教案4-不定積分new

PAGEPAGE18第四章不定積分第四章不定積分§4。1不定積分概念微分學(xué)的基本問(wèn)題是:已知一個(gè)函數(shù),求它的導(dǎo)數(shù)。但是,在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中往往還會(huì)遇到與此相反的問(wèn)題：已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原來(lái)的函數(shù),由此產(chǎn)生了積分學(xué)?！胺e分”是“微分”的逆運(yùn)算。原函數(shù)原函數(shù)定義我們?cè)谟懻搶?dǎo)數(shù)的概念時(shí)，解決了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知某物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程隨時(shí)間變化的規(guī)律為,那么，在任意時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的速度為?，F(xiàn)在提出相反的問(wèn)題：已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為，要求該物體運(yùn)動(dòng)的路程隨時(shí)間變化的規(guī)律。顯然，這個(gè)問(wèn)題就是在關(guān)系式中，當(dāng)為已知時(shí)，要求的問(wèn)題.已知曲線上任意點(diǎn)處的切線的斜率為，要求此曲線方程，這個(gè)問(wèn)題就是要根據(jù)關(guān)系式，求出曲線。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，這類問(wèn)題是在關(guān)系式中，當(dāng)函數(shù)已知時(shí)，求出函數(shù)。由此引出原函數(shù)的概念.定義4。1:設(shè)是定義在某區(qū)間I內(nèi)的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)，對(duì)于每一點(diǎn),都有：或則稱函數(shù)為已知函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。例如，由于，所以在內(nèi)，是的一個(gè)原函數(shù)；又因?yàn)?，所以在?nèi)，是的一個(gè)原函數(shù);更進(jìn)一步,對(duì)任意常數(shù)，有，所以在內(nèi)，都是的原函數(shù)。原函數(shù)性質(zhì)(1)如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),則在區(qū)間內(nèi)一定有原函數(shù);（2）若，則對(duì)于任意常數(shù)，都是的原函數(shù).即如果在上有原函數(shù),則它有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)；(3）若和都是的原函數(shù),則，（為任意常數(shù)）。即任意兩個(gè)原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。不定積分不定積分定義定義4。2：若是在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則稱(為任意常數(shù))為在區(qū)間內(nèi)的不定積分,記為，即.其中：-—為積分號(hào)，—-被積函數(shù),——被積表達(dá)式，——積分變量，-—積分常數(shù)。由不定積分的定義可知，計(jì)算一個(gè)函數(shù)的不定積分時(shí),就歸結(jié)為“求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上任意的常數(shù)”即可。例1計(jì)算下列不定積分。（1）； (2）； （3)。解(1)因?yàn)?，所以是的一個(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知:。(2）因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)原函數(shù),由不定積分的定義知。（3）因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)原函數(shù)，由不定積分的定義知。例2求。解：①當(dāng)時(shí),∵，即是的一個(gè)原函數(shù)∴②當(dāng)時(shí)，∵，∴兩式合并，當(dāng)時(shí)，有：.由上述例題可以看出,求不定積分就是求被積函數(shù)的全體原函數(shù),這個(gè)“全體”就體現(xiàn)在任意常數(shù)C上,因此，求不定積分時(shí),積分常數(shù)不能丟。由于“積分”和“微分”互為逆運(yùn)算，故檢驗(yàn)一個(gè)積分結(jié)果是否正確，只須對(duì)積分結(jié)果求導(dǎo)，看他是否等于被積函數(shù)。不定積分性質(zhì)由不定積分的定義，有：性質(zhì)⑴：先積分后微分，兩種互逆運(yùn)算相抵消.；性質(zhì)⑵：先微分后積分,兩種互逆運(yùn)算抵消后，相差常數(shù).或。由此可見(jiàn)，微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.例3利用性質(zhì)求下列不定積分。（1）； （2）。解（1）利用“先積后微,結(jié)果等于被積函數(shù)"得：(2）利用“先微后積，結(jié)果等于被積函數(shù)+”得：此處繪圖圖4-1此處繪圖圖4-1不定積分的圖形是由所表示的無(wú)窮多條積分曲線所組成的“積分曲線簇”。（如圖5—1所示）每一條積分曲線對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)處的切線互相平行。不定積分幾何意義：不定積分表示的一簇積分曲線，而正是積分曲線的切線的斜率.例4求過(guò)點(diǎn)，且其切線的斜率為的曲線方程。解：由得：的曲線簇將代入得:∴為過(guò)點(diǎn)且其切線的斜率為的曲線方程。由圖5-2可以看出：表示無(wú)窮多條拋物線,這些拋物線就構(gòu)成一條關(guān)于的積分曲線簇。簇中每一條曲線對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)處有相同的斜率。故對(duì)應(yīng)處，這簇曲線的切線互相平行，任兩條曲線的縱坐標(biāo)之間相差一個(gè)常數(shù)。故確定一條曲線，其它各曲線便可由沿軸方向上、下移動(dòng)而得到。§4.2基本積分公式基本積分公式（背！)由不定積分的定義，從導(dǎo)數(shù)公式可得到相應(yīng)的積分公式。為了計(jì)算方便,下面列出基本積分公式：（8）；（9）；（10）； （8）；（9）；（10）； （11）；（12）；（13）；（14）。（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；這些基本積分公式是求不定積分時(shí)常用的公式，同學(xué)們必須熟練地掌握！不定積分運(yùn)算法則法則⑴:函數(shù)代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和。；推廣：法則⑵：被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的外面。（）?，F(xiàn)在利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，可以求一些函數(shù)的不定積分。例1計(jì)算下列不定積分：（1）; (2）；(3）； (4）.解（1）；（2）；（3）。(4）。注意：檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)，相等時(shí)結(jié)果是正確的，否則結(jié)果是錯(cuò)誤的。直接積分法所謂直接積分法，就是利用不定積分的基本積分公式和法則，來(lái)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.例2計(jì)算下列不定積分。（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：當(dāng)被積函數(shù)不能直接用公式時(shí)，需先進(jìn)行一些恒等變形或拆分，將其化為積分基本公式的形式，再求積分即可。例3計(jì)算下列不定積分：（1)； （2）；(3)；解(1);（利用三角恒等變形：）（2）。（利用三角函數(shù)降冪公式:）（3）（利用三角函數(shù)降冪公式：)§4。3換元積分法第一類換元法（湊微分法)前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接積分法，但是僅利用基本積分公式和不定積分的性質(zhì)所能計(jì)算的積分是非常有限的。例如計(jì)算不定積分：,這個(gè)積分看上去很簡(jiǎn)單，與基本積分公式相似,但不能用直接積分法。區(qū)別在于中的被積函數(shù)是由復(fù)合而成的。如何求出這類復(fù)合函數(shù)的積分呢?利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推導(dǎo)出計(jì)算不定積分的一種常用方法——湊微分法.先看一例子：例如:求解：上述例題中求積分的方法就是換元法。此法關(guān)鍵：被積函數(shù)具有形式，設(shè)法將其湊成的形式。故此類換元法又稱為“湊微分法”。定理：設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)且可導(dǎo)，則。湊微分法的名稱來(lái)源于把被積函數(shù)分為復(fù)合函數(shù)與中間變量的導(dǎo)數(shù)兩部分，再把湊成。第一類換元法常做如下描述：例1求解:例2求解：由上述例題看出,第一類換元法關(guān)鍵是:如何將湊成微分注:熟練以后，可以省去分析過(guò)程和設(shè)新變量的過(guò)程,而可以直接“湊”成基本公式形式,求出最后結(jié)果即可。例3計(jì)算下列不定積分（直接湊微分）（1）； （2);（3）；(4)。解：當(dāng)運(yùn)算熟練之后，可以不寫出中間變量，直接計(jì)算。（1)(2）(3)（4)。例4計(jì)算不定積分解法一：解法二：解法三：此題三個(gè)結(jié)果均為的原函數(shù)。注:檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否,只要把結(jié)果求導(dǎo),如果倒數(shù)等于被積函數(shù)，則說(shuō)明結(jié)果正確！說(shuō)明同一道不定積分題可出現(xiàn)不同結(jié)果。例5計(jì)算不定積分(1）；（2）解：(1）；=（2）注：①當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)乘積時(shí)，一般拆開(kāi)“奇次項(xiàng)”去湊微分;②當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)偶數(shù)次冪時(shí)，常用半角公式通過(guò)降冪的方式來(lái)計(jì)算。有些積分，需要先將被積函數(shù)進(jìn)行“恒等變形”，然后再用“湊微分”法求積分。例6計(jì)算下列不定積分：（1）； （2）。解（1)；(2）由此例題得兩公式如下:；。例7求解：由此例題得公式如下：湊微分法在積分學(xué)中是經(jīng)常用的，這種方法的特點(diǎn)是“湊微分”，要掌握這種方法,需要熟記一些函數(shù)的微分公式，為了做題方便，下面列出一些常用的湊微分格式:(1）（為常數(shù)，且）;(2）； (3）；（4）； （5）;（6）； (7）；（8）; （9）；（10）； （11）;（12）;（12）。例8計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1）；（2）；（3）(4）(用到“誘導(dǎo)公式”：名稱變余函數(shù)，符號(hào)看象限）補(bǔ)充積分公式⒈；⒈；⒉；⒊；⒋；⒌；⒍；7.；8.。例9計(jì)算下列不定積分（利用補(bǔ)充公式直接求解）（1）； （2）（3)解:（1）；(2)；（3)第二類換元法第二類換元法中，是“引入新變量，將表示為的一個(gè)連續(xù)函數(shù)”，從而簡(jiǎn)化積分計(jì)算的。例8求。解：積分中含有根式,無(wú)法用湊微分法,故用第二類換元法。令,則。于是。注意當(dāng)被積函數(shù)中含有根式時(shí)，通常作變量代換消去根式，便于計(jì)算。第二類換元法常做如下描述：例1求。解:令,即，則。于是例2求解：令，即，則:，有:§4。4分部積分法應(yīng)用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則可推出分部積分法.分部積分法設(shè)，都是的可導(dǎo)函數(shù)，由乘積的微分法則，有：移項(xiàng)：兩邊積分:即：定理：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則。分部積分公式用法此公式作用：在于把求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的問(wèn)題,即：較之容易求得。分部積分法常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分，如被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等）的乘積,三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積等。例1求。解被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，用分部積分法。設(shè),于是若選取，則.于是（結(jié)果比原積分還難求解，不可取）所以，在使用分部積分法時(shí)要特別注意和的選取,關(guān)鍵是：恰當(dāng)?shù)剡x取和。選取和原則:①要容易求得，②且使比易積出。例2求。解被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，用分部積分法。設(shè)，則。于是小結(jié)：①當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積或冪函數(shù)與三角函