2024春新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3.3第1課時(shí)距離問(wèn)題分層演練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE6.4平面對(duì)量的應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離,測(cè)量者在A的同側(cè),在河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是100m,∠BAC=60°,∠ACB=30°,則A,B兩點(diǎn)的距離為 ()A.40m B.50m C.60m D.70m解析:如圖所示,由題意可知,△ABC是直角三角形,AB=12AC,所以AB=50m答案:B2.要干脆測(cè)量河岸之間的距離(河的兩岸可視為平行),由于受地理?xiàng)l件和測(cè)量工具的限制,可采納如下方法:如圖所示,在河的一岸邊選取A,B兩點(diǎn),視察對(duì)岸的點(diǎn)C,測(cè)得∠CAB=45°,∠CBA=75°,且AB=120m,由此可得河寬為(精確到1m)()A.170mB.98mC.95mD.86m解析:在△ABC中,AB=120m,∠CAB=45°,∠CBA=75°,則∠ACB=60°.由正弦定理,得BC=120sin45°sin60°=40設(shè)在△ABC中,AB邊上的高為h,則h即為河寬,所以h=BC·sin∠CBA=406×sin75°≈95(m).答案:C3.已知A,B,C三地,其中A,C兩地被一個(gè)湖隔開(kāi),A,B在湖的同側(cè),若測(cè)得AB=3km,B=45°,C=30°,則A,C兩地的距離為32km.解析:依據(jù)題意,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,代入數(shù)值得3sin30°=ACsin454.一船以15km/h的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B位于北偏東60°方向,行駛4h后,船到達(dá)C處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°,這時(shí)船與燈塔間的距離為302km.解析:如圖所示,在△ABC中,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,∠ACB=105°,所以∠ABC=45°.依據(jù)正弦定理,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=60sin305.如圖所示,一架飛機(jī)從A地飛到B地,兩地相距700km.飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層,從機(jī)場(chǎng)起飛后,就沿與原來(lái)的飛行方向成21°角的方向飛行,飛行到中途,再沿與原來(lái)的飛行方向成35°夾角的方向接著飛行直到終點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)路程遠(yuǎn)了多少?解:在△ABC中,AB=700km,∠ACB=180°-21°-35°=124°.依據(jù)正弦定理,得700sin124°=ACsin35所以AC=700·sin35°sin124°AC+BC=700·sin35°sin124°+700·sin21°所以飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)路程遠(yuǎn)了86.89km.B級(jí)實(shí)力提升6.已知船A在燈塔C北偏東85°,且到C的距離為2km,船B在燈塔C北偏西65°,且到C的距離為3km,則A,B兩船的距離為()A.23km B.32kmC.15km D.13km解析:據(jù)圖可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°,AC=2km,BC=3km,所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°=13,所以AB=13km.答案:D7.甲船在湖中B島的正南A處,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同時(shí)乙船從B島動(dòng)身,以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?則行駛15min時(shí),兩船的距離是 ()A.7km B.13kmC.19km D.10-解析:如示意圖所示.由題意知AM=8×1560=2(km),BN=12×1560=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理,得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×（-12）=13,所以MN=答案:B8.一條船以24km/h的速度向正北方向航行,在點(diǎn)A處望見(jiàn)燈塔S在船的北偏東30°方向上,15min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)燈塔在船的北偏東65°方向上,則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是5.2km.(精確到0.1km)解析:作出示意圖如圖.由題意知AB=24×1560=6(km),∠ASB=35°由正弦定理,知6sin35°=解得BS≈5.2(km).9.如圖所示,某炮兵陣地位于地面A處,兩視察所分別位于地面點(diǎn)C和D處,已知CD=6000m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD=30°,∠BDC=15°.求炮兵陣地到目標(biāo)的距離AB.(結(jié)果保留根號(hào))解:在△ACD中,∠CAD=60°,AD=CD·sin45°在△BCD中,∠CBD=135°,BD=CD·sin30°在Rt△ABD中,AB=AD2+BD2=C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題一只船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距燈塔68nmile的M處