專題06等差數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖+2考點(diǎn)清單+9題型解讀）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題06等差數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和【清單01】等差數(shù)列的定義與前n項(xiàng)和一.等差數(shù)列的定義1.文字語言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2.符號語言：若an－an－1＝d(n≥2)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列二.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.遞推公式通項(xiàng)公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)三.等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式是A＝eq\f(a＋b,2).四.等差數(shù)列的證明1.定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；2.等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．五.等差數(shù)列的性質(zhì)1.通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．3.若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．4.若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．【清單02】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一.數(shù)列的前n項(xiàng)和對于數(shù)列{an}，一般地稱a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式SSn=n三．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和：1.數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．2.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).3.兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).【考點(diǎn)題型一】等差數(shù)列基本量的計(jì)算方法總結(jié)：等差數(shù)列的基本運(yùn)算：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【例1】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，3aA．78 B．100 C．116 D．120【變式1-1】（23-24高二上·江蘇南京·期中）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【變式1-2】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）等差數(shù)列an中，若2a3A．36 B．24 C．18 D．9【變式1-3】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知an為等差數(shù)列，a2=8，a【變式1-4】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）在等差數(shù)列an中，若a8=6,a11【考點(diǎn)題型二】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式方法總結(jié)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差即可．(2)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個(gè)參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．(3)通項(xiàng)公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，可把a(bǔ)n看作自變量為n的一次函數(shù)．【例2】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知an為等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足：a1+b1=2A．n22n?1 B．n C．【變式2-1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數(shù)列An的首項(xiàng)為2，公差為8，在An中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列an，數(shù)列an【變式2-2】（23-24高二上·江蘇·期中）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=．①2【變式2-3】（21-22高二上·江蘇鹽城·期中）設(shè)等差數(shù)列an,(1)求a3(2)若a1+a【變式2-4】（22-23高二上·江蘇常州·期中）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an(1)求a1，a(2)求數(shù)列an【考點(diǎn)題型三】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法:1.用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和。如果一個(gè)數(shù)列an2.用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和(等差數(shù)列公式求和公式:Sn=n(a對等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn3、用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和。裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。4、用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項(xiàng)和。所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。【例3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，Sn【變式3-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）在等差數(shù)列an中，S4=21，an?3【變式3-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n(1)證明：數(shù)列bn(2)當(dāng)a7=4，b15=5時(shí)，求數(shù)列bn【變式3-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=4Sn【變式3-4】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）在等差數(shù)列{an}中，已知a(1)求{a(2)求數(shù)列{an}的前n【考點(diǎn)題型四】等差數(shù)列的證明方法總結(jié)：判斷等差數(shù)列的方法1.定義法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.2.等差中項(xiàng)法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?數(shù)列{an}為等差數(shù)列．3.通項(xiàng)公式法數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式形如an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列．【例4】（22-23高二下·重慶榮昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1(1)求a2(2)證明：數(shù)列1an?2【變式4-1】（20-21高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2anan（1）求證：數(shù)列{1an（2）解關(guān)于n的不等式：22【變式4-2】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n(1)證明：數(shù)列bn(2)當(dāng)a7=4，b15=5時(shí)，求數(shù)列bn【變式4-3】（20-21高二上·江蘇常州·期中）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足對任意n∈（1）求證：數(shù)列an（2）若bn=(?1)n2【變式4-4】（19-20高二上·江蘇徐州·期中）已知等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且S2（1）求數(shù)列an（2）若bn=S【考點(diǎn)題型五】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)方法總結(jié)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和常用的性質(zhì)：1.等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…組成公差為k2d的等差數(shù)列；2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列；3.若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d；①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)【例5】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，S5A．12 B．1 C．2 【變式5-1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn，A．3765 B．1119 C．919【變式5-2】（23-24高二上·江蘇南京·期中）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【變式5-3】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2A．36 B．45 C．54 D．63【變式5-4】（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）已知等差數(shù)列an，S3=7，S6【考點(diǎn)題型六】等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值方法總結(jié)：1.項(xiàng)的符號法(鄰項(xiàng)變號法)：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.2.二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意n∈N*.3.圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取得最值．【例6】（多選）（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數(shù)列an的公差d<0，且a12=a132，an前nA．6 B．7 C．12 D．13【變式6-1】（多選）（20-21高二下·遼寧大連·期中）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a15>0，A．a(chǎn)1>0 B．d<0C．前15項(xiàng)和S15最大 D．從第32項(xiàng)開始，S【變式6-2】（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且an+1=an+d(1)數(shù)列an(2)Sn【變式6-3】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知在等差數(shù)列an中，a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則當(dāng)n為何值時(shí)【變式6-4】（21-22高二上·江蘇淮安·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an(2)求Sn的最大值及相應(yīng)的n【考點(diǎn)題型七】等差數(shù)列函絕對值的前n項(xiàng)和【例7】（23-24高二上·江蘇南京·期中）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a2(1)求an(2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn【變式7-1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若cn=an，求cn【變式7-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a7(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S(2)若bn=an且數(shù)列bn的前n【變式7-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）已知等差數(shù)列an，前nn∈N?(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)設(shè)bn=9?an，求數(shù)列b【變式7-4】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=1+4Sn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，定義x為不超過x的最大整數(shù)，例如0.1【考點(diǎn)題型八】恒成立問題【例8】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2nA．6 B．7 C．8 D．9【變式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知an是正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn，且滿足2Sn=an【變式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差數(shù)列an滿足：a1=2(1)求數(shù)列an(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求正整數(shù)n的范圍，使得【變式8-3】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)設(shè)bn=an+22n(3)設(shè)數(shù)列cn的通項(xiàng)公式為cn=anan+t?，問:是否存在正整數(shù)【變式8-4】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(1)求數(shù)列an(2)若不等式2n2?n?3<【考點(diǎn)題型九】等差數(shù)列中的其他問題【例題9】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，且Sn單調(diào)遞增，若aA．0,53 B．0,107 C．【變式9-1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列3n+1與數(shù)列4n?1，其中n