專題06等差數(shù)列的概念與前n項和（考點清單知識導圖+2考點清單+9題型解讀）（學生版） 2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題06等差數(shù)列的概念與前n項和【清單01】等差數(shù)列的定義與前n項和一.等差數(shù)列的定義1.文字語言：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2.符號語言：若an－an－1＝d(n≥2)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列二.等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.遞推公式通項公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)三.等差中項如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．這三個數(shù)滿足的關(guān)系式是A＝eq\f(a＋b,2).四.等差數(shù)列的證明1.定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；2.等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．五.等差數(shù)列的性質(zhì)1.通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．3.若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．4.若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．【清單02】等差數(shù)列的前n項和一.數(shù)列的前n項和對于數(shù)列{an}，一般地稱a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.二．等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式SSn=n三．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和：1.數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．2.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)①若項數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若項數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).3.兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).【考點題型一】等差數(shù)列基本量的計算方法總結(jié)：等差數(shù)列的基本運算：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【例1】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，3aA．78 B．100 C．116 D．120【變式1-1】（23-24高二上·江蘇南京·期中）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【變式1-2】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）等差數(shù)列an中，若2a3A．36 B．24 C．18 D．9【變式1-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知an為等差數(shù)列，a2=8，a【變式1-4】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）在等差數(shù)列an中，若a8=6,a11【考點題型二】等差數(shù)列的通項公式方法總結(jié)：等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．(3)通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自變量為n的一次函數(shù)．【例2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知an為等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足：a1+b1=2A．n22n?1 B．n C．【變式2-1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數(shù)列An的首項為2，公差為8，在An中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列an，數(shù)列an【變式2-2】（23-24高二上·江蘇·期中）寫出一個具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列an的通項公式an=．①2【變式2-3】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）設(shè)等差數(shù)列an,(1)求a3(2)若a1+a【變式2-4】（22-23高二上·江蘇常州·期中）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an(1)求a1，a(2)求數(shù)列an【考點題型三】等差數(shù)列的前n項和方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項和的方法:1.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和。如果一個數(shù)列an2.用公式法求數(shù)列的前n項和(等差數(shù)列公式求和公式:Sn=n(a對等差數(shù)列，求前n項和Sn3、用裂項相消法求數(shù)列的前n項和。裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。4、用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項和。所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項和?！纠?】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=2，Sn【變式3-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）在等差數(shù)列an中，S4=21，an?3【變式3-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n(1)證明：數(shù)列bn(2)當a7=4，b15=5時，求數(shù)列bn【變式3-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，an(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=4Sn【變式3-4】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）在等差數(shù)列{an}中，已知a(1)求{a(2)求數(shù)列{an}的前n【考點題型四】等差數(shù)列的證明方法總結(jié)：判斷等差數(shù)列的方法1.定義法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.2.等差中項法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?數(shù)列{an}為等差數(shù)列．3.通項公式法數(shù)列{an}的通項公式形如an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列．【例4】（22-23高二下·重慶榮昌·階段練習）已知數(shù)列an滿足an+1(1)求a2(2)證明：數(shù)列1an?2【變式4-1】（20-21高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2anan（1）求證：數(shù)列{1an（2）解關(guān)于n的不等式：22【變式4-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n(1)證明：數(shù)列bn(2)當a7=4，b15=5時，求數(shù)列bn【變式4-3】（20-21高二上·江蘇常州·期中）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足對任意n∈（1）求證：數(shù)列an（2）若bn=(?1)n2【變式4-4】（19-20高二上·江蘇徐州·期中）已知等差數(shù)列an前n項和為Sn，且S2（1）求數(shù)列an（2）若bn=S【考點題型五】等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)方法總結(jié)：等差數(shù)列的前n項和常用的性質(zhì)：1.等差數(shù)列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…組成公差為k2d的等差數(shù)列；2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列；3.若S奇表示奇數(shù)項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，公差為d；①當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)【例5】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，S5A．12 B．1 C．2 【變式5-1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn,Tn，A．3765 B．1119 C．919【變式5-2】（23-24高二上·江蘇南京·期中）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【變式5-3】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a2A．36 B．45 C．54 D．63【變式5-4】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）已知等差數(shù)列an，S3=7，S6【考點題型六】等差數(shù)列前n項和最值方法總結(jié)：1.項的符號法(鄰項變號法)：①當a1>0，d<0時，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當a1<0，d>0時，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.2.二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項和的最值，但要注意n∈N*.3.圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取得最值．【例6】（多選）（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數(shù)列an的公差d<0，且a12=a132，an前nA．6 B．7 C．12 D．13【變式6-1】（多選）（20-21高二下·遼寧大連·期中）等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a15>0，A．a(chǎn)1>0 B．d<0C．前15項和S15最大 D．從第32項開始，S【變式6-2】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且an+1=an+d(1)數(shù)列an(2)Sn【變式6-3】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知在等差數(shù)列an中，a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列an的前n項和Sn，則當n為何值時【變式6-4】（21-22高二上·江蘇淮安·期中）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，(1)求數(shù)列an(2)求Sn的最大值及相應的n【考點題型七】等差數(shù)列函絕對值的前n項和【例7】（23-24高二上·江蘇南京·期中）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a2(1)求an(2)當n為何值時，Sn【變式7-1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)若cn=an，求cn【變式7-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，且a7(1)求數(shù)列an的通項公式與前n項和S(2)若bn=an且數(shù)列bn的前n【變式7-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）已知等差數(shù)列an，前nn∈N?(1)求數(shù)列an的通項公式a(2)設(shè)bn=9?an，求數(shù)列b【變式7-4】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知正項數(shù)列an的前n項和記為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=1+4Sn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，定義x為不超過x的最大整數(shù)，例如0.1【考點題型八】恒成立問題【例8】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2nA．6 B．7 C．8 D．9【變式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知an是正項數(shù)列，其前n項的和為Sn，且滿足2Sn=an【變式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差數(shù)列an滿足：a1=2(1)求數(shù)列an(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，求正整數(shù)n的范圍，使得【變式8-3】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足：a1(1)求數(shù)列an的通項公式a(2)設(shè)bn=an+22n(3)設(shè)數(shù)列cn的通項公式為cn=anan+t?，問:是否存在正整數(shù)【變式8-4】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項和Sn(1)求數(shù)列an(2)若不等式2n2?n?3<【考點題型九】等差數(shù)列中的其他問題【例題9】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差為d，且Sn單調(diào)遞增，若aA．0,53 B．0,107 C．【變式9-1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列3n+1與數(shù)列4n?1，其中n