上海期中解答題50題（提升版）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試滿(mǎn)分全攻略（滬教版）教師版

上海期中解答題精選50題(提升版)

能力提升

1.(2021?上海靜安區(qū)?九年級(jí)期中)已知：如圖，在梯形ABCO中，AD//BC,NB=9O。,

E是4c的中點(diǎn)，OE的延長(zhǎng)線交邊8c于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形4月8是平行四邊形；

(2)如果=4ZZBC,求證四邊形AFC3是菱形.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可知ZO4E=/FCE,ZADE=ZCFE.再由E是AC中點(diǎn),

即』后值即可以利用“44S"證明"EZ涇ACEF,得出AT)=CA即證明四邊形AFC。是平行

四邊形.

ApAry

(2)由和E是AC中點(diǎn)，即可推出三=二二.又因?yàn)镹/ME=NFCE,即證明

CBAC

Z^ADE^CAB,即可推出OF1AC.即四邊形是菱形.

【詳解】(1)VAD//BC,

：.ZDAE=ZFCE9ZADE=ZCFE.

又丁E是AC中點(diǎn),

HCE,

[ZADE=ZCFE

：.在△AED和MEF中\(zhòng)NDAE=NFCE,

(AE=CE

：.^AED^CEF(AAS),

:.AD=CF,

???四邊形AFC。是平行四邊形.

(2)VAD//BC,

：.ZDAE=ZFCE.

'：2AE2=ADBC,

：.AEAC=ADBC,

.AEAD

…詬一就‘

ZA￡D=ZABC=90°,即￡>r_LAC.

四邊形AFCD是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)

以及相似三角形的判定和性質(zhì).掌握特殊四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)。、E分別在的邊54、C4的延長(zhǎng)線

上，豆DEHBC,AE=^AC,F為AC的中點(diǎn).

（1）設(shè)京<，試用/+解的形式表示4%,而；（X、N為實(shí)數(shù)）

（2）作出而在防、B"上的分向量.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，寫(xiě)出結(jié)論）

【答案】（1）AB=-?+^,麗=；￡+；&（2）作圖見(jiàn)詳解.

【分析】⑴由DE〃BC得到△EDAs/\CBA,由AE=；AC,得到ED=；BC,所以Eli=BC,根據(jù)

222

向量加減法法則即可得到XS，ED;

（2）作DF〃AB交BC于G,由平行線分線段成比例性質(zhì)可知，而在5X，肥上的分向量

——1_

【詳解】（1）,?干為AC的中點(diǎn)，AC=S,AF=FC=-i,

AB=AF+FB=—=-tz+—

22

AB=AF+FB=-h-a=-a+—h

22

BC=BF+FC=^+-fe

2

VDE//BC

.,.△EDA^ACBA

VAE=yAC,ED/BC

—1—1<-11-1-

ED=-BC=-a+—b\=~a+-b

2212J24

(2)作圖如下：作GF〃AB交BC于G,

,?下為AC中點(diǎn)，

，G為BC中點(diǎn)，F(xiàn)G=^AB,

而在隘上的分向量加=；正，

__1-

Bp在玩上的分向量BG.BC

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量與作圖問(wèn)題，掌握向量的運(yùn)算的法則，會(huì)用矢量的加法進(jìn)行求解,

掌握向量作圖的方法是解題關(guān)鍵

3.（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）已知：如圖，在AA8C中，點(diǎn)。、G分別在邊AB、BC

上，ZACD=AB,AG與CD相交于點(diǎn)F.

(1)求證：AC2=ADAB;

/c、4A。DF4、

⑵^AC=CG'求證：CG=DFBG.

【分析】（1）證明△ACDS/\ABC,得出對(duì)應(yīng)邊成比例AC：AB=AD：AC,即可得出結(jié)論;

2）由相似三角形的性質(zhì)得出NADF=/ACG,由已知證出△ADFs/\ACG,得出NDAF=NCAF,AG

是NBAC的平分線，由角平分線得出A警r=笑CCi，再證△AFCs^AGB,得A失C=C蕓F，證出CG=CF,

ABBGABBG

貝嗤嘴,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：VZACD=ZB,NCAD二NBAC,

AAACD^AABC,

AAC：AB=AD：AC,

.\AC2=AD-AB；

（2）證明：VAACD^AABC,

???NADF=NACG,

ADDF

?~AC~~CG"

AAADF^AACG,

ZDAF=ZCAF,

即NBAG二NCAG,

XVZACD=ZB,

/.△AFC^AAGB,

.AC-CF

\\B~~BG"

VZCFG=ZCAG+ZACD,ZCGF=ZBAG+ZB,

JZCFG=ZCGF,

ACG=CF,

.ACCG

「/八-ACAD

由⑴得：益=就

DFCG

"~CG~~BG

??,CG2=DF?BG.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)；熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）如圖，已知AC〃8D,A8和CD相交于點(diǎn)E,AC=6,

BD=4,F是8C上一點(diǎn)，BEF-SAEFC=2:3.

（1）求取的長(zhǎng);

(2)如果ABEF的面積為4,求AABC的面積.

【答案】⑴2.4；(2)25.

【分析】(1)由。馬曲="?叱"CF=2:3推T的CF=2:3,AC//BOWAACE^A

CECF3

BDE,推得一=一=",可證△CEFs/\CDB,由性質(zhì)得NCEF=ND,證得EF〃DB,由AC〃EF,

DEBF2

堆山日1e

推出一=—BC二5二即可；

EFBF2

S4

(2)由(1)得AC〃EF,可證△BEFS^BAC,由性質(zhì)得黃里=玄，把Sz加代入計(jì)算即可.

'ABAC”

【詳解】(1)V5AB￡F:SA￡FC=2:3,設(shè)三角形BC邊上的高為h,

S△詆：5A￡fC=；h-BF:；/?CF=2:3,

BF:CF=2:3,

AC//BD,

AZA-ZEBD,NACE=NEDB,

JAACE^ABDE,

.CE_AE_AC_6_3

"DE-BE-BD-4-2)

.CECF3

"DE-BF~2,

.CE_CF_3

*，CD-BC-51

VZECF=ZDCB,

AACEF^ACDB,

AZCEF=ZD,

AEF//DB,

???AC〃EF〃DB,

.ACBC5

??EFBF2

VAC=6,

.?2AC12c,

??EF=---=—=2.4；

55

(2)由(1)得AC〃EF,AC=6,EF=2.4,

AABEF^ABAC,

22

SABFFEF2.44

?,f7E7一京一方

：ABE尸的面積為4,

DB

【點(diǎn)睛】本題考查面積比，平行線的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握同高面枳

比等于底的比，平行線的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)用它們解決問(wèn)題是關(guān)鍵.

5.（2020?上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校）如圖，D、E是的邊AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、G分

別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足==DFHBC,EG!/AC.

（1）求證：四邊形FDBG是平行四邊形；

（2）聯(lián)結(jié)。G,設(shè)通=￡,CG=b，請(qǐng)用向量入B表示向量DG.

BG1___1一

【答案】（1）—=（2）DG=2a+-b

BGJ2

AFRG

【分析】（1）由AD二DE二EB,DF/7BC,EG〃AC,根據(jù)平行線分線段成比例定理，易得曝=黑，

ACBC

則可判定FG〃AB,即可證明平行四邊形；

（2）由DF〃BC,FG〃AB,根據(jù)（1）中線段的關(guān)系及向量的解法即可求得答案.

【詳解】（1）證明：：4）=DE=EB,

.ADBE1

..---=---=—:

ABAB3

DF//BC,EG//AC,

,AFAD\BGBE1

??---=---——，---=---=一，

ACAB3BCAB3

.AFBG

：.FG//AB

又〈DFHBC

???四邊形五。8G是平行四邊形.

（2）*.?喬=￡,CG=b，

___一3-

?**AC=3a?CB=^b,

__,_,_3_

AB=AC+CB^a+-bf

___9__.

即：DB=-AB=2a+b；

故：DGDB—BG=2a+b——b=2a+—b.

22

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行線分線段成比例定理.此題難度適中，注意掌

握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.（2020?上海市位育初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知4J///8M/4=/5=90°,34,

點(diǎn)隰射線4吐的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)〃與點(diǎn)力不重合），點(diǎn)￡是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)西點(diǎn)4、環(huán)

重合），連接效過(guò)點(diǎn)留乍外的垂線，交射線8吁點(diǎn)4連接〃C.設(shè)BC=y.

（1）當(dāng)47=1時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域；

（2）在（1）的條件下，取線段〃C的中點(diǎn)尸，連接/若母'=2.5,求/珊長(zhǎng)；

（3）如果動(dòng)點(diǎn)。、選運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終滿(mǎn)足條件4分班'=48,那么請(qǐng)?zhí)骄浚骸髑坏闹荛L(zhǎng)是否隨著

動(dòng)點(diǎn)以￡的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）尸-V+4x（0Vx<4）；（2）］￡=2；（3）△仇㈤的周長(zhǎng)不變，值為8.

【分析】（1）花叢AE"/\BCE,得出其對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而可得出x與血關(guān)系式；

（2）可過(guò)，點(diǎn)作加.外于"，求出比的值，即加值，進(jìn)而可求解曲值；

（3）46◎的周長(zhǎng)為一定值，由于題中滿(mǎn)足條件加以^=力8&/\AEM/\BCE,由于相似三角

形的周長(zhǎng)比即為其對(duì)應(yīng)邊的比，所以可得其周長(zhǎng)不變.

【詳解】解：（1）由題中條件可得△力如△比瓦

.ADAE

'?瓦一正

'：AE=x,BC=y,4?=4,AD=\

:.BE=4-x,

1X

-----——，

4-xy

-V+4x(0VxV4)；

(2)9：DELEC,

???N，T=90°,

又YDF=FC,

???〃。=2成=2X2.5=5,

過(guò)D點(diǎn)、作DH1B吁H,貝1)如=力夕=4,

ARtAZW^,HC=^DC--DH2==3,

."C=M￡=1+3=4,即y=4,

/.-f+4x=4

解得：生=也=2,

?"￡=2；

(3)的周長(zhǎng)不變.理由如下：

C^AED=AE+DE^Al)=4+x,BE=4-x、

設(shè)AD=m,則龐=4-m,

VZy4=9O°,

.??加=力r+力。即，(4-/7/)2=/+/

,16—X?

.?加=-----,

8

由(1)知：△比區(qū)

16-x2

?e?CxADE_A。_8_4+X

°ABCEBE4—X8

QQ

CA\RKCEF=-4---+---x---CWM)EF--4--+--x--(44-X)=8

???△應(yīng)踴J周長(zhǎng)不變.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及勾股定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用，能夠熟練掌握

相似三角形的性質(zhì)并加以運(yùn)用.

7.（2020?上海市曹楊二中附屬江橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知AABC中，點(diǎn)F在邊A8

2

上，且4尸=.43,過(guò)A作AG//BC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G：

（1）設(shè)A8=a,/=B,試用向量1和B表示市5；

（2）在圖中求作向量而與通的和向量.（不要求寫(xiě)作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向

量）

【答案】⑴=（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）證AAGFSABCT"得契=某=[,即AG=^CB,由而=?而=。（通-/）可得答案;

￡>CDP3j33

（2）延長(zhǎng)C8到E,使3E=AG,連接4E,則荏=而+而.

2

【詳解】解：（1）-AG//BC,AF=~AB.

AF2

MGFsgCF,--=—,

BF3

,AGAF2日2"力

??-----=------=-LUnAG=-CB

BCBF3f3f

AG=-CB=-（AB-AC）=-a--h.

3333

（2）如圖所示，

AE=BE+AB=AG+AB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及向量的運(yùn)算、作圖，熟練掌握向量的基本

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?上海市位育初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，建筑物BC上有一個(gè)旗桿A8,小明和數(shù)

學(xué)興趣小組的同學(xué)計(jì)劃用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度，他們制訂了測(cè)量方案，并利用課

余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹(shù)E￡）,小明

沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)尸、樹(shù)頂E、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地

面上的點(diǎn)G、樹(shù)頂￡、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿4?=3米，￡)￡=4米，DF=5

米，F(xiàn)G=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)C、D、F、G在一條直線上，AC,ED均垂直

于CG,根據(jù)以上信息，請(qǐng)求出這座建筑物的高BC.

【答案】這座建筑物的高BC為14米

【分析】根據(jù)兩組相似三角形尸和ABCGSAEDG,利用對(duì)應(yīng)邊成比例，列出CD

和BC的關(guān)系式，然后解方程求出BC的長(zhǎng).

【詳解】解：由題意可得NACF=NE￡>F=90°,NAFC=NEFD,

AACF0°A￡DF,

.AC_CF

t~ED=~DFf

3+BCCD+5

n即n丁=k'

由題意可得，/BCG=NEDG=9(f,ZBGC=ZEGD,

:.M3CGs.DG,

.BCCG

,~ED~~DG'

HnBCCD+5+1.5

45+1.5

.?.6.58C=4(CO+6.5),

5_____RC,_5

.?.6.58C=4x二+26,

4

/.BC=14,

???這座建筑物的高BC為14米.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列

式求邊長(zhǎng).

9.(2020?上海浦東新?九年級(jí)期中)如圖，傀平行四邊形40的邊掰延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

C皎J葉點(diǎn)、F,交放于點(diǎn)G,AE：48=1：3,設(shè)=BC=b-

（1）用向量2、B分別表示下列向量：

______UUUi

AE=,EC=，EG=;

（2）在圖中求作向量粉分別在2、B方向上的分向量.（不寫(xiě)作法，但要寫(xiě)出畫(huà)圖結(jié)果）

【答案】（1）51人加-4416（2）見(jiàn)解析

14

【分析】（1）根據(jù)/￡=：刃即可求出而，根據(jù)或=麗+配即可求出比，先證明比=］比；

即可求出EG;

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)的〃48,6V〃a1，根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案.

【詳解】解：（1）BA~a^AE=|BA,

1

他=§

?:EC=E*+BC，EB=--a^BC=B，

.__4_

??EC=b~~a

???CD//EB.

:.EG：CG=EB：CD=4：3,

:.EG：EC=\x7,

.uuiu4一16_

??EG=-b--a?

144-16_

故答案為：-a?b~~a亍E-五a；

⑵如圖，過(guò)點(diǎn)a乍GM//4姣BC于M,GN〃B汝A肝N,則向量麗、的是向量就分別在入

B方向上的分向量.

AD

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、向量的線性運(yùn)算和平行

四邊形法則等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

10.（2020?上海市川沙中學(xué)南校九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，正方形EFG”內(nèi)接于AABC,

點(diǎn)、E、尸在邊上，點(diǎn)G、”分別在BC、AC上，S.EF2=AEFB>

（1）求證：ZC=90°

（2）求證：AHCG=AEFB.

【分析】（1）由已知可得RT^AEHSRTAGFB,從而可得NA+NB=NFGB+NB=90°,進(jìn)一步得

到NC=180°-90°=90°；

（2）根據(jù)由（1）所得RTZ\AE1【SRTZ\【1CG的性質(zhì)和已知條件可以得到解答.

【詳解】（1）證明：由已知，EF=EH=GF,

AZ7EFAEEH

...由#=可得：-——，即ari——=——

FBGFFB

又四邊形EFGH是正方形,???NAEH=NGFB=90°,

ARTAAEH^RTAGFB,.,.ZA=ZFGB,

???NA+NB=NFGB+/B=90°,

AZC=180°-90°=90°；

(2)???四邊形EFGH是正方形,???HG〃AB,AZA=ZCHG,

又NAEH=NC=90°,ARTAAEH^RTAHCG,

AHFH

：.—=—；AHKG=HGEH,

HGGC

由已知得：EF二EH=GH,AHCG=EF2=AEFB.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形與相似三角形的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

11.(2019?上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué))梯形ABCD中，AD//BC,對(duì)角線AC_L8C,點(diǎn)E

是BC邊上一個(gè)點(diǎn)，/B=/AEF,EF交AC于點(diǎn)P,交DC于點(diǎn)F,AF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,月.

/BAE=/CAF

(1)求證：EF1AG

(2)求證：AGAF=ADEG

【分析】（1）利用三角形外角性質(zhì)，證明再由NBAE=NCAF,得到

ZFEC=ZCAF,應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理，證明ZAfE=ZACE=90。，則問(wèn)題可證；

GFFG

（2）根據(jù)/FEC=/CAF證明△G4C~AGEF,得至可證明AGFC~AGE4,再由

CGAG

AD//BC,得至ijAGbC?AAFD,得到AGE4?AAH）,則問(wèn)題可證.

【詳解】（1）證明：?:ZAEC=/B+/BAE=ZAEF+/FEC

/B=/AEF,

:.ZBAE=ZFEC

?:/BAE=/CAF

JNFEC=NCAF

由三角形內(nèi)角和，ZACE+2LFEC=ZAFE+ZCAF

：.ZACE=ZAFE

,:AC.LBC

：.ZAFE=ZACE=9O°

AEF1AG

（2）證明：由（1）NFEC=NCAF

ZG=ZG

???\GAC^\GEF

?CGFG

"AG-EG

又?:ZG=ZG

:.\GFC^\GEA

又：AD//BC

:.\GFC-^AFD

，AGE4-MFD

.AGEG

"'~AD~~AF

AGAF=ADEG

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)題

意找到相似三角形并證明.

12.(2018?上海嘉定區(qū)?九年級(jí)期中)已知：如圖，在中，AB-AC,DE//BC,點(diǎn)/在邊

/吐，歷嗚龍相交于點(diǎn)G,且.NEDe乙ABE.求證：

(1)ADEFs△BDE；

(2)DG-DI^BL-EF

【分析】(1)±AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得：ZABC=ZACB,又由DE〃BC,易得NABC+

ZBDE=180°,ZACB+ZCED=180°,則可證得：ZBDE=ZCED,又由已知NEDF=NABE,則可

根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△DEFs/\BDE；

(2)由(1)易證得DE三DB?EF,又由/BED=NDFE與NGDE=NEDF證得：△GDEs/\EDF,則可

得：DEJ=DG?DF,則證得：DG?DF=DB?EF.

【詳解】證明：(1)VAB=AC,

NABC=NACB,

DE〃BC,

AZABC+ZBDE=180°,ZACB+ZCED=180°.

ZBDE=ZCED,

；NEDF=NABE,

ADEF^ABDE；

(2)由△DEFs/iBDE,得竺=竺，

DEEF

/.DE-=DB?EF,

由△DEFS/\BDE,得/BED=NDFE.

,ZZGDE=ZEDF,

.".△GDE^AEDF.

.DGDE

：.DE2=DG'DF,

,,.DG*DF=DB?EF.

【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的性質(zhì)與判定.注意有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似以及相似三角

形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.（2020?上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AF與BE交于點(diǎn)

C,ZEDF=ZA=ZB,且DE交AF于點(diǎn)G,DF交BE于點(diǎn)H,

（1）寫(xiě)出圖中兩對(duì)相似三角形，并證明其中一對(duì)、

（2）聯(lián)結(jié)GH,如果NEDF=45。,AB=6&\AG=4,求GH的長(zhǎng)

【答案】（1）AEDH^AEBD,AFDG^AFAD；證明見(jiàn)詳解；（2）GH=2.5

【分析】（1）根據(jù)已知條件，ZEDF=ZA=ZB,結(jié)合圖形上的公共角，即可推出△EDHSAEBD,

△FDG^AFAD；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出BH的長(zhǎng)度，依據(jù)等腰直角三角形推出AC和BC的長(zhǎng)度，即可

求出CH、CG的長(zhǎng)度，繼而推出GH的長(zhǎng)度.

【詳解】解：（1）AEDH^AEBD,AFOG^AFAD；

VZEDH=ZB,ZDEH=ZBED,

/.△EDII^AEBD,

同理可證△FDGs/\FAD；

（2）連接GH,

：NEDF=NA=NB=45°,

ZADG+ZBDH=ZADG+ZAGD,

.\ZAGD=ZBDH,

.?.△FDGcoAFAD,

.AGAD

TAB-6應(yīng)，AG=4,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

.43立

??荻一曲‘

解得BH=1

VZA=ZB=45°,AB=6點(diǎn),

...△ACB是等腰直角三角形，

易得AC=BC=6,

9

..CG=C4-AG=6-4=2,CH=CB-BH=6——=1.5,

2

由勾股定理可得：GH=-JCG2+CH2=Vl.52+22=2.5，

故GH=2.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵找到相似的三角形，根據(jù)其性質(zhì)求出GH的長(zhǎng)度.

14.（2020?上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，ZBAC

=/ADC=90,且AC是AD、BC的比例中項(xiàng).求證：DC1BC

【分析】先由已知條件推出AC°=AD?BC,通過(guò)變形，由直角三角形相似的判定方法可判定Rt

△DCA^RtAABC,得到/DCA=/B,ZDCA+ACB=90°,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明:VZBAC=ZADC=90°,

...△ABC與4ACD都是直角三角形，

而AC?=AD?BC,

.ADAC

AC-BC'

XVZBAC=ZADC,

/.RtADCA^RtAABC,

...NDCA=NB,

,.,ZB+ZACB=90°,

AZDCA+ACB=90°,

即NDCB=90°,

?\DC_LBC.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握特殊三角形直角三角形相似

的判定方法.

15.(2020?上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中)如圖，AABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、

AC上,DC與BE交于點(diǎn)0,且AD=3,BD=AC=6,AE=2.

(1)求證：DE〃BC,

(2)如果aBOC的面積比aDOE的面積大8,求ADOE的面積

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)5POfc=l.

【分析】(1)證明△ADEs^ABC,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等和平行線的判定定理即可證

明；

(2)由DE〃BC,推出△DOEs^cOB,段=：，推出^根據(jù)ABOC的面積比ADOE的

面積大8,即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：(1)證明：VAD=3,BD=6,

AAB=9,

VAC=6,AE=2,

ADAE]

?t?一——，

ABAC3

又〈NA=NA,

.?.△ADE^AABC,

ZADE=ZABC,-=—=

BCAC3

DE//BC：

(2)VDE//BC,

ZODE=ZDCB,ZOED=ZEBC,

.?.△DOEs△COB,

..竺,

?一，

BC3

S1

?ADO?__曰口q_nc

??o?Q，岡」Q4COB-yoJX)E>

◎△COBy

?..△BOC的面積比ADOE的面積大8,

?*?95ABe心—SQOE=8,解得S'DOE=1.

【點(diǎn)睛】本題考查相似二角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三

角形的判定定理，并能正確識(shí)圖是解題關(guān)鍵.

16.(2019?上海浦東新?九年級(jí)期中)如圖，已知A?！拧–F,它們依次交直線4、4

DE2

于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)￡)、E、F,――=—?AC=14；

EF5

‘I’2

(1)求48、BC的長(zhǎng)；

(2)如果AO=7,CE=14,求8E的長(zhǎng)；

【答案】(1)AB=4；叱10；(2)9.

【分析】(1)由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得出嘿=：,即可求出AB的長(zhǎng)，得

出BC的長(zhǎng)；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AG〃DF交BE于點(diǎn)11,交CF于點(diǎn)G,得出AD=I1E=GF=7,由平行線分線段成比例定理

得出比例式求出BH,即可得出結(jié)果.

【詳解】(1),：AD//BE//CF

.ABDE2

??沃一百一三

.AB2

..---=—

AC7

*：AC=14

，辦4

???除14-4二10

(2)

hI?

I

/TT

7cv

過(guò)點(diǎn)力作力?！σО?于點(diǎn)〃，交CF于前G

又、：AD"BE"CF,AW1

:.AAH4Gg7

767^14

，於14一7二7

?:BE"CF

.BHAB_2

"CG"7C~7

:.B即2

???止2+7=9

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例;

熟練掌握平行線分線段成比例，通過(guò)作輔助線運(yùn)用平行線分線段成比例求出BH是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

17.(2013?上海黃浦?九年級(jí)期中)已知：如圖，aABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、

AC上，ZADE=60°.

(1)求證：AABD^ADCE；

7

(2)如果AB=3,EC=(,求DC的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)DC=1或DC=2.

試題分析：(1)ZkABC是等邊三角形，得到/B=/C=60°,AB=AC,推出/BAD=/CDE,得到

△ABD^ADCE；

(2)由aABDs4DCE,得到我二然后代入數(shù)值求得結(jié)果.

(1)證明：:△ABC是等邊三角形，

ZB=ZC=60°,AB=AC,

VZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,ZB=ZADE=60°,

ZBAD=ZCDE

/.△ABD^ADCE；

(2)解：由(1)證得△ABDs/\DCE,

.BDCE

"ABDC"

設(shè)CD=x,則BD=3-x,

x=l或x=2,

；.DC=1或DC=2.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

18.(2019?上海浦東新區(qū)?九年級(jí)期中)如圖，在平行四邊形48麗，點(diǎn)￡為邊比上一點(diǎn)，聯(lián)

/)/73

結(jié)力掰延長(zhǎng)交比的延長(zhǎng)線于點(diǎn)交切于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)滁G汽〃免交加于點(diǎn)尸，—=-

FC2

(1)若8)20,求66的長(zhǎng):

(2)求C考M■的值?

【答案】(1)8;(2)^-

【分析】(1)由GF〃BC,可證箓=段，結(jié)合段=1，整理可求出BG的值；

FCBGFC2

(2)由四邊形被力是平行四邊形，可證46〃而，力作切,從而器=段，整理可求出空=。，

ABBGAB2

根據(jù)比例的性質(zhì)可求出的縹CM值.

【詳解】⑴?:GF"BC,

.DFDG

"FC-BG

:?BG=8；

⑵??,四邊形力仇力是平行四邊形，

：.AB//CD,AFCD,

.DMDG

??劉一記’

.DM3

??=，

AB2

.DM3

??一—~,

CD2

.CM-1

"'~CD~2'

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行線分

線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例.推論：平

行于三角形-邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)

應(yīng)成比例.

19.（2020?上海炫學(xué)培訓(xùn)學(xué)校有限公司九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=7L4B.求

證：ZABD=ZDAC.

C

【分析】根據(jù)AC=7?AB證明穿=萋，從而可證得△A0Bs/\ABC,得時(shí)應(yīng)角相等，同時(shí)再

AC

利用平行線所截的內(nèi)錯(cuò)角相等得出結(jié)論.

【詳解】證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AC=2A0,AD〃BC,

VAC=72AB,

,-.AO=^AB,

2

.AOy/2

??---=---,

AB2

..ABABy/l

'AC~-/2AB~2'

.AOAB

??=,

ABAC

VZCAB=ZCAB,

AAAOB^AABC,

,NABD=NACB,

VAD/7BC,

AZACB=ZDAC,

?,.NABD=NDAC.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形邊、角、對(duì)角線的關(guān)系；在證

明兩角相等時(shí)，除了運(yùn)用平行線、全等三角形外，還可以證明兩三角形相似，得對(duì)應(yīng)角相等.

20.（2020?上海市青浦區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）在AABC中，點(diǎn)E、尸分別在邊A3、BC±,

AC2=AEAB,AF與CE交子點(diǎn)、G.求證：（1）ZAEC=ZACB；（2）若CF=CG,求

CF?=EGBF.

【分析】（1）先證明△力△力蹶再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可證明;

ApFGACGC

(2)先證明9s△/C7彳導(dǎo)——=——??再證△"碑1ZX/1A7s△/)得---=——和

ACFCABBF

前=%,進(jìn)而得到第,再結(jié)合仃=,6即可證明.

【詳解】證明：⑴???AC2=AE?鈣

.AE_AC

"AC-AB

NBAONBAC

：./\AEC^/\ACB

:.ZAEC=ZACB；

(2)VZ4EC=NAC8且上C、6

ZCGF=ZGFC

ZAGE=ZDFC

:.XAEQsXACF

???F=F且/切4/qc

ACFC

又：ZAEC=ZACB

：./\BAF^/\CAG

,ACGC

"AB~BF

又,：△AE—MACB

.AEAC

""AC-AB

?EGGC

''~FC~~BF

，CF2=EG-BF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活判定相似三角形和運(yùn)用相似三角形的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.（2021?上海寶山?）如圖是某地摩天輪（圖1）和示意圖（圖2）,已知線段8C經(jīng)過(guò)圓

心。且垂直于地面，垂足為點(diǎn)C,當(dāng)座艙在點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得摩天輪頂端點(diǎn)8的仰角為15。，同時(shí)

測(cè)得點(diǎn)C的俯角為76。，又知摩天輪的半徑為1（）米，求摩天輪頂端8與地面的距離.（精確到1

米）

參考數(shù)據(jù)：sin15°x0.26,cos15°?0.96,tan15°?0.27,sin76°?0.97,cos76°?0.24,tan76°=4.01

【答案】21米.

【分析】連接4?、AD,AC,過(guò)點(diǎn)/作/"優(yōu)于凡由題意得法的，由銳角三角函數(shù)定義求出出;

亂的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：連接46、AD、AC,過(guò)點(diǎn)4作4￡J_比于反

B

D?

圖2

則//呼//心90°,

由題意得：點(diǎn)力、解圓〃上,

：.DB=DA,

在必瓦中，/物后15°,

；./幽=N加廬75°,ZDAB-600,

阱10米，

.../后5（米），

:.B斤AEXtanl5°^5X0.27=1.35（米），

VZ￡4^=76°,

CE=AEY.tan760-5X4.01=20.05（米），

35+20.05^21（米），

答：摩天輪頂端8與地面的距離約為21米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角二角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

&45°4-tan30°-tan60°

22.（2020?上海交大附中九年級(jí)期中）。-點(diǎn)

4cos6()1+.0-6)2

【答案】2邛*

【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的乘法和分母有理化計(jì)算各項(xiàng)，再合并即可.

1.1石逝，石6

【詳解】解：原式=1匚+斥需一彳、亍

4X-----1v

2

-1-------------------------r1

44

&瓜

-L---------.

42

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的二角函數(shù)值和二次根式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握上述

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23.（2020?上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校）在建筑樓梯時(shí)，設(shè)計(jì)者要考慮樓梯的安全程度.如

圖（1）,虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板的夾角為。，一般情況下傾角。愈小，樓梯的

安全程度愈高.設(shè)計(jì)者為提高樓梯的安全程度，要把樓梯的傾角由4減至外,如圖（2）,這

樣樓梯占用地板的長(zhǎng)度由4增加到%，已知4=4米，4=40。，2=36。，求樓梯占用地板的長(zhǎng)

度約增加了多少？（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)sin36。*0.59,cos36°=0.81,tan36°?0.73,

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84）

【答案】0.6米

【分析】如圖2,在aABC與aABD中，利用公共邊AB與正切函數(shù)得到關(guān)于BD的方程，然后求解

得到BD,即d?的長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案.

【詳解】如圖2,

ARAR

VtanZACB=——，tan=—,

BCBD

：.tanZACB-BC=tanZADB-BD,

VZACB=0=4O°,ZADB=02=36°,BC=4=4m,

J0.84x4=0.73x50,

解得BD=4.6m,

/.4=80=4.6m,

則樓梯占用地板的長(zhǎng)度約增加了4-4=4.6-4=0.6m.

答：樓梯占用地板的長(zhǎng)度約增加了0.6米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形中坡角問(wèn)題，根據(jù)圖象構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用銳

角三角函數(shù)得出的4值是解題關(guān)鍵.

24.（2020?上海市民辦文綺中學(xué)）如圖，在航線/的兩側(cè)分別有觀測(cè)點(diǎn)A和3,點(diǎn)A到航線

1的距離為2海里，點(diǎn)B位于點(diǎn)4北偏東60°方向且與A相距10海里處.現(xiàn)有一艘輪船從位于

點(diǎn)B南偏西76方向的C處，正沿該航線自西向東航行，10分鐘后該輪船行至點(diǎn)A的正北方向

的。處.

（1）求觀測(cè)點(diǎn)B到航線/的距離；

（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1海里/時(shí)）（參考數(shù)據(jù)：6=1.73,sin76。=0.97,

cos76°=0.24,tan760=0.41）

【答案】（1）3海里；（2）20.2海里/時(shí)

【分析】（1）利用ZmF=60。，得NZ澗4=30。，根據(jù)A￡>=2求IIIAF的長(zhǎng)，就可以求出BF的

長(zhǎng)，最后可以得到=尸，求出BE的長(zhǎng)；

（2）利用tan/ZM/、代求出DF的長(zhǎng)，再算出EF的長(zhǎng)，就可以得到DE的長(zhǎng)，再根據(jù)

AD

tan/C8E=器CE求出CE的長(zhǎng)，再算出CD的長(zhǎng)，就可以求出速度.

BE

【詳解】解：（1）■：ZDAF=60°,

：.ZDM=30°,

'：AD=2（海里）,

AF=2AD=4（海里），

VAB=10（海里），

8"=48-AF=10-4=6（海里），

,/ZBFE=ZDFA=30°,ZBEF=90°,

；.BE=；BF=3（海里）；

DFr-

（2）在Rt^ADF耳」，tanZ.DAF=—=V3,

AD

:.DF=2+（海里），

同理EF=36（海里），

:.DE=EF+DF=56之8.66（海里）,

CE

在RtVBCE中,tanZCB￡=—,

BE

：.C￡=BEtan76O?12.03（海里），

CD=CE-DE=12.03-8.66=3.37（海里）,

3.37-^—=20.22?20.2（海里/時(shí)）.

60

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握用銳角三角函數(shù)解直角三角形的

方法.

25.（2020?上海市曹楊二中附屬江橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡

上的電線桿PQ，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是26.6°,向前走30米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿

底端點(diǎn)Q的仰角分別是45°和33.7。求該電線桿尸。的高度（結(jié)果精確到1米）.（備用數(shù)據(jù)：

sin26.6=0.45,cos26.6=0.89,tan26.6=0.50,cot26.6°=2.00;sin33.7=0.55,

cos33.7°=0.83,tan33.7°=0.67,cot33.70=1.5）

【答案】10米

【分析】延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,設(shè)PE=x米，在直角4APE和直角ABPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用

x表示出AE和BE,根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角4BQE中利用三角函數(shù)求得

QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解.

【詳解】

解：延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,設(shè)PE=x米.

在直角aABE中,NPBE=45°,

則BE=PE=x米;

VNPAE=26.6°

在直角aAPE中，AE=PE?cotNPAE-2x,

：AB=AE-BE=30米，

則2x-x=30,

解得：x=30.

則BE=PE=30米.

在直角△BEQ中,QE=BE?tanZQBE=30Xtan33.7°=30X0.67-20.1米.

.".PQ=PE-QE=30-20=10(米).

答:電線桿PQ的高度是10米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，注意掌握當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí)，先求出這

條公共邊的長(zhǎng)是解答此類(lèi)題的一般思路.

26.(2020?上海市川沙中學(xué)南校九年級(jí)期中)已知AABC為等邊三角形，A8=6,P是AB上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，(與48不重合)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線與BC相交于點(diǎn)D以點(diǎn)。為正方形的一

個(gè)頂點(diǎn)，在“8C內(nèi)作正方形DEFG,其中￡>、￡在8c上，尸在AC上，

(1)設(shè)BP的長(zhǎng)為X,正方形。瓦G的邊長(zhǎng)為y,寫(xiě)出)關(guān)于X的函數(shù)解析式及定義域；

(2)當(dāng)BP=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

(3)△GDP是否可能成為直角三角形？若能，求出8P的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=(y/3-3)x+9-3y/3(O<x<3);(2)CF=

(3)BP=30-6^

11

【分析】(1)設(shè)BP的長(zhǎng)為x,正方形DEFG的邊長(zhǎng)為y,則由題意可得BD=2x,DE=y,

EC=By,然后根據(jù)BC=6可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；

3

(2)若BP=2,即x=2,由(1)可得正方形DEFG的邊長(zhǎng)EF的長(zhǎng)度，解直角三角形CEF可得CF

的長(zhǎng)度；

(3)設(shè)aGDP是直角三角形，則PG_LGD,然后可得關(guān)于x的方程，解方程可得x的值，即BP的

長(zhǎng)度.

【詳解】

解：(1)設(shè)BP的長(zhǎng)為x,正方形DEFG的邊長(zhǎng)為y,

由/B=60°,PD垂直AB,則BD=2x,DE=y,EC=xtan30°=y,

.?.有2x+y+冬=6,整理得：y=（^-3）x+9-3^（0<x<3）；

（2）若BP=2,即x=2,可得y=3-6，

/.CF=EFxsin60°=（3-5/3）x^=|>/3-1;

（3）若4GDP是直角三角形，則PG_LGD,/.ZDPG=3O0,即PD=2GD,

即底=2y=2（&-3）x+2（9-3JJ）,解之得：工=30；：/,此即BP的長(zhǎng)度.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)直角三角形邊和角的關(guān)系求解

是解題關(guān)鍵.

27.（2020?上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在aABC中，BD、CE是aABC

的高，連接DE.

（1）求證：AABDs"CE；

（2）若NBAC=60。，BC=6應(yīng),求DE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3歷

【分析】（1）找出公共角即可求出相似

（2）根據(jù)AABE>~AACE得出?個(gè)比例式凄=%,再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等得出