2022年人教版中考?jí)狠S題匯編：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

例12019上海市寶山區(qū)中考模擬第24題2

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線JW0）與匿y=x+2都經(jīng)過點(diǎn)火。

（1）求立與m的值；。

（2）此雙曲線又經(jīng)過點(diǎn)5（乩2）,過點(diǎn)B的直線BC與直線j=x+2平行交7軸于點(diǎn)C,

聯(lián)結(jié)力8、AC,求△⑷?。的面積；，

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線j=x+2與y軸交于點(diǎn)D,在射線CB上有一點(diǎn)E,如

果以點(diǎn)火、。、E所組成的三角形與△月⑵相似，且相似比不為1,求點(diǎn)E的坐標(biāo).《

圖1。

例22019年武漢市中考第24題”

如圖1,RtZXnBC中，ZACB=90°,AC=6cm.BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，在

BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)力勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，在CB邊上以每秒4

cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<2),連接PQ.a

(1)若△EPQ與AlE。相似，求t的值；P

(2)如圖2,連接力Q、CP,若力。J_CP,求t的值；。

(3)試證明：F。的中點(diǎn)在也壁。的一條中位線上.。

A

圖1圖2P

例32019年蘇州市中考第29題.，

如圖1,已知拋物線一工@+1次+9S是實(shí)數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交

，4公，4

于點(diǎn)A8（點(diǎn)火位于點(diǎn)B是左側(cè)），與『軸的正半軸交于點(diǎn)0.。

（1）點(diǎn)8的坐標(biāo)為，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）；，

（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC

是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

明理由；。

（3）請(qǐng)你進(jìn)一步■探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△Q。。、LQOA和△24B中

的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

如果不存在，請(qǐng)說明理由.。

圖1“

例42022年黃岡中考模擬第26題

如圖1,已知拋物線的方程Cl：y=_J_(x+2)(x-⑼⑺>0)與X軸交于點(diǎn)8、C,與

m

y軸交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè).

(1)若拋物線C1過點(diǎn)M(2,2),求實(shí)數(shù)m的值；

(2)在(1)的條件下，求ABCE的面積；

(3)在(1)的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)“，使得BH+EH最小，求出點(diǎn)”

的坐標(biāo)；

例52022年義烏市中考第24題

如圖1,己知梯形O48C,拋物線分別過點(diǎn)。(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,

分別交拋物線于點(diǎn)0卜Ai、。、囪，得到如圖2的梯形。小山Ci.設(shè)梯形0/15cl的面積

為S,4、Bi的坐標(biāo)分別為(為，＞|)、(也，”).用含S的代數(shù)式表示及一xi，并求出當(dāng)5=36

時(shí)點(diǎn)Ai的坐標(biāo)；

例62019年臨沂市中考第26題

如圖1.拋物線經(jīng)過點(diǎn)44,0）、B（1,力、C（0,-2）三點(diǎn).。

（1）求此拋物線的解析式；~

（2）尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過F作巴@_Lx軸，垂足為〃，是否存在點(diǎn)P,使得以

4、RM為頂點(diǎn)的三角形與△3。相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由；。

（3）在直線力。上方的拋物線是有一點(diǎn)D,使得也!?。！的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)一

圖

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題答案

例12022上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(kWO)與直線y=x+2都經(jīng)過點(diǎn)A(2,機(jī)).

(1)求人與機(jī)的值；

(2)此雙曲線又經(jīng)過點(diǎn)8(〃,2),過點(diǎn)B的直線與直線y=x+2平行交y軸于點(diǎn)C,

聯(lián)結(jié)AB、AC,求aABC的面積；

(3)在(2)的條件下，設(shè)直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)￡>,在射線CB上有一點(diǎn)E,如

果以點(diǎn)4、C、E所組成的三角形與△AC。相似，且相似比不為1,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖1

思路點(diǎn)撥

1.直線AO〃8C,和坐標(biāo)軸夾角為45°.

2.求△ABC的面積，一般用割補(bǔ)法.

3.交流△ACE與△AC。相似，尋找一組等角，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況列

方程。

滿分斛答

(1)將點(diǎn)4(2,〃?)代入y=x+2,得m=4.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4).

將點(diǎn)A(2,4)代入y=&,得左=8.

X

Q

(2)將點(diǎn)B(〃,2),代入y=9,得〃=4.

x

所以點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,2).

設(shè)直線BC為y=x+6,代入點(diǎn)8(4,2),得6=-2.

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,—2).

由A(2,4)、B(4,2)、C(0,—2),可知A、B兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是2,B、

C兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是4.

所以AB=2應(yīng)，BC=472,NABC=90°.

所以以鉆。=,84-8。=工乂2忘*4a=8.

22

(3)由A(2,4)、0(0,2)、C(0,-2),得A￡>=20,AC=2710.

因/ZMC+NAC￡)=45°，/ACE+NAC￡)=45°,所以ADACAACE.

所以,/VICE與△AC。相似，分兩種情況：

①如圖3,當(dāng)式=4￡時(shí)，CE=AD=2梃.

CAAC

此時(shí)，△力CO〈Z\C4E,相似比為1.

②如圖4,當(dāng)臣=4￡時(shí)，_^=如晅.解得CE=10后.止匕時(shí)C、E兩點(diǎn)間的水

CAAD2710272

平距離和豎直距離都是10,所以E(10,8).

考點(diǎn)伸展

第(2)題我們?cè)谟?jì)算XABC的面積時(shí)，恰好△A8C是直角三角形。

一般情況下，在坐標(biāo)平面內(nèi)計(jì)算圖形的面積，用割補(bǔ)法.

如圖5,幫△A8C外接矩形HCMW,MM/y軸。

由S矩形〃CNM=24,SZ\A〃C=6,SAAM8=2,SABCN=8,得SZ\ABC=8.

1—rM

例22022年武漢市中考第24題

如圖1,RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，在

BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4

cm的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(0<r<2),連接P。.

(1)若△8PQ與△ABC相似，求f的值；

(2)如圖2,連接AQ、CP,若AQ_LCP,求f的值：

(3)試證明：P。的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.

圖1圖2

動(dòng)威體瞼

請(qǐng)打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，若△8PQ可以兩

次成為直角三角形，與AABC相似.當(dāng)AQ_LCP時(shí)，△ACQs^cOP.PQ的中點(diǎn)〃在

△A8C中位線E尸上.

思路點(diǎn)撥

1.△BPQ與AABC有公共的角，按照夾角相等定律，對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況列

方程.

2.作P￡>_L3c于￡>,動(dòng)點(diǎn)P、。的速度，暗含了BO=CQ.

3.PQ的中點(diǎn)，在哪條中位線上？畫兩個(gè)不同時(shí)刻P、Q、”的位置，一目了然.

滿分解答

(1)RlZXABC中，AC=6,BC=8,所以AB=10.

4BPQ與△ABC相似，存在兩種情況：

①如果竺=絲，那么旦

解得f=L

BQBC8-418

②如果竺=生，那么旦解得”必

BQ41

圖3圖4

(2)作垂足為D

4

在RtZ\BPD中，BP=5bcosB=-所以8D=8Pcos8=4，，PD=3九

5f

當(dāng)4。J,CP時(shí)，△AC。s>ACDP.

m、iACCDBn68—4f.解得r=L

所以一=—，即一=----.

QCPD8

圖5圖6

(3)如圖4,過PQ的中點(diǎn)”作8c的垂線，垂足為F,交AB于E.

由于”是P。的中點(diǎn)，HF//PD,所以尸是Q。的中點(diǎn).

又因?yàn)?￡>=CQ=4f,所以BF=CF.

因此尸是8C的中點(diǎn)，E是A8的中點(diǎn).

所以PQ中點(diǎn)”在aA8C的中位線E尸上.

考點(diǎn)伸展

本題情景下，如果以尸。為直徑的。，與△A2C的邊相切，求t的值.

如圖7,當(dāng)。H與AB相切時(shí)，QP_LA8,就是竺=生，

BQBA41

如圖8,當(dāng)?！ㄅc8c相切時(shí)，PQLBC,就是絲=空，1=1.

BQBC

如圖9,當(dāng)?！芭c4c相切時(shí)，直徑PQ=QPD。+Q￡>2=J(3f)2+(8—8r)2,

半徑等于FC=4.所以J(3f)2+(8—8f)2=8.

圖7圖8圖9圖10

例32022年蘇州市中考第29題

如圖1,已知拋物線y=J_x2_]_(0+]口+2”是實(shí)數(shù)且匕>2)與X軸的正半軸分別交

444

于點(diǎn)4、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè))，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

(1)點(diǎn)8的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(用含b的代數(shù)式表示)；

(2)請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△P8C

是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

明理由；

(3)請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QCO、/XQOA和△QAB中

的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

如果不存在，請(qǐng)說明理由.

滿分斛答

(1)B的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-).

4

(2)如圖2,過點(diǎn)尸作尸。_Lx軸，PE_Ly軸，垂足分別為。、E,那么△PO8絲△PEC.

因此PD=PE.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x).

如圖3,聯(lián)結(jié)OP.

所以S四邊形尸COB=SAPCO+SA/>8O=-x—'X+—xb-x=—bx—2b.

2428

解得x=3.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).

(3)由y=,工2一2_(人+])工+2=，得A(l,0),OA=].

4444

①如圖4,以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC,那么△OQCgZXQOA.

當(dāng)絲L怨，即QA=BAOA時(shí)，

QAOA

所以(分=67.解得/,=8±4g.所以符合題意的點(diǎn)Q為(1,2+6).

②如圖5,以0C為直徑的圓與直線x=l交于點(diǎn)Q,那么NOQC=90°。

因此△OCQs△QOA.

當(dāng)絲1=0■時(shí)，此時(shí)NOQB=90°.

QAOA-

例42022年黃岡市中考模擬第25題

如圖1,已知拋物線的方程Cl：y=__l（x+2）（x-機(jī)）（機(jī)＞0）與X軸交于點(diǎn)B、C,與

m

y軸交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè).

（1）若拋物線C1過點(diǎn)M（2,2）,求實(shí)數(shù)m的值；

（2）在（1）的條件下，求△3CE的面積；

（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)“，使得B/7+E”最小，求出點(diǎn)H

的坐標(biāo)；

（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)8、C、F為頂點(diǎn)的三角形

與aBCE相似？若存在，求，〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

滿分斛簽

(1)將M(2,2)代入y=-■-(x+2)(x-m)?得2=-■-x4(2-m)■解得機(jī)=4.

tnm

(2)當(dāng)〃?=4時(shí)，y=-l(x+2)(x-4)=-^-x2+|x+2.所以C(4,0),E(0,2).

所以SABCE=工BC.OE=16x2=6.

22

(3)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l,當(dāng)”落在線段EC上時(shí)，BH+EH最小.

設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為尸，那么辿=型.

CPCO

因此與修解得HP=|.所以點(diǎn)”的坐標(biāo)為(1,1).

(4)①如圖3,過點(diǎn)8作EC的平行線交拋物線于凡過點(diǎn)下作軸于尸.

由于NBCE=NF8C,所以當(dāng)注=生，即BC2=CEBF時(shí)，△BCEsMBC.

CBBF

1pp?pc(X+2)(X—〃2)

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,_'(x+2)(x—m))，由±=絲，得〃------------2_

mBF'COx+2m

解得x=m+2.所以尸(加+2,0).

由空="，得「-5+4所以8/=出也至a

CEBF,病+4BFm

由BC2=C￡-8尸，得(加+2)2=)/+4*("'+4)，"2+4.

m

②如圖4,作NC8/=45°交拋物線于尸，過點(diǎn)尸作軸于尸，

由于/破。=/。8/，所以變=g￡,即=B/時(shí)，ABCEsABFC.

BCBF

在RtAiBFF'中，由尸尸'=3廣，得」~(x+2)(x—相)=尤+2.

tn

解得x=2%所以F'(2m,0).所以BF'=2〃?+2,8/=&(2m+2).

由3c2=BE-8尸，得QW+2)2=2&x&(2m+2).解得m=2±2亞.

綜合①、②，符合題意的“為2+2夜.

考點(diǎn)伸展

第(4)題也可以這樣求BF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)尸、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式

求B尸的長(zhǎng).

例52022年義烏市中考第24題

如圖1,已知梯形O4BC,拋物線分別過點(diǎn)O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將圖1中梯形OA8C的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移,

分別交拋物線于點(diǎn)0卜4、G、Bi，得到如圖2的梯形01A由Ci.設(shè)梯形ONiBiG的面積

為S,4、田的坐標(biāo)分別為⑶，》)、(如y2).用含S的代數(shù)式表示及一M，并求出當(dāng)S=36

時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)在圖1中，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,3),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段運(yùn)動(dòng).P、

。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為3是否存在某一時(shí)刻f,使得直線尸Q、直線AB、x軸圍成的三角形與直線尸Q、直線A3、

拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

滿分斛答

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,解析式為＞頂點(diǎn)為M(l,-i).

-848

(2)梯形ONiSG的面積5=也二^^二歸=3(玉+/)—6,由此得到

S11lol

須+尤2=—2.由于y2_y=3,所以%—%=一%0—x?—%—X)=3.整理，得

38484

-11172

(x2-x1)-(x24-x,)--=3.因此得到々一不二丁-

當(dāng)5=36時(shí)，＜此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,3）.

x2=2.%2=8.

（3）設(shè)直線AB與P。交于點(diǎn)G,直線A8與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,直線尸。與

x軸交于點(diǎn)凡那么要探求相似的AGA廠與△GQE,有一個(gè)公共角ZG.

在△GEQ中，4GEQ是直線42與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值.

在464尸中，NGA/是直線A8與x軸的夾角，也為定值，而且ZGEQ^ZGAF.

因此只存在/GQE=NGAF的可能，△GQEsaGAF.這時(shí)/G4F=NGQE=N

PQD.

由于tan/GAb=?,tanNPQO=歿=」一,所以』=」一.解得『=型.

QP5

考點(diǎn)伸展

第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4,假如存在，說理過程相同，

求得的/的值也是相同的.事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更

接近圖3.

例62022年臨沂市中考第26題

如圖1,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PMLx軸，垂足為是否存在點(diǎn)P,使得以

A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△O4C相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由：

(3)在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D,使得△OCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

圖1

滿分解答

(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于4(4,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x—l)(x—4),代入點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,-2),解得。=—所以拋物線的解析式為

11,5

y=——(x-l)(x-4)=——x*+-X-2.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,—,(X—l)(x—4)).

2

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，l<x<4,PM=-g(x—l)(x—4),AM^4-x.

一4(x-l)(x_4)

AMAO

如果那么」------------=2.解得x=5不合題意.

~PM~CO4-x

-hx-l)(x-4)

,AMAO1

如果——=——=一,那么‘--------