專題02圓的方程及位置關系（考點清單知識導圖+3考點清單+10題型解讀）（學生版） 2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題02圓的方程及位置關系【清單01】圓的方程一、圓的標準方程1.圓的基本要素：圓心和半徑2.圓的標準方程一般地，如果平面直角坐標系中⊙C的圓心為C（a，b），半徑為r（r>0），設M（x，y）為平面直角坐標系中任意一點，則點M在⊙C上的充要條件是CM=r，即（x（x?a）2+（y?b）二、圓的一般方程1.當D2＋E2－4F＞0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).當D2＋E2－4F=0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).3.當D2＋E2－4F<0時,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形.【清單02】點與圓的位置關系一．由圓的標準方程判斷點與圓位置關系圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設所給點為M(x0，y0)，則位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上│MA│＝r?點M在圓A上點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內(nèi)│MA│<r?點M在圓A內(nèi)點M(x0，y0)在圓內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點在圓外│MA│>r?點M在圓A外點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2二．由圓的一般方程判斷點與圓位置關系已知M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置關系如下表：位置關系代數(shù)關系點在圓上x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0點在圓內(nèi)x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0點在圓外x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0判斷二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓要"兩看"：一看方程是否具備圓的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；二看它能否表示圓．此時判斷D2＋E2-4AF是否大于0，或直接配方變形，判斷等號右邊是否為大于零的常數(shù).【清單03】直線與圓的位置關系及切線一．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0圖形二．圓的切線(1)過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.三.切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).注意：過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關系，以便確定切線的條數(shù)．四．圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【清單04】圓與圓的位置關系及切線、弦長一.圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種，分別為:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。二.圓與圓位置關系的判定1.幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)2.代數(shù)法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?內(nèi)切或外切；,Δ＜0?內(nèi)含或外離Ｗ.))注意：涉及兩圓相切時，沒特別說明，務必要分內(nèi)切和外切兩種情況進行討論．注意：1.圓與圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內(nèi)含；2.圓與圓相交，兩圓有兩個公共點；3.圓與圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內(nèi)切和外切.三.兩圓的公切線兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.兩圓的公切線有如圖所示的五種情況：位置關系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含圖示????公切線條數(shù)432101.外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；2.外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；3.相交時，有2條公切線，都是外公切線；4.內(nèi)切時，有1條公切線；5.內(nèi)含時，無公切線.四．兩圓相交時公共弦所在直線的方程：圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：1.將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；2.兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2)．【考點題型一】圓的方程及解法方法總結：1.已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入，2.一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法:步驟如下:(1)根據(jù)題意設出圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(2)根據(jù)已知條件，列出關于a，b，r的方程組;(3)求出a，b，r的值，代入所設方程中即可另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程【例1】（23-24高二上·吉林長春·期中）圓心在x軸上，并且過點A?1,3和BA．x+42+C．x?22+【變式1-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）與兩坐標軸都相切，且圓心在直線2x?y【變式1-2】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知△ABC的頂點為A0，2，B6，4(1)求邊AC的垂直平分線的一般式方程；(2)求△ABC【變式1-3】（23-24高二上·江西·階段練習）若圓x2+yA．-9 B．-8C．9 D．8【變式1-4】（22-23高二上·江蘇南通·期中）已知圓M：x2A．?3,1 B．?3,?1C．3,1 D．3,?1【考點題型二】圓的一般方程方法總結：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件方程表示的圖形D2＋E2－4F＞0圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)的圓D2＋E2－4F=0表示點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F<0不表示任何圖形【例2】（23-24高二上·浙江舟山·階段練習）若a∈?2,?1,0,1A．1 B．2C．3 D．4【變式2-1】（22-23高二上·江蘇蘇州·期中）曲線x2+y【變式2-2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）若方程x2A．m<?1 B．C．m>?1 D．【變式2-3】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知拋物線y=x2?4x+3與x軸交于A,B（其中點B在點A的右邊），與(1)求圓M的方程；(2)經(jīng)過點B的直線l與圓M的另一個交點為P，若PB=AC，求直線【變式2-4】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）若圓C的方程為x2+yA．36π5 B．C．125π5【考點題型三】點與圓的位置關系方法總結：位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上│MA│＝r?點M在圓A上點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內(nèi)│MA│<r?點M在圓A內(nèi)點M(x0，y0)在圓內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點在圓外│MA│>r?點M在圓A外點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2【例3】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）圓(x?1)2+(A．3 B．5C．7 D．9【變式3-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）若點P(a,b)A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定【變式3-2】（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）點P3,a關于直線x+y?A．4 B．6C．8 D．10【變式3-3】（多選）（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知圓M：x2A．點4,0在圓M外 B．圓M的半徑為5C．直線x+y=0截圓M的弦長為3 【變式3-4】（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓C：x?3A．圓C過定點 B．點0,0在圓C外C．直線4x?3y?3=0平分圓周 D．存在實數(shù)【考點題型四】直線與圓的位置關系方法總結：直線與圓的位置關系的判斷方法若給出圖形，可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計算量小，代數(shù)法可一同求出交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當?shù)倪x擇.【例4】（23-24高二上·江蘇淮安·期中）已知點P(m,n)在圓OA．相交 B．相切C．相離 D．無法確定【變式4-1】（23-24高二上·江蘇南京·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知點A3,0，動點Px,y滿足PAPOA．外離 B．外切C．相交 D．內(nèi)切【變式4-2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）直線ax+y?A．相交 B．相切C．相離 D．三種關系均存在【變式4-3】（23-24高二上·江蘇·期中）若直線l:kx?y?2=0A．43,2 C．?2,43∪【變式4-4】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）直線y=?x+1A．0 B．1C．2 D．3【考點題型五】圓的切線方法總結：求過某一點的圓的切線方程(1)點(x0，y①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為-1k②)如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y=y0或x=(2)點(x0，y①設切線方程為y-y0=k(x-x②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x=xo，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況【例5】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓C:x2+y2+2x?2A．1 B．2C．3 D．4【變式5-1】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知圓C:x2+y2?2A．5 B．7C．3 D．4【變式5-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）圓x+12+y?2【變式5-3】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）問題：平面直角坐標系xOy中，圓C過點A（6，0），且___________.（在以下三個條件中任選一個，補充在橫線上.）①圓心C在直線l:2x?7y+8=0上，圓C過點B（1，5）；②圓C過點B(1,5)和D(5,?1)(1)求圓C的標準方程；(2)求過點A的圓C的切線方程.【變式5-4】（23-24高二上·江蘇常州·期中）如圖，已知圓O：x2+y2=1，點P

(1)已知t=1(2)直線MN是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.【考點題型六】直線與圓相交弦長問題方法總結：含參直線注意不要忽略斜率不存在的情況【例6】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）過點0,2引直線l與圓x2+y2=2A．±33 C．±1 D．±【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線l:mx+(1)試判斷直線l與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若直線l與圓O交于A,B兩點，分別過A,B的圓【變式6-2】（多選）（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知圓M:(x+1)2+(y+1)2=4，直線l:x+yA．四邊形MAPB面積的最小值為4B．線段AB的最小值為2C．當直線AB的方程為x+y=0D．若動直線l1//l，l1且交圓M于C、D兩點，且弦長CD【變式6-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知半徑為4的圓C與直線l1：3(1)求圓C的方程；(2)已知直線l2：kx?y+3=0與圓C相交于A，B兩點，當【變式6-4】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知A是圓C1:x2+(y?6【考點題型七】圓與圓的位置關系方法總結：判斷圓與圓的位置關系的兩種方法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程組成二元二次方程組，消元化成一元二次方程，通過方程根的判別式，應用此法時要注意當?=0或?<0時，兩圓相切或相離，均又包含兩種情況，因此，應用此法比較繁瑣（2）幾何法:應用此法判斷圓與圓的位置關系的步驟:①將兩圓的方程化為標準方程;②求兩圓的圓心坐標和半徑r1，r③求兩圓的圓心距d;④比較d與|r1-r2|，|r【例7】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）若圓C1:(x?A．4,6 B．4,6C．?6,?4∪4,6 【變式7-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）設集合M=x,yx2+A．0,2?1 C．0,2?2 D．【變式7-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知圓O1：x2+y2=1，圓【變式7-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知圓C1：x2+y2?2x?6y=0，圓A．20 B．－20C．10 D．－10【變式7-4】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知圓C:x2+y(1)若P為圓C上的動點，當∠PAO最大時，求直線PA(2)若圓M過點O及點A，且與圓C外切，求圓M的方程.【考點題型八】圓的公切線與相交弦方法總結：兩圓的公切線有如圖所示的五種情況：位置關系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含圖示????公切線條數(shù)432101.外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；2.外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；3.相交時，有2條公切線，都是外公切線；4.內(nèi)切時，有1條公切線；5.內(nèi)含時，無公切線.【例8】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）若圓x2+y2=1與圓xA．?3 B．3C．3或?3 D．5【變式8-1】（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）若圓C1:x2+A．1 B．121C．36 D．126【變式8-2】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知過點A1,3的圓C:x?a(1)求圓C的標準方程；(2)求過點1,0且被圓C截得的弦長為3的直線l的斜率k.【變式8-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓C的圓心在直線y=x(1)求圓C的方程；(2)已知直線l經(jīng)過0,3，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．【變式8-4】（23-24高二上·江蘇南通·期中）在下列所給的兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.①與直線3x+4y+2=0平行；問題：已知直線l過點P1,?2(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓x2+y2=5相交于點P【考點題型九】與圓相關的最值問題【例9】（21-22高二下·江蘇南通·期中）已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點P在圓x2A．3 B．4C．5 D．6【變式9-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知點P為圓A:(x?4)2+y2=4A．6 B．7C．8 D．9【變式9-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知點P是直線l:4x+3y+7=0A．1 B．2C．3 D．2【變式9-3】（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）圓C1:x2+y2A．AB的直線方程為2B．公共弦AB的長為2C．線段AB的垂直平分線方程為xD．圓C1上的點與圓C2【變式9-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）設點P是函數(shù)y=??x2+2x+3圖象上任意一點，點Q的坐標2a,a?3a∈R，當PQ取得最小值時圓C：【考點題型十】軌跡方程方法總結：求軌跡方程的常見方法①直接法:將動點滿足的(與斜率、距離、數(shù)量積等有關的，或由平面幾何知識推出的)等量關