高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題02直線與平面所成角(線面角)(含探索性問(wèn)題)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題02直線與平面所成角（線面角)（含探索性問(wèn)題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求線面角 2題型二：已知線面角求參數(shù) 5題型三：求線面角最值（范圍） 8三、專項(xiàng)訓(xùn)練 10一、必備秘籍1、斜線在平面上的射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.3、向量法設(shè)直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，直線與平面所成的角為，則，.二、典型題型題型一：求線面角1．（22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)中，平面ABC，，．

(1)證明：平面平面；(2)記的中點(diǎn)為M，過(guò)M的直線分別與直線，交于P，Q，求直線PQ與平面所成角的正弦值．2．（22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，，，，將沿折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)處，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．3．（23·24·柳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.4．（23·24上·南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形是矩形．

(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．5．（23·24上·浙江·一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；(2)求直線和平面所成角的正弦值．題型二：已知線面角求參數(shù)1．（22·23下·撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ABC，，側(cè)面ABFE為正方形，，M為AB的中點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)λ的值．2．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.3．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.4．（22·23·廈門·模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（22·23·萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．6．（22·23下·荊門·模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)已知上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.題型三：求線面角最值（范圍）1．（22·23下·樂(lè)山·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．2．（21·22下·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.3．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．4．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.5．（22·23·?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（22·23下·樂(lè)山·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．2．（23·24上·亳州·階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與C在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）

A． B． C． D．3．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時(shí)的正弦值為（

）

A． B． C． D．4．（22·23上·江西·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值取最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．二、填空題5．（22·23上·廈門·期末）正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為．6．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，H為棱上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則直線CD與平面所成角的正弦值的取值范圍為7．（21·22·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，在正方體中，AB＝3，M是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為.8．（22·23上·寧波·階段練習(xí)）已知圓柱中，點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)、在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為.9．（21·22下·綿陽(yáng)·期末）在正方體中，點(diǎn)Р在側(cè)面(包括邊界)上運(yùn)動(dòng)，滿足記直線與平面所成角為，則的取值范圍是三、解答題10．（21·22下·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.11．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．12．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.13．（22·23·?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.14．（23·24上·沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，且M是的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的余弦值.15．（23·24上·東莞·階段練習(xí)）如圖1，梯形中，，過(guò)分別作，垂均為正方形，且邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)M在棱DG上．(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（23·24上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，，.(1)求證：；(2)若，是線段上的一點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).

專題02直線與平面所成角（線面角)（含探索性問(wèn)題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求線面角 2題型二：已知線面角求參數(shù) 10題型三：求線面角最值（范圍） 19三、專項(xiàng)訓(xùn)練 27一、必備秘籍1、斜線在平面上的射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.3、向量法設(shè)直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，直線與平面所成的角為，則，.二、典型題型題型一：求線面角1．（22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)中，平面ABC，，．

(1)證明：平面平面；(2)記的中點(diǎn)為M，過(guò)M的直線分別與直線，交于P，Q，求直線PQ與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)0【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)D，則AD與平行且相等，可得四邊形為平行四邊形，則有，又，故．又，，，AC，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，故，又因?yàn)?，，，平面，故平面，而平面，故平面平面；?）以A為原點(diǎn)，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則．設(shè)，，則，，由題意知P，M，Q三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，解得，故，，則，故，即平面，故所求線面角的正弦值為0．2．（22·23上·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，，，，將沿折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)處，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，可得，又因?yàn)?，所以，即，又，且平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，即，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，故平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DE，DB所在直線為x軸、y軸，以垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，在直角三角形中，，，則，由（1）知平面，則為平面的法向量，且，設(shè)直線CD與平面所成角的角為，則，故直線CD與平面所成角的余弦值為．

3．（23·24·柳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，則，，∴四邊形為平行四邊形，所以，∵平面，平面，平面；（2）在平面中過(guò)點(diǎn)作于，連接，∵平面平面，平面平面，∴平面，由菱形，，得，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，解得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，綜上，直線與平面所成角的正弦值為.4．（23·24上·南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形是矩形．

(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）分別是中點(diǎn)，連接，則，

平面平面，則平面，四邊形是矩形，，同理有平面，又，平面，故平面平面，又平面，故平面.（2）解法一：在圓錐中，平面，平面則平面平面，平面平面，作于點(diǎn)，連接，則面是在平面上的射影，是直線與平面所成的角，在直角三角形中，，則，平面，則平面，在直角三角形中，，，則，在直角三角形中，，故，即直線與平面所成角的余弦為.解法二：在圓錐中，平面，在直角三角形中，，則，，在直角三角形中，，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)是平面的法向量，則，令得，設(shè)直線與平面所成角為，則，.5．（23·24上·浙江·一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；(2)求直線和平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，連接，則，在中，，所以，因?yàn)?，，平面，且，從而平面，又平面，所以，因?yàn)?，，平面，且，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，所以，又是中點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?/p>

（2）由（1）知，平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則、、、，則，，，由得，，所以，所以，，設(shè)面的法向量為，由得，，取，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為．題型二：已知線面角求參數(shù)1．（22·23下·撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ABC，，側(cè)面ABFE為正方形，，M為AB的中點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)若直線MF與平面DME所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)λ的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)镃D⊥平面ABC，，所以平面ABC，因?yàn)閭?cè)面ABFE為正方形，，所以平面ABC，又平面ABC，所以，因?yàn)?，所以，又平面ABFE，所以平面ABFE，又平面ABFE，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又平面CDM，所以平面CDM，又平面CDM，所以．（2）由（1）可知，，M為AB的中點(diǎn)，所以．取的中點(diǎn)為N，連接MN，則，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面ABC．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則M（0，0，0），，，F(xiàn)（1，0，2），所以，，，設(shè)平面DME的法向量為，由得，取，則，設(shè)直線MF與平面DME所成角為θ，則，由題意可知，，解得（負(fù)值舍去），故實(shí)數(shù)λ的值為．

2．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面為菱形，，，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.

3．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，分別是線段的中點(diǎn)，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.

4．（22·23·廈門·模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)1(2)存在；或【詳解】（1）因?yàn)?，所以不可能為四邊形的?duì)稱軸，則為四邊形的對(duì)稱軸，所以垂直平分，所以．平面平面所以平面．所以到平面的距離．（2）存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．過(guò)作平面，所以兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系

由（1）得平面平面，因?yàn)樗裕O(shè)，，，設(shè)平面的法向量，，所以令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，．所以或，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為或．5．（22·23·萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在圖1中，因?yàn)椋?，，所以，，又，所以，因?yàn)?，，所以，故?/p>

在圖2中，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以；?）由（1）知，，，，平面，平面,所以平面，又平面，所以平面平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，因?yàn)椋矫鍭EB平面BCE，且，所以點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，故，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量．因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或（舍），所以為中點(diǎn)，所以.6．（22·23下·荊門·模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)已知上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所?（2）上存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，且.理由如下：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又平面，平面平面，所以，假設(shè)上存在一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，可取，又，所以，即，解得，此時(shí)；因此上存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，且.題型三：求線面角最值（范圍）1．（22·23下·樂(lè)山·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別取中點(diǎn),則,即平面,連接,因?yàn)?所以,分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知,,,,,則,因?yàn)?，，，易知平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線AP與平面所成角為，則，，所以時(shí)，，即的最大值是．故選：B．2．（21·22下·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)镃是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以（2）由E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是異面直線與所成的角.因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的正切值為，所以，即又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以所以在平面中，過(guò)點(diǎn)A作的平行線即為直線l.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).因?yàn)闉檎切嗡?，從而由已知E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以則，所以，所以，因?yàn)?，所以可設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，又，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的取值范圍為.3．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）證明：如圖，作的中點(diǎn)，連接，，在等腰梯形中，，為，的中點(diǎn)，∴，在正中，為的中點(diǎn)，∴，∵，，，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）解：∵平面，在平面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，，分別為，，，軸正向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，∴為二面角的平面角，即，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則有，即，則可取，又，設(shè)直線與平面所成角為，∴，∵，∴，∴．4．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，.在正六棱柱中，因?yàn)榈酌鏋檎呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面?/p>

又，所以平面平面，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)為Q，連接，.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1，所以，因?yàn)椋?，所?易得，，，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量.連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，所以，所以，，.設(shè)（），所以，則，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?5．（22·23·?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作于，

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，由，，可知，而，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）法1：由（1）知平面，平面，所以，又，所以，所以，，所以，由平面ABCD，所以平面．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，，，所以，，即，得令，得，，所以，顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值，綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為．法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)A到平面的距離也為，由（1），平面，所以，又，所以，所以，所以，所以，由（1），平面，所以，由，在四邊形中，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（22·23下·樂(lè)山·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別取中點(diǎn),則,即平面,連接,因?yàn)?所以,分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知,,,,,則,因?yàn)椋?，，易知平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線AP與平面所成角為，則，，所以時(shí)，，即的最大值是．故選：B．2．（23·24上·亳州·階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與C在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，，，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．

則，∴平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，∴．故選：D．3．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角最大時(shí)的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以AB，AC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)角最大．故選：D．

4．（22·23上·江西·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值取最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則設(shè)平面的法向量為則即令則設(shè)直線與平面所成角為，則當(dāng)時(shí)，最大，故選:D.二、填空題5．（22·23上·廈門·期末）正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為．【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則;；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.故答案為：.6．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，H為棱上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則直線CD與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則、，設(shè)點(diǎn)，其中.則，，因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，，.所以，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故答案為：.7．（21·22·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，在正方體中，AB＝3，M是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，若AM與平面所成的角，則的最大值為.【答案】【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)槠矫?，所以即為AM與平面所成角，即，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.8．（22·23上·寧波·階段練習(xí)）已知圓柱中，點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)、在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【答案】【詳解】取中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)，直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為，即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.故答案為：.9．（21·22下·綿陽(yáng)·期末）在正方體中，點(diǎn)Р在側(cè)面(包括邊界)上運(yùn)動(dòng)，滿足記直線與平面所成角為，則的取值范圍是【答案】【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，由題可設(shè)，則，∴，即，∴點(diǎn)在上，又，，平面的一個(gè)法向量可取，∴，又，∴，，即的取值范圍是.故答案為：.三、解答題10．（21·22下·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)镃是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以（2）由E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是異面直線與所成的角.因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的正切值為，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).因?yàn)闉檎切嗡?，從而由已知E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以則，所以，所以，因?yàn)?，所以可設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，所以直線與平面所成角的取值范圍為.11．（20·21下·渝中·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）證明：如圖，作的中點(diǎn)，連接，，在等腰梯形中，，為，的中點(diǎn)，又平面，∴．（2）解：∵平面，在平面內(nèi)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，，分別為，，，軸正向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，∴為二面角的平面角，即，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則有，即，12．（22·23·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，.在正六棱柱中，因?yàn)榈酌鏋檎呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面?/p>

又，所以平面平面，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)為Q，連接，.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1，所以，因?yàn)椋?，所?易得，，，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量.連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，所以，則，因?yàn)椋?，所以的取值范圍?13．（22·23·海口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作于，

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，由，，可知，而，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）法1：由（1）知平面，平面，所以，又，所以，所以，，所以，由平面ABCD，所以平面．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，，由（1），平面，所以，又，所以，所以，所以，所以，由（1），平面，所以，由，在四邊形中，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．14．（23·24上·沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，且M是的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）∵平面，平面，∴，又四邊形是矩形，則，∵，、平面，∴平面，平面PAD，∴，又M是PD的中點(diǎn)，，則，而，、平面，所以平面；（2）由題易知：兩兩互相垂直，以A為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，故，設(shè)平面MBC法向量為，則，即，令，，則，即，而，則，設(shè)MA與平面MBC所成角為，則，所以.15．（23·24上·東莞·階段練習(xí)）如圖1，梯形中，，過(guò)分別作，垂足分別為，已知，將梯形沿折起，得空間幾何體，如圖2．(1)在圖2中，若，證明：平面．(2)在圖2中，若，在線段上求一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值最大，并求出這個(gè)最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)點(diǎn)與