高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題05解三角形(角平分線問題問題)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題05解三角形（角平分線問題問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2方法一：等面積法 2方法二：內(nèi)角平分線定理 3方法三：角互補(bǔ) 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍角平分線如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，核心技巧1：內(nèi)角平分線定理：或核心技巧2：等面積法(使用頻率最高）核心技巧3：邊與面積的比值：核心技巧4：角互補(bǔ)：在中有：;在中有：二、典型題型方法一：等面積法1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，的角平分線交BC于D，則（

）A． B．2 C． D．2．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.3．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，D是邊AC上的一點(diǎn)，且．(1)若，，求AD；(2)若BD為的角平分線，求面積的最小值．4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，AD是的角平分線，且，求的最小值.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，AD是的角平分線，且AD＝，，求c.方法二：內(nèi)角平分線定理1．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎?，，，，是的角平分線，則．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角所對(duì)的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，則.3．（2023秋·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，的角平分線交于，.

(1)求的取值范圍；(2)已知面積為1，當(dāng)線段最短時(shí)，求實(shí)數(shù).4．（2023春·山東棗莊·高一統(tǒng)考期中）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.5．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┤鐖D，在中，，是角的角平分線，且面積為1.

(1)求的面積；(2)設(shè)，①求的取值范圍；②當(dāng)?shù)拈L度最短時(shí)，求的值.6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．方法三：角互補(bǔ)1．（2023春·高一單元測(cè)試）在中，是的角平分線，且交于.已知，則.2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長的最大值．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)在邊上，，．(1)若是的角平分線，求；(2)若是邊上的中線，且，求．4．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的角平分線且，若，則，的面積為．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的3倍，則（

）A． B． C． D．3．（2022秋·廣西柳州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，為的角平分線，，則的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且．若，則面積的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，AD是△ABC的角平分線，D在BC邊上，，b＝3c，則a的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，的角平分線交于點(diǎn)D．若，則的取值范圍是．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三角形中，角的對(duì)邊分別是，若，角的角平分線交邊于點(diǎn)，且，則邊c的大小為.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，∠A的角平分線與BC邊相交于D．，，則AB邊的長度為．9．（2022·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．若AD為△ABC的角平分線，且，，，則△ABC面積為．10．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c．已知，．(1)求邊b的長；(2)延長BC至D，使得，連接AD．已知為銳角，且它的角平分線與AB交于點(diǎn)E，若外接圓半徑為．求長．11．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別記為，，，若，，從下面條件①②③中任選一個(gè)作為已知條件，完成以下問題：①；②；③．(1)求的面積；(2)若的角平分線與邊交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)使得，求．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．(1)求角C的大??；(2)若∠ACB的角平分線CD交線段AB于點(diǎn)D，且，求△ABC的面積．

專題05解三角形（角平分線問題問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2方法一：等面積法 2方法二：內(nèi)角平分線定理 5方法三：角互補(bǔ) 11三、專項(xiàng)訓(xùn)練 14一、必備秘籍角平分線如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，核心技巧1：內(nèi)角平分線定理：或核心技巧2：等面積法(使用頻率最高）核心技巧3：邊與面積的比值：核心技巧4：角互補(bǔ)：在中有：;在中有：二、典型題型方法一：等面積法1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥校?，，，的角平分線交BC于D，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】在中,由余弦定理得,

則，即，解得，（負(fù)值舍），而AD平分，即，又，故，則，故選：B2．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.（2）如圖，由題意及第（1）問知，，且，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∵，，∴由基本不等式得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴∴，故的面積的最小值為.3．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，D是邊AC上的一點(diǎn)，且．(1)若，，求AD；(2)若BD為的角平分線，求面積的最小值．【答案】(1)1(2)【詳解】（1），由正弦定理得，由，，則，即，解得，由，即得，如圖所示.

由，則，中，由余弦定理，，解得.（2），BD為的角平分線，且，如圖所示，

則有，，則，即，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故面積的最小值為．4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，AD是的角平分線，且，求的最小值.【答案】.【詳解】在中，，AD是的角平分線，且，而，則有，即，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，AD是的角平分線，且AD＝，，求c.【答案】2或3【詳解】∵，則有，，可得

①由余弦定理，可得

②由①②解得，或，所以，或.方法二：內(nèi)角平分線定理1．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎?，，，，是的角平分線，則．【答案】/【詳解】設(shè)，因?yàn)槭墙瞧椒志€，則，又由已知得，同理，∴，解得．故答案為：．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角所對(duì)的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，則.【答案】/【詳解】由題設(shè)，則，又，則，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案為：3．（2023秋·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，的角平分線交于，.

(1)求的取值范圍；(2)已知面積為1，當(dāng)線段最短時(shí)，求實(shí)數(shù).【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設(shè)由角平分線定理，，，由余弦定理，，，所以，化簡(jiǎn)得.因?yàn)椋?；?）由題意，，因此，由余弦定理，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值3，此時(shí).顯然為銳角，由代入中，得，或舍去，由（1）知，此時(shí).4．（2023春·山東棗莊·高一統(tǒng)考期中）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解】（1）因?yàn)橹校?，因?yàn)椋?；?）（i）證明：中，由正弦定理得①，

又②，同理在中，③，④，BD是的角平分線，則，則，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，則，即；（ii）因?yàn)?，故，則由⑤得，則，由以及（i）知，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為.5．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┤鐖D，在中，，是角的角平分線，且面積為1.

(1)求的面積；(2)設(shè)，①求的取值范圍；②當(dāng)?shù)拈L度最短時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）因?yàn)槭墙堑慕瞧椒志€，且所以，即，所以，所以.（2）①設(shè)，，，則，，，（1）知，，，又，即，整理得，又，所以，即，所以的取值范圍為；②由①知，，即，所以，，在中，由余弦定理得，即，又，，設(shè)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，又，解得，所以，所以當(dāng)?shù)拈L度最短時(shí)，.6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所?（2）因?yàn)?，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為.

方法三：角互補(bǔ)1．（2023春·高一單元測(cè)試）在中，是的角平分線，且交于.已知，則.【答案】【詳解】由題意是的角平分線，，由角平分線的性質(zhì)知：，設(shè)，因?yàn)?，則，則,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案為：2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以，又，所以，所以，不妨設(shè)，，則，故，延長至點(diǎn)E，使得，連接，則，又，所以，故，，則，，則，，在中，由余弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故.所以長的最大值為.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)在邊上，，．(1)若是的角平分線，求；(2)若是邊上的中線，且，求．【答案】(1)(2).【詳解】（1）解：點(diǎn)在邊上，，．是的角平分線，在和中，由正弦定理可得，；，，．（2）解：因?yàn)槭沁吷系闹芯€，設(shè)，，，，，，化簡(jiǎn)可得，解得或（舍去），．4．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的角平分線且，若，則，的面積為．【答案】6【詳解】在中，是的角平分線，且，則有：，令，則，在與中，由余弦定理得：，，因此，，得，即有，解得，的面積為.故答案為：；6三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋煽傻?，即，解得，，由余弦定理可得，因此?故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的3倍，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，即，在中，作邊上高，垂足為，則，故選:A.3．（2022秋·廣西柳州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，為的角平分線，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)∵，則即，可得∵，則∴，則故選：B.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且．若，則面積的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．【答案】B【詳解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由題可知，，所以，即，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，AD是△ABC的角平分線，D在BC邊上，，b＝3c，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以由正弦定理化?jiǎn)可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，故，由于A∈（0，π），可得：A＝，因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，D在BC邊上，可得∠BAD＝∠DAC＝，所以由余弦定理可得，因?yàn)閎＝3c，所以CD＝3BD，即，整理可得，所以由余弦定理可得．故選：B．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，的角平分線交于點(diǎn)D．若，則的取值范圍是．【答案】【詳解】對(duì)用正弦定理，可得，設(shè)，，由于為三角形內(nèi)角，則，由可得，，整理得，，對(duì)，由余弦定理，，即，故，即，于是，根據(jù)基本不等式，，即，結(jié)合，解得，即，于是.故答案為：7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三角形中，角的對(duì)邊分別是，若，角的角平分線交邊于點(diǎn)，且，則邊c的大小為.【答案】/【詳解】由可得：，故，所以，由于,故,故由可得：，又，故，聯(lián)立，解得，故，故，故答案為：8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，∠A的角平分線與BC邊相交于D．，，則AB邊的長度為．【答案】2或3/3或2【詳解】由題意得，，，由，可得，所以，又由余弦定理，有，可得，所以，解得，又由，可得或．故答案為：2或39．（2022·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．若AD為△ABC的角平分線，且，，，則△ABC面積為．【答案】/【詳解】因?yàn)?，，所以，由正弦定理邊化角可得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，由余弦定理可得，整理可得，又，所以，整理得，所以，解得?1（舍），所以.故答案為：10．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c．已知，．(1)求邊b的長；(2)延長BC至D，使得，連接AD．已知為銳角，且它的角平分線與AB交于點(diǎn)E，若外接圓半徑為．求長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，所以又因?yàn)椋?，∴，即，∴?）由（1）可知，在中，由正弦定理：，可得：，所以，∵為銳角，∴由可得：即①

因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可求得，求得，代入①可解得?/p>

11．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別記為，，，若，，從下面條件①②③中任選一個(gè)作為已知條件，完成以下問題：①；②；③．(1)求的面積；(2)若的角平分線與邊交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)使得，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①，則，，又．若選②，，則，，，由正弦定理可得：．若選③，由得，且，則，