到第n-1軌道所輻射的光波頻率，近似等于電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動頻率，這與經(jīng)典理論所得結(jié)要一致，據(jù)此，玻爾認(rèn)為，經(jīng)典輻射是量子輻射在時的極限情形。1、1．3、氫原子光譜規(guī)律1、巴耳末公式研究原子的結(jié)構(gòu)及其規(guī)律的一條重要途徑就是對光譜的研究。19世紀(jì)末，許多科學(xué)家對原子光譜已經(jīng)做了大量的實(shí)驗工作。第一個發(fā)現(xiàn)氫原子線光譜可組成線系的是瑞士的中學(xué)教師巴耳末，他于1885年發(fā)現(xiàn)氫原子的線光譜在可見光部分的譜線，可歸納為如下的經(jīng)驗公式，n=3，4，5，…式中的為波長，R是一個常數(shù)，叫做里德伯恒量，實(shí)驗測得R的值為1.096776107。上面的公式叫做巴耳末公式。當(dāng)n=3，4，5，6時，用該式計算出來的四條光譜線的波長跟從實(shí)驗測得的、、、四條譜線的波長符合得很好。氫光譜的這一系列譜線叫做巴耳末系。2、里德伯公式1896年，瑞典的里德伯把氫原子光譜的所有譜線的波長用一個普遍的經(jīng)驗公式表示出來，即n=1，2，3…，，…上式稱為里德伯公式。對每一個，上是可構(gòu)成一個譜線系：，，3，4… 萊曼系（紫外區(qū)），，4，5… 巴耳末系（可見光區(qū)），，5，6… 帕邢系（紅外區(qū)），，6，7… 布拉開系（遠(yuǎn)紅外區(qū)），，7，8… 普豐德系（遠(yuǎn)紅外區(qū)）以上是氫原子光譜的規(guī)律，通過進(jìn)一步的研究，里德伯等人又證明在其他元素的原子光譜中，光譜線也具有如氫原子光譜相類似的規(guī)律性。這種規(guī)律性為原子結(jié)構(gòu)理論的建立提供了條件。1、1．4、玻爾理論的局限性：玻爾原子理論滿意地解釋了氫原子和類氫原子的光譜；從理論上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。對于解釋具有兩個以上電子的比較復(fù)雜的原子光譜時卻遇到了困難，理論推導(dǎo)出來的結(jié)論與實(shí)驗事實(shí)出入很大。此外，對譜線的強(qiáng)度、寬度也無能為力；也不能說明原子是如何組成分子、構(gòu)成液體個固體的。玻爾理論還存在邏輯上的缺點(diǎn)，他把微觀粒子看成是遵守經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)，同時，又給予它們量子化的觀念，失敗之處在于偶保留了過多的經(jīng)典物理理論。到本世紀(jì)20年代，薛定諤等物理學(xué)家在量子觀念的基礎(chǔ)上建立了量子力學(xué)。徹底摒棄了軌道概念，而代之以幾率和電子云概念。例題1：設(shè)質(zhì)子的半徑為，求質(zhì)子的密度。如果在宇宙間有一個恒定的密度等于質(zhì)子的密度。如不從相對論考慮，假定它表面的“第一宇宙速度”達(dá)到光速，試計算它的半徑是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol氣體的分子數(shù)是個；光速）；萬有引力常數(shù)G取為。只取一位數(shù)做近似計算。解:的摩爾質(zhì)量為2g/mol，分子的質(zhì)量為∴質(zhì)子的質(zhì)量近似為質(zhì)子的密度ρ==設(shè)該星體表面的第一宇宙速度為v，由萬引力定律，得，而∴ 由于“重力速度”∴【注】萬有引力恒量一般取6.67例題2：與氫原子相似，可以假設(shè)氦的一價正離子（He）與鋰的二價正離子（L）核外的那一個電子也是繞核作圓周運(yùn)動。試估算（1）He、L的第一軌道半徑；（2）電離能量、第一激發(fā)能量；（3）賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時，不考慮原子核的運(yùn)動所產(chǎn)生的影響，原子核可視為不動，其帶電量用+Ze表示，可列出下面的方程組：， ①， ②，n=1，2，3，… ③， ④由此解得，，并可得出的表達(dá)式：， ⑤其中米，為氫原子中電子的第度軌道半徑，對于He，Z=2，對于Li，Z=3．， ⑥其中13.6電子伏特為氫原子的基態(tài)能．． ⑦，2，3，…，，…R是里德伯常數(shù)。（1）由半徑公式⑤，可得到類氫離子與氫原子的第一軌道半徑之比：，．（2）由能量公式⑥，可得到類氫離子與氫原子的電離能和第一激發(fā)能（即電子從第一軌道激發(fā)到第二軌道所需的能量）之比：電離能：，

第一激發(fā)能：，

。（其中：表示電子處在第二軌道上的能量，表示電子處在第一軌道上的能量）（3）由光譜公式⑦，氫原子賴曼系第一條譜線的波長有：相應(yīng)地，對類氫離子有：，，因此：，。例3：已知基態(tài)He的電離能為E=54.4Ev，（1）為使處于基態(tài)的He進(jìn)人激發(fā)態(tài)，入射光子所需的最小能量應(yīng)為多少？（2）He從上述最底激發(fā)態(tài)躍遷返回基態(tài)時，如考慮到該離子的反沖，則與不考慮反沖相比，它所發(fā)射的光子波長的百分變化有多大？（離子He的能級En與n的關(guān)系和氫原子能級公式類中，可采用合理的近似。）分析:第（1）問應(yīng)正確理解電離能概念。第（2）問中若考慮核的反沖，應(yīng)用能量守恒和動量守恒，即可求出波長變化。解:（1）電離能表示He的核外電子脫離氦核的束縛所需要的能量。而題問最小能量對應(yīng)于核外電子由基態(tài)能級躍遷到第一激發(fā)態(tài)，所以54.440.8eV（2）如果不考慮離子的反沖，由第一激發(fā)態(tài)遷回基態(tài)發(fā)阜的光子有關(guān)系式：現(xiàn)在考慮離子的反沖，光子的頻率將不是而是，為反沖離子的動能，則由能量守恒得又由動量守恒得式中是反沖離子動量的大小，而是發(fā)射光子的動量的大小，于是，波長的相對變化=由于所以代入數(shù)據(jù)即百分變化為0.00000054%

§1、2原子核原子核所帶電荷為+Ze，Z是整數(shù)，叫做原子序數(shù)。原子核是由質(zhì)子和中子組成，兩者均稱為核子，核子數(shù)記為A，質(zhì)子數(shù)記為Z，中子數(shù)便為A-Z。原子的元素符號記為X，原子核可表述為，元素的化學(xué)性質(zhì)由質(zhì)子數(shù)Z決定，Z相同N不同的稱為同位素。在原子物理中，常采用原子質(zhì)量單位，一個中性碳原子質(zhì)量的記作1個原子單位，即lu=。質(zhì)子質(zhì)量：中子質(zhì)量：電子質(zhì)量：1．2．1、結(jié)合能除氫核外，原子核中Z個質(zhì)子與（A-Z）個中子靜質(zhì)量之和都大于原子核的靜質(zhì)量，其間之差：稱為原子核的質(zhì)量虧損。式中、分別為質(zhì)子、中子的靜質(zhì)量。造成質(zhì)量虧損的原因是核子相互吸引結(jié)合成原子核時具有負(fù)的能量，這類似于電子與原子核相互吸引力結(jié)合成原子時具有負(fù)的能量（例如氫原子處于基態(tài)時電子軌道能量為-13.6eV）。據(jù)相對論質(zhì)能關(guān)系，負(fù)能量對應(yīng)質(zhì)量虧損。質(zhì)量虧損折合成的能量：稱為原子核的結(jié)合能，注意結(jié)合能取正值。結(jié)合能可理解成為了使原子核分裂成各個質(zhì)子和中子所需要的外加你量。稱為核子的平均結(jié)合能。1．2．2、天然放射現(xiàn)象天然放射性元素的原子核，能自發(fā)地放出射線的現(xiàn)象，叫天然放射現(xiàn)象。這一發(fā)現(xiàn)揭示了原子核結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。天然放射現(xiàn)象中有三種射線，它們是：α射線：速度約為光速的1/10的氦核流（），其電離本領(lǐng)很大。β射線：速度約為光速的十分之幾的電子流（），其電離本領(lǐng)較弱，貫穿本領(lǐng)較弱。γ射線：波長極短的電磁波，是伴隨著α射線、β射線射出的，其電離本領(lǐng)很小，貫穿本領(lǐng)最強(qiáng)。1．2．3、原子核的衰變放射性元素的原子核放出某種粒子后，變成另一種新核的現(xiàn)象，叫做原子核的衰變，衰變過程遵循電荷守恒定律和質(zhì)量守恒定律。用X表示某種放射性元素，z表示它的核電荷數(shù)，m表示它的質(zhì)量數(shù)，Y表示產(chǎn)生的新元素，中衰變規(guī)律為：α衰變：通式 例如 β衰變：通式 例如 γ衰變：通式 （γ射線伴隨著α射線、β射線同時放出的。原子核放出γ射線，要引起核的能量發(fā)生變化，而電荷數(shù)和質(zhì)量數(shù)都不改變）1．2．4、衰變定律和半衰期研究發(fā)現(xiàn)，任何放射性物質(zhì)在單獨(dú)存在時，都遵守指數(shù)衰減規(guī)律 ①這叫衰變定律。式中是t=0時的原子核數(shù)目，N（t）是經(jīng)時間t后還沒有衰變的原子核的數(shù)目，λ叫衰變常數(shù)，對于不同的核素衰變常數(shù)λ不同。由上式可得： ②式中代表在時間內(nèi)發(fā)生的衰變原子核數(shù)目。分母N代表t時刻的原子核總數(shù)目。λ表示一個原子核在單位時間內(nèi)發(fā)生衰變的概率。不同的放射性元素具有不同的衰變常數(shù)，它是一個反映衰變快慢的物理量，λ越大，衰變越快。半衰期表示放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變所需的時間。用T表示，由衰變定律可推得： ③半衰期T也是反映衰變快慢的物理量；它是由原子核的內(nèi)部因素決定的，而跟原子所處的物理狀態(tài)或化學(xué)狀態(tài)無關(guān)；半衰期是對大量原子核衰變的統(tǒng)計規(guī)律，不表示某個原子核經(jīng)過多長時間發(fā)生的衰變。由①、③式則可導(dǎo)出衰變定律的另一種形式，即（T為半衰期，t表示衰變的時間，表示衰變前原子核的總量，N表示t后未衰變的原子核數(shù)）或（為衰變前放射性物質(zhì)的質(zhì)量，M為衰變時間t后剩余的質(zhì)量）。1、2、5、原子核的組成用人工的方法使原子核發(fā)生變化，是研究原子核結(jié)構(gòu)及變化規(guī)律的有力武器。確定原子核的組成有賴于質(zhì)子和中子的發(fā)現(xiàn)。1919年，盧瑟福用α粒子轟擊氮原子核而發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子，這個變化的核反應(yīng)方程：1932年，查德威克用α粒子轟擊鈹原子核而發(fā)現(xiàn)了中子，這個變化的核反應(yīng)方程是：通過以上實(shí)驗事實(shí)，從而確定了原子核是由質(zhì)子和中子組成的，質(zhì)子和中子統(tǒng)稱為核子。某種元素一個原子的原子核中質(zhì)子與中子的數(shù)量關(guān)系為：質(zhì)子數(shù)=核電荷數(shù)=原子序數(shù)中子數(shù)=核質(zhì)量數(shù)-質(zhì)子數(shù)具有相同質(zhì)子數(shù)不同中子數(shù)的原子互稱為同位素，利用放射性同位素可作“示蹤原子”，用其射線可殺菌、探傷、消除靜電等。1、2、6、核能①核能原子核的半徑很小，其中質(zhì)子間的庫侖力是很大的。然而通常的原子核卻是很穩(wěn)定的。這說明原子核里的核子之間一定存在著另一種和庫侖力相抗衡的吸引力，這種力叫核力。從實(shí)驗知道，核力是一種強(qiáng)相互作用，強(qiáng)度約為庫侖力的確100倍。核力的作用距離很短，只在的短距離內(nèi)起作用。超過這個距離，核力就迅速減小到零。質(zhì)子和中子的半徑大約是，因此每個核子只跟它相鄰的核子間才有核力的作用。核力與電荷無關(guān)。質(zhì)子和質(zhì)子，質(zhì)子和中子，中子和中子之間的作用是一樣的。當(dāng)兩核子之間的距離為時，核力表現(xiàn)為吸力，在小于時為斥力，在大于10fm時核力完全消失。②質(zhì)能方程愛因斯坦從相對論得出物體的能量跟它的質(zhì)量存在正比關(guān)系，即這個方程叫做愛因斯坦質(zhì)能方程，式中c是真空中的光速，m是物體的質(zhì)量，E是物體的能量。如果物體的能量增加了△E，物體的質(zhì)量也相應(yīng)地增加了△m，反過來也一樣。△E和△m之間的關(guān)系符合愛因斯坦的質(zhì)能方程。③質(zhì)量虧損原子核由核子所組成，當(dāng)質(zhì)子和中子組合成原子核時，原子核的質(zhì)量比組成核的核子的總質(zhì)量小，其差值稱為質(zhì)量虧損。用m表示由Z個質(zhì)子、Y個中子組成的原子核的質(zhì)量，用和分別表示質(zhì)子和中子的質(zhì)量，則質(zhì)量虧損為：④原子核的結(jié)合能和平均結(jié)合能由于核力將核子聚集在一起，所以要把一個核分解成單個的核子時必須反對核力做功，為此所需的能量叫做原子核的結(jié)合能。它也是單個核子結(jié)合成一個核時所能釋放的能量。根據(jù)質(zhì)能關(guān)系式，結(jié)合能的大小為：原子核中平均每個核子的結(jié)合能稱為平均結(jié)合能，用N表示核子數(shù)，則：平均結(jié)合能=平均結(jié)合能越大，原子核就越難拆開，平均結(jié)合能的大小反映了核的穩(wěn)定程度。從平均結(jié)合能曲線可以看出，質(zhì)量數(shù)較小的輕核和質(zhì)量數(shù)級大的重核，平均結(jié)合能都比較小。中等質(zhì)量數(shù)的原子核，平均結(jié)合能大。質(zhì)量數(shù)為50~60的原子核，平均結(jié)合能量大，約為8.6MeV。1．2．7、核反應(yīng)原子核之間或原子核與其他粒子之間通過碰撞可產(chǎn)生新的原子核，這種反應(yīng)屬于原子核反應(yīng)，原子核反應(yīng)可用方程式表示，例如即為氦核（α粒子）轟擊氮核后產(chǎn)生氧同位素和氫核的核反應(yīng)，核反應(yīng)可分為如下幾類（1）彈性散射：這種過程，出射粒子就是入射粒子，同時在碰撞過程中動能保持不變，例如將中子與許多原子核碰撞會發(fā)生彈性散射。（2）非彈性散射：這種過程中出射粒子也是原來的入射粒子，但在碰撞過程中粒子動能有了變化，即粒子和靶原子核發(fā)生能量轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。例如能量較高的中子轟擊原子核使核激發(fā)的過程。（3）產(chǎn)生新粒子：這時碰撞的結(jié)果不僅能量有變化，而且出射粒子與入射粒子不相同，對能量較大的入射粒子，核反應(yīng)后可能出現(xiàn)兩個以上的出射粒子，如合成101號新元素的過程。（4）裂變和聚變：在碰撞過程中，使原子核分裂成兩個以上的元素原子核，稱為裂變，如鈾核裂變裂變過程中，質(zhì)量虧損0.2u，產(chǎn)生巨大能量，這就是原子彈中的核反應(yīng)。引起原子核聚合的反應(yīng)稱為聚變反應(yīng)，如氫彈就是利用氘、氘化鋰等物質(zhì)產(chǎn)生聚變后釋放出巨大能量發(fā)生爆炸的。核反應(yīng)中電荷守恒，即反應(yīng)生成物電荷的代數(shù)和等于反應(yīng)物電荷的代數(shù)和。核反應(yīng)中質(zhì)量守恒，即反應(yīng)生成物總質(zhì)量等于反應(yīng)物總質(zhì)量。這里的質(zhì)量指相對論質(zhì)量，相對論質(zhì)量m與相對論能量E之間的關(guān)系是因此質(zhì)量守恒也意味著能量守恒。核反應(yīng)中質(zhì)量常采用原子質(zhì)量單位，記為u.lu相當(dāng)于931.5MeV。核反應(yīng)中相對論質(zhì)量守恒，但靜質(zhì)量可以不守恒。一般來說，反應(yīng)生成物總的靜質(zhì)量少于反應(yīng)物總的靜質(zhì)量，或者說反應(yīng)物總的靜質(zhì)量有虧損。虧損的靜質(zhì)量記為△m，反應(yīng)后它將以能量形式釋放出來，稱之為反應(yīng)能，記為△E，有需要注意的是反應(yīng)物若有動能，其相對論質(zhì)量可大于靜質(zhì)量，但在算反應(yīng)能時只計靜質(zhì)量。反應(yīng)能可以以光子形式向外輻射，也可以部分轉(zhuǎn)化為生成物的動能，但生成物的動能中還可以包含反應(yīng)物原有的動能。下面討論原子核反應(yīng)能的問題：在所有原子核反應(yīng)中，下列物理量在反應(yīng)前后是守恒的：①電荷；②核子數(shù)；③動量；④總質(zhì)量和聯(lián)系的總能量等（包括靜止質(zhì)量和聯(lián)系的靜止能量），這是原子核反應(yīng)的守恒定律。下面就質(zhì)量和能量守恒問題進(jìn)行分析。設(shè)有原子核A被p粒子撞擊，變?yōu)锽和q。其核反應(yīng)方程如下：A+p→B+q上列各核和各粒子的靜質(zhì)量M和動能E為反應(yīng)前 反應(yīng)后 根據(jù)總質(zhì)量守恒和總能量守恒可得由此可得反應(yīng)過程中釋放的能量Q為：PpPpPpPbAPq此式表示，反應(yīng)能Q定義為反應(yīng)后粒子的動能超出反應(yīng)前粒子的動能的差值。這也等于反應(yīng)前粒子靜質(zhì)量超過反應(yīng)后粒子的靜質(zhì)量的差值乘以。所以反應(yīng)能Q可以通過粒子動能的測量求出，也可以由已知的粒子的靜質(zhì)量來計算求出。下面來討論怎樣由動能來求出Q。設(shè)A原子核是靜止的。由能量守恒可得根據(jù)反應(yīng)前后動量守恒得式中為反應(yīng)前撞擊粒子的動量，和是反應(yīng)后新生二粒子的動量。上式可改為標(biāo)量

由于，上式可改為從上式求出，代入中得從上式中的質(zhì)量改為質(zhì)量數(shù)之比可得：如果事先測知，再測出和β，即可算得Q。例1已知某放射源在t=0時，包含個原子，此種原子的半衰期為30天．（1）計算時，已發(fā)生衰變的原子數(shù)；（2）確定這種原子只剩下個的時刻。解:衰變系數(shù)λ與半衰期T的關(guān)系為衰變規(guī)律可表述為：。（1）時刻未衰變的原子數(shù)為：已發(fā)生衰變的原子數(shù)便為： （2）時刻未發(fā)生衰變的原子數(shù)為：由此可解得：=399天例2在大氣和有生命的植物中，大約每個碳原子中有一個原子，其半衰期為t=5700年，其余的均為穩(wěn)定的原子。在考古工作中，常常通過測定古物中的含量來推算這一古物年代。如果在實(shí)驗中測出：有一古木碳樣品，在m克的碳原子中，在△t（年）時間內(nèi)有△n個原子發(fā)生衰變。設(shè)燒成木炭的樹是在T年前死亡的，試列出能求出T的有關(guān)方程式（不要求解方程）。解:m克碳中原有的原子數(shù)為，式中為阿伏加德羅常數(shù)。經(jīng)過T年，現(xiàn)存原子數(shù)為 （1）在△T內(nèi)衰變的原子數(shù)為 （2）在（1）、（2）二式中，m、、τ、△T和均為已知，只有n和T為未知的，聯(lián)立二式便可求出T。例3.當(dāng)質(zhì)量為m，速度為的微粒與靜止的氫核碰撞，被氫核捕獲（完全非彈性碰撞）后，速度變?yōu)?；?dāng)這個質(zhì)量為m，速度為的微粒與靜止的碳核做對心完全彈性碰撞時，碰撞后碳核速度為，今測出，已知，求此微粒質(zhì)量m與氫核質(zhì)量之比為多少？解:根據(jù)題意有，即有 （1）又因 （2） （3）由（2）式得 （4）由（3）式得 （5）由（4）、（5）式得 （6）（6）m（4）得 所以。此微粒的質(zhì)量等于氫核的質(zhì)量。運(yùn)動定律§3.1牛頓定律3．1．1、牛頓第一定律任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。這是牛頓第一定律的內(nèi)容。牛頓第一定律是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。物體保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)的性質(zhì)稱為慣性。牛頓第一定律又稱為慣性定律，慣性定律是物體的固有屬性，可用質(zhì)量來量度。無論是靜止還是勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，其速度都是不變的。速度不變的運(yùn)動也就是沒有加速度的運(yùn)動，所以物體如果不受到其他物體的作用，就作沒有加速度的運(yùn)動，牛頓第一定律指出了力是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因。牛頓第一定律只在一類特殊的參照系中成立，此參照系稱為慣性參照系。簡稱慣性系。相對某一慣性系作勻速運(yùn)動的參照系必定也是慣性系，牛頓第一定律不成立的參照系稱為非慣性參照系，簡稱非慣性系，非慣性系相對慣性系必作變速運(yùn)動，地球是較好的慣性系，太陽是精度更高的慣性系。3．1．2．牛頓第二定律(1)定律內(nèi)容：物體的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同(2)數(shù)學(xué)表達(dá)式：(3)理解要點(diǎn)①牛頓第二定律不僅揭示了物體的加速度跟它所受的合外力之間的數(shù)量關(guān)系，而且揭示了加速度方向總與合外力的方向一致的矢量關(guān)系。在應(yīng)用該定律處理物體在二維平面或三維空間中運(yùn)動的問題，往往需要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把它寫成分量形式 ②牛頓第二定律反映了力的瞬時作用規(guī)律。物體的加速度與它所受的合外力是時刻對應(yīng)的，即物體所受合外力不論在大小還是方向上一旦發(fā)生變化，其加速度也一定同時發(fā)生相應(yīng)的變化。F1F2圖3-1-1③F1F2圖3-1-1④牛頓第二定律闡述了物體的質(zhì)量是慣性大小的量度，公式反映了對同—物體，其所受合外跟它的加速度之比值是個常數(shù)，而對不同物體其比值不同，這個比值的大小就是物體的質(zhì)量，它是物體慣性大小量度，當(dāng)合外力不變時，物體加速度跟其質(zhì)量成反比，即質(zhì)量越大，物體加速度越小，運(yùn)動狀態(tài)越難改變，慣性也就越大。⑤牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義了力的基本單位；牛頓（N）。因為，，故，當(dāng)定義使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生加速度的作用力為1N時，即1N=時，k=1。由于力的單位1N的規(guī)定使牛頓第二定律公式中的k=1，由此所產(chǎn)生的單位制即我們最常用的國際單位制。⑥在慣性參考系中，公式中的ma不是一個單獨(dú)的力，更不能稱它是什么“加速力”，它是一個效果力，只是在數(shù)值上等于物體所受的合外力。F圖3-2-1F圖3-2-1如果這個質(zhì)量系在任意的x方向上受的合外力為，質(zhì)點(diǎn)系中的n個物體（質(zhì)量分別為）在x方向上的加速度分別為，那么有這就是質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律。3．1．3、牛頓第三定律（1）定律內(nèi)容：兩個物體之間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，作用在一條直線上。（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式：（3）理解要點(diǎn)①牛頓第三定律揭示了物體相互作用的規(guī)律，自然界中的力的作用都是相互的，任何一個物體既為受力體，則它一定就是施力體。②相互作用力必定是同一性質(zhì)的力，即如果其中一個力是摩擦力，則它的反作用力也一定是摩擦力。③兩個相互作用力要與一對平衡力區(qū)分清楚。④這個相互作用力是指的性質(zhì)力。對于效果力不一定能找到“整體”的反作用力，如有人說向心力的反作用力就是離心力。這是錯誤的，因為向心力往往是由多個力作用是共同效果，其中每個力都有其各自的反作用力，故向心力這個合力就不一定有一個所謂反作用力。3．1．4、關(guān)于參照系的問題（1）慣性參照系：牛頓第一定律實(shí)際上又定義了一種參照系，在這個參照系中觀察，一個不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，這樣的參照系就叫做慣性參照系，簡稱慣性系。由于地球在自轉(zhuǎn)的同時又繞太陽公轉(zhuǎn)，所以嚴(yán)格地講，地面不是一個慣性系。在一般情況下，我們可不考慮地球的轉(zhuǎn)動，且在研究較短時間內(nèi)物體的運(yùn)動，我們可以把地面參照系看作一個足夠精確的慣性系。（2）非慣性參照系：凡牛頓第一定律不成立的參照系統(tǒng)稱為非慣性參性系，一切相對于慣性參照系做加速運(yùn)動的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球轉(zhuǎn)動時，地球就是非慣性系。在非慣性系中，物體運(yùn)動不遵循牛頓第二定律，但在引入“慣性力”的概念以后，就可以利用牛頓第二定律的形式來解決動力學(xué)問題了。（關(guān)于慣性力的應(yīng)用在后邊將到）?！?.2牛頓定律在曲線運(yùn)動中的應(yīng)用3．2．1、物體做曲線運(yùn)動的條件物體做曲線運(yùn)動的條件是，物體的初速度不為零，受到的合外力與初速度不共線，指向曲線的“凹側(cè)”，如圖3-2-1，該時刻物體受到的合外力F與速度的夾角滿足的條件是0o<<180o。3．2．2、圓周運(yùn)動物體做勻速圓周運(yùn)動的條件是，物體受到始終與速度方向垂直，沿半徑指向圓心，大小恒定的力的作用。由牛頓第二定律可知，其大小為。在變速圓周運(yùn)動中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量產(chǎn)生向心加速度。切向分量產(chǎn)生切向加速度。3．2．3、一般曲線運(yùn)動與變速圓周運(yùn)動類似，在一般曲線運(yùn)動中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量的大小為R為曲線在該處的曲率半徑，切向分量的大小為

§3.3慣性力應(yīng)用牛頓定律時，選用的參照系應(yīng)該是慣性系。在非慣性系中，為了能得到形式上與牛頓第二定律一致的動力學(xué)方程，引入慣性力的概念，引入的慣性力必須滿足式中是質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)合力，是質(zhì)點(diǎn)相對非慣性系的加速度。真實(shí)力與參照系的選取無關(guān)，慣性力是虛構(gòu)的力，不是真實(shí)力。慣性力不是自然界中物質(zhì)間的相互作用，因此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內(nèi)，它沒有施力物體，不存在與之對應(yīng)的反作用力．3．3．1．平動加速系統(tǒng)中的慣性力設(shè)平動非慣性系相對于慣性系的加速度為。質(zhì)點(diǎn)相對于慣性系加速度，由相對運(yùn)動知識可知，質(zhì)點(diǎn)相對于平動非慣性系的加速度質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)力對慣性系有對非慣性系得平動非慣性系中，慣性力由非慣性系相對慣性系的加速度及質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量確定，與質(zhì)點(diǎn)的位置及質(zhì)點(diǎn)相對于非慣性系速度無關(guān)。3．3．2、勻速轉(zhuǎn)動系中的慣性力Om圖3—3—1ω如圖3—3—1，圓盤以角速度繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，在圓盤上用長為rOm圖3—3—1ω為轉(zhuǎn)軸向質(zhì)點(diǎn)所引矢量，與轉(zhuǎn)軸垂直，由于這個慣性力的方向沿半徑背離圓心，通常稱為慣性離心力．由此得出：若質(zhì)點(diǎn)靜于勻速轉(zhuǎn)動的非慣性參照系中，則作用于此質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性離心力的合力等于零．慣性離心力的大小，除與轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角速度和質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)外，還與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)（半徑），必須指出的是，如果質(zhì)點(diǎn)相對于勻速轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)在運(yùn)動，則若想在形式上用牛頓第二定律來分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，僅加慣性離心力是不夠的，還須加其他慣性力。如科里奧里力，科里奧利力是以地球這個轉(zhuǎn)動物體為參照系所加入的慣性力，它的水平分量總是指向運(yùn)動的右側(cè)，即指向相對速度的右側(cè)。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。這種長年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損較甚。由于這個過程極為復(fù)雜，涉及微分知識及坐標(biāo)系建立，這里就不進(jìn)一步討論了。3．3．3、用實(shí)驗方法證明在非慣性系中加入慣性力的必要性。圖3－3－2在一列以加速度做直線運(yùn)動的車廂里，有一個質(zhì)量為m的小球，放在光滑的桌面上，如圖3-3-2所示，相對于地面慣性系來觀測，小球保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運(yùn)動定律，相對于非慣性系的車廂來觀測，小球以加速度向后運(yùn)動，而小球沒有受到其它物體對他的力的作用，牛頓運(yùn)動定律不再成立。圖3－3－2不過，車廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力，把牛頓定律寫為。這樣的力不是其它物體的作用，而是參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力．如果一非慣性系以加速度相對慣性系而運(yùn)動，則在此非慣性系里，任一質(zhì)量為m的物體都受到一慣性力，把慣性力計入在內(nèi)，在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律．當(dāng)汽車拐彎做圓周運(yùn)動時，相對于地面出現(xiàn)向心加速度，相對于車廂人感覺向外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應(yīng)是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。ABN圖3-3-3如圖3-3-3，一物塊A放在傾角為的光滑斜面B上，問斜面B必須以多大的加速度運(yùn)動，才能保持AABN圖3-3-3可取B作為參照系，A在此參照系中靜止。因為B是相對地面有加速度的非慣性參照系，所以要加一個慣性力f=ma，方向水平向右，a的大小等于B相對地面的加速度。由受力分析圖可知f=ma=mg∴

§3.4應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律解題的方法和步驟應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律的基本方法是隔離法，再配合正交坐標(biāo)運(yùn)用分量形式求解。解題的基本步驟如下：(1)選取隔離體，即確定研究對象一般在求某力時，就以此力的受力體為研究對象，在求某物體的運(yùn)動情況時，就以此物體為研究對象。有幾個物體相互作用，要求它們之間的相互作用力，則必須將相互作用的物體隔離開來，取其中一物體作研究對象。有時，某些力不能直接用受力體作研究對象求出，這時可以考慮選取施力物體作為研究對象，如求人在變速運(yùn)動的升降機(jī)內(nèi)地板的壓力，因為地板受力較為復(fù)雜，故采用人作為研究對象為好。在選取隔離體時，采用整體法還是隔離法要靈活運(yùn)用。如圖3-4-1要求質(zhì)量分別為M和m的兩物體組成的系統(tǒng)的加速度a，有兩種方法，一種是將兩物體隔離，得方程為mMmM圖3-4-1另—種方法是將整個系統(tǒng)作為研究對象，得方程為顯然，如果只求系統(tǒng)的加速度，則第二種方法好；如果還要求繩的張力，則需采用前一種方法。(2)分析物體受力情況：分析物體受力是解動力學(xué)問題的一個關(guān)鍵，必須牢牢掌握。①一般順序：在一般情況下，分析物體受力的順序是先場力，如重力、電場力等，再彈力，如壓力、張力等，然后是摩擦力。并配合作物體的受力示意圖。大小和方向不受其它力和物體運(yùn)動狀態(tài)影響的力叫主動力，如重力、庫侖力；大小和主向與主動力和物體運(yùn)動狀態(tài)有密切聯(lián)系的力叫被動力或約束力，如支持力、摩擦力。這就決定了分析受力的順序。如物體在地球附近不論是靜止還是加速運(yùn)動，它受的重力總是不變的；放在水平桌面上的物體對桌面的壓力就與它們在豎直方向上有無加速度有關(guān)，而滑動摩擦力總是與壓力成正比。AFXFY圖3-4-2②關(guān)于合力與分力：分析物體受力時，只在合力或兩個分力中取其一，不能同時取而說它受到三個力的作用。一般情況下選取合力，如物體在斜面上受到重力，一般不說它受到下滑力和垂直面的兩個力。在AFXFY圖3-4-2③關(guān)于內(nèi)力與外力：在運(yùn)用牛頓第二定律時，內(nèi)力是不可能對整個物體產(chǎn)生加速度的，選取幾個物體的組合為研究對象時，這幾個物體之間的相互作用力不能列入方程中。要求它們之間的相互作用，必須將它們隔離分析才行，此時內(nèi)力轉(zhuǎn)化成外力。④關(guān)于作用力與反作用力：物體之間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，我們要分清受力體與施力體。在列方程解題時，對一對相互作用力一般采用同一字線表示。在不考慮繩的質(zhì)量時，由同一根繩拉兩個物體的力經(jīng)常作為一對相互作用力處理，經(jīng)過不計摩擦的定滑輪改變了方向后，我們一般仍將繩對兩個物體的拉力當(dāng)作一對相互作用力處理。(3)分析物體運(yùn)動狀態(tài)及其變化①運(yùn)用牛頓定律解題主要是分析物體運(yùn)動的加速度a，加速度是運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)聯(lián)系的紐帶，經(jīng)常遇到的問題是已知物體運(yùn)動情況通過求a而求物體所受的力。圖3－圖3－4－3m1ɑF③要注意物體運(yùn)動的加速度與速度的大小方向的關(guān)系，也要注意兩者大小不一定同時為零，如豎直上拋的最高點(diǎn)，速度為零加速度不為零，在振動的平衡位置速度最大加速度為零；兩者的方向也不一定相同，如加速上升，兩者方向相同，減速上升，兩者方向相反。圖3-4-4④對于由幾個物體組成的連接體的運(yùn)動，要分析各個物體的加速度。各個物體的加速度之間的關(guān)系的求法是：一般假設(shè)各物體初速為零，由公式，再由各物體的位移的比值找出它們加速度之間的關(guān)系來。圖3-4-4如圖3-4-3，顯然有，故有，所以圖3-4-4，故有如圖3-4-5設(shè)，我們以地球為參照物，三者的加速度如圖所示，為了找出三個加速度大小的關(guān)系，我們設(shè)由于和的運(yùn)動，使繩有沿動滑輪邊沿的加速度，根據(jù)有關(guān)的相對運(yùn)動規(guī)律有m1m1m2m3圖3-4-5兩式相減消去得到三個加速度之間的關(guān)系式為⑤若不知加速度a的方向，則可事先假設(shè)加速度的方向，按假設(shè)算出來的加速度若為正，則說明假設(shè)正確；若計算出來的加速度為負(fù)，則不能簡單地認(rèn)為加速度的方向與假設(shè)的方向相反，一般情況下，應(yīng)該換一個方向重新計算，因為運(yùn)動方向不同時，物體所受的力有可能不同，特別是有摩擦力的時候。(4)建立坐標(biāo)系①通常我們采用慣性坐標(biāo)系，一般不加申明就以地球為參照物，有時為了方便，采用非慣性坐標(biāo)系。②坐標(biāo)也有瞬時性，如圓錐擺所建立的坐標(biāo)就是指某一瞬間的。③通常采用直角坐標(biāo)系，對曲線運(yùn)動常用自然坐標(biāo)，即取切向和法向為兩坐標(biāo)軸的方向，切向加速度反映了速度大小的變化，法向加速度反映了速度方向的變化。④選取坐標(biāo)軸，最好能以加速度方向為一軸的方向，這樣可以使方程較為簡潔；如果由于解題需要而兩軸都不與加速度同向，則要注意將加速度依坐標(biāo)分解列入方程。(5)列方程和解方程①根據(jù)物理意義列出方程，對于正交坐標(biāo)，一般是對每一個隔離體列出一組坐標(biāo)數(shù)的方程。②出于解題的需要，一般是方程數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等，若方程數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，則要注意題目的隱含條件，或者用特殊方法可以解出。③不同的題型要注意有不同的解法，有些題目可以一次性的列出方程，有些題目必須走一步看一步，逐步推出結(jié)論。(6)驗算作答①驗算是必不可少的一步，要根據(jù)物理意義和題設(shè)條件剔除多余的根。②為了快速檢驗，可以采用檢驗答案的量綱的方法。③正負(fù)符號在物理問題中有廣泛的應(yīng)用，要特別注意正負(fù)號的物理意義。§3.5力和運(yùn)動的關(guān)系判斷一個物體做什么運(yùn)動，一要看它受到什么外力，二要看它的初速與外力方向的關(guān)系。物體運(yùn)動某時刻的加速度總與該時刻所受的合外力相對應(yīng)，而某時刻的速度沿軌跡切線方向，與該時刻所受的力沒有直接對應(yīng)關(guān)系。(1)物體受平衡力的作用：。當(dāng)時，物體靜止：當(dāng)時，物體以作勻速直線運(yùn)動。(2)物體作直線運(yùn)動：=恒量，恒量，物體作勻變速運(yùn)動。當(dāng)時，作初速為零的勻加速直線運(yùn)動；當(dāng)時，如果與同向，物體作勻加速直線運(yùn)動，如果和反向，物體作勻減速直線運(yùn)動。=變量，=變量，物體將做變加速運(yùn)動。如果方向不變大小變，物體作如有空氣阻力的豎直上拋運(yùn)動；若大小和方向都變，物體的運(yùn)動更要具體分析。(3)物體作曲線運(yùn)動①物體作曲線運(yùn)動的條件：當(dāng)物體所受的合外力的方向與物體運(yùn)動的速度方向不在一條直線上時，物體將作曲線運(yùn)動。在運(yùn)動過程中，物體的速度方向是在曲線某點(diǎn)的切線方向上，合力在切線方向的分量產(chǎn)生切向加速度，它描述速度大小改變的快慢；合力在法線方向（徑向）的分量產(chǎn)生法向加速度，它描述速度方向改變的快慢。②拋物線運(yùn)動：當(dāng)物體所受的合外力大小和方向都不變，而速度與合外力方向不在同一直線上時，物體作軌跡為拋物線的運(yùn)動。如物體只受重力作用的拋體運(yùn)動和帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動。當(dāng)合力與初速的方向垂直時，物體做類平拋運(yùn)動；當(dāng)合力與初速的夾角小于90o時，物體作類下拋運(yùn)動；當(dāng)合力與初速的夾角大于90o時，物體作類上拋運(yùn)動。③圓周運(yùn)動：當(dāng)物體所受的合外力的大小保持不變，而速度與合外力保持垂直，則物體做勻速圓周運(yùn)動。在勻速圓周運(yùn)動中，切向加速度為零，法向加速度即向心加速度，故此時合外力就叫向心力 或m1m1m2m3圖3-5-1做非勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力，一定在法向上有一個分量，這一分量即為向心力；在切向上也有一個分量，這一分量使速度大小有變化。所謂離心力是對作圓周運(yùn)動的物體給提供它的向心力的另一物體的作用力，如果做圓周運(yùn)動的物體的向心力是由兩個或兩個以上的物體共同提供的，則離心力必作用在這兩個或兩個以上的相應(yīng)的物體上，所以，除了只有一個物體提供向心力的情況外，一般不能把離心力說成是向心力的反作用力。當(dāng)合外力提供的向心力小于物體所需的向心力時，物體將遠(yuǎn)離原來的軌道作離心運(yùn)動；當(dāng)合力提供的向心力在某時刻消失時，物體將沿該時刻的速度方向飛出，這些現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)是物體的慣性所致，而不是所謂離心力的作用。在非慣性系中提出的慣性離心力這一虛擬力，也與上述離心力根本不同，決不能混淆。如下是一些實(shí)際應(yīng)用問題：兩個或兩個以上的物體在某一種力（一般是彈力或摩擦力）作用下一起運(yùn)動，叫做聯(lián)接體，解聯(lián)接體的問題一般要用隔離法，即把某一個物體隔離出來進(jìn)行分析，有時聯(lián)接體中的各個物體具有不同的加速度，必須確定它們的加速度之間的關(guān)系。如圖3-5-1所示的裝置，細(xì)繩不可伸長，三個物體的加速度方向如圖所示，那么它們的加速度之間有什么關(guān)系呢？先設(shè)物體不動，那么當(dāng)物體下降時物體將上升；再設(shè)物體不動，當(dāng)物體下降物體將上升。當(dāng)上述兩種運(yùn)動結(jié)合起來，則實(shí)際上物體下降物體下降物體應(yīng)是上升。它們對時間的變化率（即速度）之間也有上述關(guān)聯(lián)，即它們的加速度之間的關(guān)系也同樣是ABABPQK圖3-5-2再如圖3-5-2所示的物體系，由于B球受重力作用，使B球向下做加速運(yùn)動，同時三角形劈A向左做加速運(yùn)動，設(shè)球和劈在原來的K點(diǎn)接觸，經(jīng)過時間之后，球上的K點(diǎn)移動到了P點(diǎn)處，劈上的K點(diǎn)移到了Q點(diǎn)處，顯然△KPQ和劈的剖面三角形是相似的，即∠KQP等于劈的底角θ，因此同樣，任何時刻都有mgNmgNh圖3-5-3如圖3-5-3所示，一個質(zhì)量為m的小球沿著拋物線型的軌道從h米高處由靜止開始滑下，試求小球到達(dá)軌道底部時對軌道的壓力。小球到達(dá)底部時的速度根據(jù)第二講的討論可知，拋物線底部的曲率半徑小球在底部時受到二個力：重力mg和軌道彈力N，因此FmFmmxy圖3-5-4由于繩的張力和方向都在不斷改變，因此兩小球的運(yùn)動是比較復(fù)雜的，我們應(yīng)用兩種手段使復(fù)雜的問題簡化。一是先研究小球在某一方向即F作用的線方向（設(shè)為x方向）上的運(yùn)動：當(dāng)繩與作用線成角時繩上的張力，這個張力使小球產(chǎn)生的在x方向上的加速度為FTFT圖3-5-5可見，無關(guān)，即小球在x方向上做勻加速運(yùn)動（圖3-5-5）二是只考慮小球運(yùn)動的初、末兩個狀態(tài)：設(shè)F的作用點(diǎn)共移動了s距離，則小球在x方向上運(yùn)動了的距離，小球碰撞前在x方向上的速度為在這段過程中，F(xiàn)力做的功為，根據(jù)動能定理應(yīng)該說明的是，因為動能定理是從牛頓第二定律推導(dǎo)出來的，因此只適用于慣性系。雖然相對不同的慣性系，F(xiàn)做功的位移和物體的速度都是不一樣的，但動能定理卻仍然成立。

§3.6萬有引力天體的運(yùn)動3．6．1、萬有引力任何兩個物體間存在一種稱為萬有引力的相互作用力。萬有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用）之一。兩個質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)距離的平方成反比，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，其表示式為式中G稱為萬有引力常量，其值為萬有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)物體的幾何線度不能忽略時，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬有引力的合力便就是兩物體間的萬有引力?？梢宰C明兩個質(zhì)量均勻的球體之間的引力。可以用萬有引力定律計算，只是計算式中的r為兩球心間的距離。質(zhì)量為m的均勻分布的球殼對球殼外任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力，等于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于球心處與該質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，它對球殼內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力則為零。測得的地球表面上物體所受到的重力，是地球?qū)ξ矬w引力的一個分量，由于地球并不嚴(yán)格是個球體，質(zhì)量分布也不均勻，加之地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。萬有引力定律的應(yīng)用①天體表面的重力加速度g：設(shè)天體質(zhì)量為M且均勻分布，天體為圓球體且半徑為R，物體質(zhì)量為m，則故②關(guān)于天體質(zhì)量和平均密度的計算：設(shè)質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的恒星作勻速圓周運(yùn)動的公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)的半徑為r，周期為T，由牛頓定律，恒星對行星的萬有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運(yùn)動的向心力，故有由此可得恒星的質(zhì)量為圖3-6-1設(shè)恒星的球半徑為R圖3-6-1這個公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動的情況。如設(shè)近地人造衛(wèi)星的周期為T，因有，上式就可以寫成這就很容易求出地球的平均密度了。3．6．2、天體的運(yùn)動開普勒根據(jù)前人積累的行星運(yùn)動觀察資料?？偨Y(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動的三定律——開普勒三定律。第一定律：行星圍繞太陽的運(yùn)動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點(diǎn)上。第二定律：行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。下面舉一個例子詳加說明：為用數(shù)學(xué)式子表述第二定律，設(shè)徑矢r在時間內(nèi)掃過的面積為，則面積速度為，由圖3-6-1可知，故面積速度為常量式中v為行星運(yùn)動的線速度，為徑矢r與速度v方向之間的夾角。當(dāng)行星位于橢圓軌道的近日點(diǎn)或遠(yuǎn)日點(diǎn)時，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90o，故第三定律：各行星繞太陽運(yùn)動的周期平方與軌道半長軸立方的比值相同，即開普勒定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動。也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動。當(dāng)半長軸a與半短軸b相等時，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運(yùn)動必為勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力。對于繞地球作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬有引力定律可得根據(jù)地球表面物體重力與引力的關(guān)系R為地球半徑衛(wèi)星速率為對于貼著地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星。這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度利用能量關(guān)系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足稱為第二宇宙速度。下面舉一個例子詳加說明：新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學(xué)者們對該行星進(jìn)行探查時發(fā)現(xiàn)。當(dāng)把試驗用的樣品浸入行星海洋的不同深度時，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，試求這個行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數(shù)為。解1：如圖3-6-2以R表示此星球（包括水層）的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)A到星球中心O的距離，表示除表層海洋外星球內(nèi)層的半徑。則有，且，以表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質(zhì)量為 ①由于，故①式可略去其中h的高次項面是近似寫為 ②根據(jù)均勻球體表面處重力加速度的公式，R0R0RrAOh圖3-6-2依題述有,即整理上式可解得 ③由于，故近似取2Rh-,則③式可寫為 ④由④和②式得此星球表面的重力加速度為 ⑤以G=、、代入⑤式，得解2：設(shè)行星的內(nèi)層（即半徑為的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為的球體視為由一個均勻的水球（密度為、半徑為）和一個密度為半徑為的球疊加而成。則在水球殼層內(nèi)的重力加速度應(yīng)由這兩個球分別產(chǎn)生的加速度疊加而成。如圖3-6-2，對于水球殼層中的任一點(diǎn)A，以表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有由上式可見，隨r的增加而增加，當(dāng)r增加為r+△r時，的增加量為又以表示上述的密度為的球在A點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度，則有由上式可見，隨r的增加而減少，當(dāng)r增加為r+△r時，的增加量（為一負(fù)值，表明其實(shí)際上是減少）為上式演算中利用了近似關(guān)系。由于要求在水層內(nèi)重力加速度g為恒量，即不隨r變化而變化，故應(yīng)有即 近似取r=，乃得則行星內(nèi)層密度為由上可得此行星內(nèi)外兩層分界面處的重力加速度（亦即行星表面處的重力加速度）為運(yùn)動學(xué)§2.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的基本概念圖2-1-12．1．1圖2-1-1要準(zhǔn)確確定質(zhì)點(diǎn)的位置及其變化，必須事先選取另一個假定不動的物體作參照，這個被選的物體叫做參照物。為了定量地描述物體的運(yùn)動需要在參照物上建立坐標(biāo)，構(gòu)成坐標(biāo)系。通常選用直角坐標(biāo)系O–xyz，有時也采用極坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系一般有三種，一種是兩軸沿水平豎直方向，另一是兩軸沿平行與垂直斜面方向，第三是兩軸沿曲線的切線和法線方向（我們常把這種坐標(biāo)稱為自然坐標(biāo)）。2．1．2、位矢位移和路程在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置可用三個坐標(biāo)x，y，z表示，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，它的坐標(biāo)是時間的函數(shù)x=X（t） y=Y（t）z=Z（t）這就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。質(zhì)點(diǎn)的位置也可用從坐標(biāo)原點(diǎn)O指向質(zhì)點(diǎn)P（x、y、z）的有向線段來表示。如圖2-1-1所示,也是描述質(zhì)點(diǎn)在空間中位置的物理量。的長度為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，的方向由余弦、、決定,它們之間滿足當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時,其位矢的大小和方向也隨時間而變,可表示為=(t)。在直角坐標(biāo)系中,設(shè)分別為、、沿方向、、和單位矢量，則可表示為O2圖2-1-2位矢與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，不僅要知道它的位置，還必須知道它的位置的變化情況，如果質(zhì)點(diǎn)從空間一點(diǎn)運(yùn)動到另一點(diǎn)，相應(yīng)的位矢由1變到2，其改變量為稱為質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖2-1-2所示，位移是矢量，它是從初始位置指向終止位置的一個有向線段。它描寫在一定時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置變動的大小和方向。它與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)。2．1．3、速度平均速度質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)通過的位移和所用的時間之比叫做這段時間內(nèi)的平均速度平均速度是矢量，其方向為與的方向相同。平均速度的大小，與所取的時間間隔有關(guān)，因此須指明是哪一段時間（或哪一段位移）的平均速度。瞬時速度當(dāng)為無限小量，即趨于零時，成為t時刻的瞬時速度，簡稱速度瞬時速度是矢量，其方向在軌跡的切線方向。瞬時速度的大小稱為速率。速率是標(biāo)量。2．1．4、加速度平均加速度質(zhì)點(diǎn)在時間內(nèi)，速度變化量為，則與的比值為這段時間內(nèi)的平均加速度平均加速度是矢量，其方向為的方向。瞬時加速度當(dāng)為無限小量，即趨于零時，與的比值稱為此時刻的瞬時加速度，簡稱加速度加速度是矢量，其方向就是當(dāng)趨于零時，速度增量的極限方向。2．1．5、勻變速直線運(yùn)動加速度不隨時間t變化的直線運(yùn)動稱為勻變速直線運(yùn)動。若與同方向，則為勻加速直線運(yùn)動；若與反方向，則為勻減速直線運(yùn)動。勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律為： Ost12t1t2圖2-1-3Ovt圖2-1-4勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律也可以用圖像描述。其位移—Ost12t1t2圖2-1-3Ovt圖2-1-4從(s～t)圖像可得出：(1)任意一段時間內(nèi)的位移。(2)平均速度，在（）的時間內(nèi)的平均速度的大小，是通過圖線上點(diǎn)1、點(diǎn)2的割線的斜率。(3)瞬時速度，圖線上某點(diǎn)的切線的斜率值，等于該時刻的速度值。從s～t圖像可得出：從(v～t)圖像可得出：(1)任意時刻的速度。(2)任意一段時間內(nèi)的位移，時間內(nèi)的位移等于v～t圖線，時刻與橫軸所圍的“面積”。這一結(jié)論對非勻變速直線運(yùn)動同樣成立。(3)加速度，v～t圖線的斜率等于加速度的值。若為非勻變速直線運(yùn)動，則v～t圖線任一點(diǎn)切線的斜率即為該時刻的瞬時加速度的大小?！?.2運(yùn)動的合成與分解相對運(yùn)動2．2．1、運(yùn)動的合成與分解(1)矢量的合成與分解矢量的合成與分解的基本方法是平行四邊形法則，即兩分量構(gòu)成平行四邊形的兩鄰邊，合矢量為該平行四邊形與兩分量共點(diǎn)的對角線。由平行四邊形法則又衍生出三角形法則，多個矢量的合成又可推導(dǎo)出多邊形法則。同一直線上的矢量的合成與分解可以簡化為代數(shù)運(yùn)算，由此，不在同一直線上的矢量的合成與分解一般通過正交分解法進(jìn)行運(yùn)算，即把各個矢量向互相垂直的坐標(biāo)軸投影，先在各軸上進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算之后，再進(jìn)行矢量運(yùn)算。(2)運(yùn)動的合成和分解運(yùn)動的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運(yùn)動的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運(yùn)動的合成與分解的特點(diǎn)主要有：①運(yùn)動的合成與分解總是與力的作用相對應(yīng)的；②各個分運(yùn)動有互不相干的性質(zhì)，即各個方向上的運(yùn)動與其他方向的運(yùn)動存在與否無關(guān)，這與力的獨(dú)立作用原理是對應(yīng)的；③位移等物理量是在一段時間內(nèi)才可完成的，故他們的合成與分解要講究等時性，即各個運(yùn)動要取相同時間內(nèi)的位移；④瞬時速度等物理量是指某一時刻的，故它們的合成分解要講究瞬時性，即必須取同一時刻的速度。兩直線運(yùn)動的合成不一定就是直線運(yùn)動，這一點(diǎn)同學(xué)們可以證明。如：①兩勻速直線運(yùn)動的合成仍為勻速直線運(yùn)動；②兩初速為零（同一時刻）的勻加速直線運(yùn)動的合成仍為初速為零的勻加速直線運(yùn)動；③在同一直線上的一個勻速運(yùn)動和一個初速為零的勻變速運(yùn)動的合運(yùn)動是一個初速不為零的勻變速直線運(yùn)動，如：豎上拋與豎下拋運(yùn)動；④不在同一直線上的一個勻速運(yùn)動與一個初速為零的勻加速直線運(yùn)動的合成是一個曲線運(yùn)動，如：斜拋運(yùn)動。2．2．2、相對運(yùn)動任何物體的運(yùn)動都是相對于一定的參照系而言的，相對于不同的參照系，同一物體的運(yùn)動往往具有不同的特征、不同的運(yùn)動學(xué)量。通常將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對觀察者運(yùn)動的參照系稱為運(yùn)動參照系。物體相對靜止參照系的運(yùn)動稱為絕對運(yùn)動，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對運(yùn)動參照系的運(yùn)動稱為相對運(yùn)動，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度；而運(yùn)動參照系相對靜止參照系的運(yùn)動稱為牽連運(yùn)動，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加速度。絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動、牽連運(yùn)動的速度關(guān)系是：絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。這一結(jié)論對運(yùn)動參照系是相對于靜止參照系作平動還是轉(zhuǎn)動都成立。當(dāng)運(yùn)動參照系相對靜止參照系作平動時，加速度也存在同樣的關(guān)系：當(dāng)運(yùn)動參照系相對靜止參照系作轉(zhuǎn)動時，這一關(guān)系不成立。如果有一輛平板火車正在行駛，速度為（腳標(biāo)“火地”表示火車相對地面，下同）。有一個大膽的駕駛員駕駛著一輛小汽車在火車上行駛，相對火車的速度為，那么很明顯，汽車相對地面的速度為：（注意：和不一定在一條直線上）如果汽車中有一只小狗，以相對汽車為的速度在奔跑，那么小狗相對地面的速度就是從以上二式中可看到，上列相對運(yùn)動的式子要遵守以下幾條原則：①合速度的前腳標(biāo)與第一個分速度的前腳標(biāo)相同。合速度的后腳標(biāo)和最后一個分速度的后腳標(biāo)相同。②前面一個分速度的后腳標(biāo)和相鄰的后面一個分速度的前腳標(biāo)相同。③所有分速度都用矢量合成法相加。④速度的前后腳標(biāo)對調(diào)，改變符號。以上求相對速度的式子也同樣適用于求相對位移和相對加速度。相對運(yùn)動有著非常廣泛的應(yīng)用，許多問題通過它的運(yùn)用可大為簡化，以下舉兩個例子。60o30ovB=20m/svA=10m/s圖2-2-1例如圖2-2-1所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以的初速度拋出A、B兩個質(zhì)點(diǎn)，問1s后A、B相距多遠(yuǎn)？這道題可以取一個初速度為零，當(dāng)A60o30ovB=20m/svA=10m/s圖2-2-1m在空間某一點(diǎn)O，向三維空間的各個方向以相同的速度射出很多個小球，球ts之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個小球之間的距離是多少（假設(shè)ts之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個比較復(fù)雜的問題，要考慮向各個方向射出的小球的情況。但如果我們?nèi)∫粋€在小球射出的同時開始自O(shè)點(diǎn)自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上，球的半徑是，那么離得最遠(yuǎn)的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2。§2.3拋體運(yùn)動2．3．1、曲線運(yùn)動的基本知識PQO1R1O2a1a2b1b2圖2-3-1

軌跡為曲線的運(yùn)動叫曲線運(yùn)動。它一定是一個變速運(yùn)動。圖2-3-1表示一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動，它經(jīng)過P點(diǎn)時，在P點(diǎn)兩旁的軌跡上取PQO1R1O2a1a2b1b2圖2-3-1

AVAVB△V1△VB△V2CVB圖2-3-2質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動的瞬時速度的方向總是沿該點(diǎn)的切線方向。如圖2-3-2所示，質(zhì)點(diǎn)在△t時間內(nèi)沿曲線由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，速度由V變化到VB，則其速度增量為兩者之矢量差，=VB―V，這個速度增量又可分解成兩個分量：在VB上取一段AC等于V，則△V分解成△V和△V，其中△AVAVB△V1△VB△V2CVB圖2-3-2法向加速度a表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時速度方向改變的快慢，其大小為在A點(diǎn)的曲率圓的向心加速度：其方向指向A點(diǎn)的曲率中心。切向加速度表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時速度大小改變的快慢，方向亦沿切線方向，其大小為總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。2．3．2、拋物運(yùn)動是曲線運(yùn)動的一個重要特例物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運(yùn)動在地球表面附近，它的運(yùn)動高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑，則在運(yùn)動過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運(yùn)動是一種加速度恒定的曲線運(yùn)動。根據(jù)運(yùn)動的疊加原理，拋體運(yùn)動可看成是由兩個直線運(yùn)動疊加而成。常用的處理方法是:將拋體運(yùn)動分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動。如圖2-3-3。取拋物軌跡所在平面為平面，拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向為x軸，豎直方向為y軸。則拋體運(yùn)動的規(guī)律為：其軌跡方程為這是開口向下的拋物線方程。在拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上的情況下，飛行時間T，射程R和射高H分別為拋體運(yùn)動具有對稱性，上升時間和下降時間（拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)在同一水平面上）相等（一般地，從某一高度上升到最高點(diǎn)和從最高點(diǎn)下降到同一高度的時間相等）；上升和下降時經(jīng)過同一高度時速度大小相等，速度方向與水平方向的夾角大小相等。下面介紹一種特殊的拋體運(yùn)動——平拋運(yùn)動：質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運(yùn)動叫平拋運(yùn)動。它可以看成水平方向上的勻速運(yùn)動（速度為v0）與豎直方向上的自由落體運(yùn)動的合成。xyOV0gVVxVy圖2-3-4①速度：采用水平豎直方向的直角坐標(biāo)可得：xyOV0gVVxVy圖2-3-4②位移：仍按上述坐標(biāo)就有，。仿上面討論也可得到同樣結(jié)論，當(dāng)時間很長時，平拋運(yùn)動趨近于自由落體運(yùn)動。③加速度：采用水平和豎直方向直角坐標(biāo)系有,，用自然坐標(biāo)進(jìn)行分解，如圖2-3-4其法向加速度為，切向加速度為，θ為速度與水平向方的夾角，將速度在水平與豎直方向的坐標(biāo)系中分解可知：由此可知，其法向加速度和切向加速度分別為： 由上兩式可以看出，隨著時間的推移，法向加速度逐漸變小趨近于零，切向加速度趨近于定值g，這表示越來越接近豎直下拋運(yùn)動。在生活中也很容易看到，平拋物體的遠(yuǎn)處時就接近豎直下落了。運(yùn)動的軌跡方程：ABABCshθ圖2-3-5從方程可以看出，此圖線是拋物線，過原點(diǎn)，且越大，圖線張開程度大，即射程大。根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性，經(jīng)常把斜拋運(yùn)動分解成水平方向勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的豎直上拋運(yùn)動來處理，但有時也可以用其它的分解分法。拋體運(yùn)動另一種常用的分解方法是：分解沿方向的速度為的勻速直線運(yùn)動和沿豎直方向的自由落體運(yùn)動二個分運(yùn)動。如圖2-3-5所示，從A點(diǎn)以的初速度拋出一個小球，在離A點(diǎn)水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC，要求小球能越過B點(diǎn)。問小球以怎樣的角度拋出，才能使最??？將斜拋運(yùn)動看成是方向的勻速直線運(yùn)動和另一個自由落體運(yùn)動的合運(yùn)動，如圖2-3-6所示。ABChABChβDα圖2-3-6 ①④軌跡：由直角坐標(biāo)的位移公式消去時間參數(shù)t便可得到直角坐標(biāo)系中的平拋運(yùn)由①式中第一個等式可得 ②將②式代入①式中第二個等式當(dāng)有極大值1時，即時，有極小值。因為 ，所以 當(dāng)小球越過墻頂時，y方向的位移為零，由②式可得③式代入式①：我們還可用另一種處理方法以AB方向作為x軸（圖2-3-7）這樣一取，小球在x、y方向上做的都是勻變速運(yùn)動了，和g都要正交分解到x、y方向上去。小球運(yùn)動的方程為 ABABCxyg圖2-3-7∴ 當(dāng)最大，即時，，有極小值

§2.4質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動xyxyOPθR圖2-4-12．4．1、質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(1)勻速圓周運(yùn)動 如圖2-4-1所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為R的圓周上運(yùn)動時，它的位置可用角度θ表示（習(xí)慣上以逆時針轉(zhuǎn)角正，順時針轉(zhuǎn)角為負(fù)），轉(zhuǎn)動的快慢用角速度表示：質(zhì)點(diǎn)P的速度方向在圓的切線方向，大小為ω（或v）為常量的圓周運(yùn)動稱為勻速圓周運(yùn)動。這