2024-2025學年江西省高二數(shù)學上學期10月考試卷附答案解析

-2025學年江西省高二數(shù)學上學期10月考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最小的是（）A. B.C. D.2.已知圓經(jīng)過點，則圓在點P處的切線方程為（）A. B.C. D.3.若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.4.若點在圓C：的外部，則m的取值可能為（）A.5 B.1 C. D.5.已知，，過點的直線l與線段（含端點）有交點，則直線l的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.6.點關(guān)于直線對稱的點的坐標為（）A.B.C. D.7.已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.8.已知P是圓C：上一動點，若直線l：上存在兩點A，B，使得能成立，則線段的長度的最小值是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.已知，，，且四邊形是平行四邊形，則（）A.直線的方程為B.是直線的一個方向向量C.D.四邊形面積為310.若直線與曲線恰有一個交點，則k值可能為（）A.0 B. C.2 D.11.已知，，P是圓O：上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點B且被圓O截得最短弦長的直線方程為B.直線與圓O總有兩個交點C.過點A作兩條互相垂直的直線，交圓O于點E，G和F，H，則四邊形的面積的最小值為97D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知O為坐標原點，是橢圓M：（）的右焦點，過點F且與M的長軸垂直的直線交M于C，D兩點.若為直角三角形，則M的長軸長為___________.13.已知，直線l：，過點A作l的垂線，垂足為B，則點B到x軸的距離的最小值為______.14.在某城市中，F(xiàn)地位于E地正南方向，相距2km；Q地位于E地的正東方向，相距1km.現(xiàn)有一條沿湖小徑（曲線），其上任意一點到E和F的距離之和為4km.現(xiàn)計劃在該小徑上選擇一個合適的點P建造一個觀景臺，經(jīng)測算從P到F，Q兩地修建觀景步道的費用都是5萬元/km，則修建兩條觀景步道的總費用最低是___________萬元.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l：.（1）若l在兩坐標軸上截距相反，求a的值；（2）若直線m：，且，求l與m間的距離.16.已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，P為C上一點.（1）若，點P的坐標為，求橢圓C的標準方程；（2）若，的面積為4，求b的值.17.已知圓M與y軸相切，其圓心在x軸的負半軸上，且圓M被直線截得的弦長為.（1）求圓M的標準方程；（2）若過點的直線l與圓M相切，求直線l的方程.18.已知A，B分別是橢圓C：（）的上、下頂點，M是橢圓C上一動點.（1）若直線，的斜率之積為，且橢圓C的短軸長為，求橢圓C的方程；（2）若P是圓上一動點，且，求橢圓C的離心率的取值范圍，19.定義：M是圓C上一動點，N是圓C外一點，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點”；若G同時是圓E和圓F的“黃金點”，則稱G為圓“”的“鉆石點”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點”（1）求點P所在曲線的方程.（2）已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點”.（ⅰ）求直線方程.（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點，對于任意的實數(shù)k，在y軸上是否存在一點W，使得y軸平分？若存在，求出點W的坐標；若不存在，請說明理由.高二數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最小的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與直線傾斜角之間的關(guān)系求解.【詳解】由傾斜角的范圍，可知斜率為正時傾斜角小于斜率為負時的傾斜角，故排除AC，B中直線斜率為，D中直線斜率為，由正切函數(shù)的單調(diào)性及知，的傾斜角最小.故選：D2.已知圓經(jīng)過點，則圓在點P處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求的值,然后求圓心坐標，接著求圓心與點連線的斜率，最后求圓在點處的切線方程.【詳解】因為圓經(jīng)過點，將點代入圓的方程可得：.即，所以，則圓的方程為.對于圓，其圓心坐標為，所以此圓的圓心.：根據(jù)斜率公式，這里，，則.因為圓的切線與圓心和切點連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因為切線過點，根據(jù)點斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.3.若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓標準方程的形式求解即可.【詳解】因為方程表示橢圓，所以，解得，選D.4.若點在圓C：的外部，則m的取值可能為（）A.5 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點在圓外及方程表示圓求出的范圍得解.【詳解】因為點在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項可知，m取值可以為.故選：C5.已知，，過點的直線l與線段（含端點）有交點，則直線l的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線，的斜率后，結(jié)合圖象得到斜率的取值范圍.【詳解】，，由圖象可知：直線l的斜率的取值范圍為.故選：B.6.點關(guān)于直線對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩對稱點的中點在直線上，對稱點連線與直線垂直列出方程組得解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線對稱的點的坐標為，則，解得，故選：A7.已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系及橢圓的定義可判斷P點軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：和：的圓心、半徑分別為，由可知圓內(nèi)含于圓內(nèi)，設(shè)動圓半徑為,由題意，，,兩式相加可得,故P點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，所以，所以橢圓方程為.故選：C8.已知P是圓C：上一動點，若直線l：上存在兩點A，B，使得能成立，則線段的長度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何的思路得到當以為直徑的圓與圓外切，且圓心連線與垂直時，線段長度最小，然后求即可.【詳解】由圓得圓心,半徑.因為直線上存在兩點，使得恒成立，則以為直徑的圓與圓有交點，當長度最小時，兩圓外切，且兩圓圓心所在直線與垂直，如圖，因為圓心到直線距離，所以故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.已知，，，且四邊形是平行四邊形，則（）A.直線的方程為B.是直線的一個方向向量C.D.四邊形的面積為3【答案】ABD【解析】【分析】由四邊形是平行四邊形，得到，結(jié)合向量的坐標公式可得到的坐標，從而計算直線的斜率，寫出直線的點斜式方程，從而判斷A；由方向向量和斜率的關(guān)系可判斷B；由兩點間的距離公式可判斷C；利用點到直線的距離公式得到邊上的高，由平行四邊形的面積公式可判斷D.【詳解】設(shè)，由四邊形是平行四邊形，可得，即，解得：，所以，，直線的方程為，即，故A正確；，所以是直線的一個方向向量，故B正確；，故C錯誤；到直線的距離，所以四邊形的面積為，故D正確.故選：ABD.10.若直線與曲線恰有一個交點，則k的值可能為（）A.0 B. C.2 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點及曲線為半圓，作出圖象，求出切線、割線對應(yīng)斜率，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】直線恒過定點，由可得，如圖，由解得或（舍去），即,由，可得由圖可知，或時，直線與半圓恰有1個交點.故選：BD11.已知，，P是圓O：上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點B且被圓O截得最短弦長的直線方程為B.直線與圓O總有兩個交點C.過點A作兩條互相垂直的直線，交圓O于點E，G和F，H，則四邊形的面積的最小值為97D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷A，根據(jù)直線系過定點且在圓內(nèi)判斷B，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求弦長，再由均值不等式及四邊形面積判斷C，根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為求三角形外接圓半徑的最小值，再由圓的性質(zhì)知內(nèi)切時外接圓半徑最小即可得解.【詳解】如圖，因為，圓O：，所以在圓內(nèi)，當弦與垂直時，所截得的弦長最短，此時最短弦所在的直線方程為，A正確；由直線可得，故直線恒過點，由知點在圓內(nèi)，所以直線與圓O總有兩個交點，B正確；記點O到直線的距離分別為，則，又，，所以，即,則四邊形的面積，即四邊形的面積的最大值，C錯誤；當點P在軸上時，，當點P不在軸上時，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，由正弦定理得，則，當外接圓的半徑最小，即外接圓與圓O內(nèi)切時，最大，由題意在的中垂線上，可設(shè)其坐標為，則，因為圓M與圓O內(nèi)切，所以圓心距等于半徑之差，則，化簡后可得，即的最小值為，此時最大，最大值為，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于靈活運用圓的相關(guān)性質(zhì)，特別是弦心距、半弦長、半徑之間的關(guān)系，問題注意轉(zhuǎn)化為外接圓半徑最值問題，再由兩圓的位置關(guān)系即可求出最小值，本題屬于難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知O為坐標原點，是橢圓M：（）的右焦點，過點F且與M的長軸垂直的直線交M于C，D兩點.若為直角三角形，則M的長軸長為___________.【答案】##【解析】【分析】由通徑的求法得出，再由為直角三角形得出，建立方程求出即可得解.【詳解】因為當時，代入橢圓方程可得，所以，不妨設(shè)在第一象限，則，因為為直角三角形，由橢圓的對稱性知，，所以，故，即，可得，解得或（舍去），所以橢圓M的長軸長為.故答案為：13.已知，直線l：，過點A作l的垂線，垂足為B，則點B到x軸的距離的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】由直線系方程求出定點，再由題意得出B點軌跡為圓，利用圓的幾何性質(zhì)可得圓上點到軸距離的最小值.【詳解】由可得，由解得，即直線過定點，連接，則中點，因為，所以B在以為圓心，半徑為的圓上，如圖，圓的方程為，則圓心到軸的距離，所以點B到x軸的距離的最小值為.故答案為：14.在某城市中，F(xiàn)地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正東方向，相距1km.現(xiàn)有一條沿湖小徑（曲線），其上任意一點到E和F的距離之和為4km.現(xiàn)計劃在該小徑上選擇一個合適的點P建造一個觀景臺，經(jīng)測算從P到F，Q兩地修建觀景步道的費用都是5萬元/km，則修建兩條觀景步道的總費用最低是___________萬元.【答案】15【解析】【分析】由題意求出點的軌跡方程，再根據(jù)橢圓的定義化簡費用關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合可知在處有最小值.【詳解】以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立如圖所示的直角坐標系.設(shè)Р為沿湖小徑上的任意一點，則，根據(jù)橢圓的定義可知，點P的軌跡為橢圓.所以，則點P的軌跡方程為，由題意，修建兩條觀景步道的總費用為，由圖形可知，當三點共線且在之間時，即運動到處時，總費用最低，最低為.故答案為：15【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于建立平面直角坐標系，利用橢圓定義得到動點的軌跡方程，再由數(shù)形結(jié)合，得出三點共線時，動點的位置，屬于較難題目.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l：.（1）若l在兩坐標軸上的截距相反，求a的值；（2）若直線m：，且，求l與m間的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出截距，利用截距和為0得解；（2）根據(jù)平行得出直線方程，再由平行線間距離公式求解.【小問1詳解】令，則，令，則，所以，解得【小問2詳解】因為，所以，解得，則的方程為，即，則l與m間的距離.16.已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，P為C上一點.（1）若，點P的坐標為，求橢圓C的標準方程；（2）若，的面積為4，求b的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知可求出，點坐標可代入橢圓方程求出，進而求出；（2）得到橢圓標準方程根據(jù)，利用三角形面積公式和橢圓定義以及勾股定理來求解的值.【小問1詳解】已知，因為，所以.點在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，即，解得.又因為，，，所以.所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】因為，所以的面積，則.根據(jù)橢圓定義，.由勾股定理可得.又，即.在橢圓中有，將變形為，即，解得.17.已知圓M與y軸相切，其圓心在x軸的負半軸上，且圓M被直線截得的弦長為.（1）求圓M的標準方程；（2）若過點的直線l與圓M相切，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)弦長及圓的幾何性質(zhì)求出圓心半徑得解；（2）分類討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點到直線距離等于半徑得解.【小問1詳解】因為圓心在軸的負半軸上，所以設(shè)圓：又圓與軸相切，所以，即.圓心到直線的距離為,所以，解得，則.故圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓心為，因為，所以點在圓外，過圓外一點作圓的切線，其切線有2條.①當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，即，則圓心M到的距離，解得，此時的方程為.②當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線的方程為，圓心到直線的距離為2，所以直線與圓M相切.綜上，的方程為或.18.已知A，B分別是橢圓C：（）的上、下頂點，M是橢圓C上一動點.（1）若直線，的斜率之積為，且橢圓C的短軸長為，求橢圓C的方程；（2）若P是圓上一動點，且，求橢圓C的離心率的取值范圍，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線，的斜率之積，利用短軸長，求出即可得出橢圓的標準方程；（2）求出，利用可得，分類討論求，建立不等式求解即可.【小問1詳解】易知，設(shè)點，則，即，直線的斜率之積，又橢圓C的短軸長為，即，所以，故橢圓C的方程為【小問2詳解】圓可化為，則圓心為，半徑為，由是圓上一動點，且，可得，如圖，設(shè)，則，所以，當，即時，，即，符合題意，由，可得，即；當即時，，即，化簡得，所以，這與矛盾，不符合題意.綜上，橢圓C的離心率的范圍為19.定義：M是圓C上一動點，N是圓C外一點，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點”；若G同時是圓E和圓F的“黃金點”，則稱G