2022秋北京市門(mén)頭溝區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷（含答案）

北京市門(mén)頭溝區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷

（含答案）

（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：100分）

選擇題（8小題，共16分，每題只有一個(gè)答案是正確的。）

1.將二次函數(shù)-4x+l化成y=a（%-//）2+2的形式為（）

A.y—（%-4）2+1B.y—（%-4）2-3

C.y—（%-2）2-3D.y=（%+2）2-3

2.如圖，在口ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，EC交BD于點(diǎn)、F,那么

E尸與C尸的比是（）

A.1：2B.1：3C.2：1D.3：1

3.如果NA是銳角，且sinA=*,那么NA的度數(shù)是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.如圖，A,B,C是。。上的點(diǎn)，如果N3OC=120°,那么N3AC

的度數(shù)是（）

B

A.90°B.60°C.45°D.30°

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,3在反比例函數(shù)y=|"（%

>0）的圖象上，如果將矩形0cA。的面積記為Si,矩形0E8F的面

積記為§2,那么S1,§2的關(guān)系是（）

B.6=52C.S1VS2D.不能確定

6.如圖，將一把折扇打開(kāi)后，小東測(cè)量出NAOC=160°,Q4=25cvn,

OB=10cm,那么由京，俞及線(xiàn)段AB,線(xiàn)段CD所圍成的扇面的面積

約是（）

A.157cm2B.314cm2C.628cm2D.733cm2

7.二次函數(shù)y=a?+/?%+c（QNO）的圖象如圖所示，那么下列說(shuō)法正

確的是（）

A.a>0,h>0,c>0B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,h>0,c<0D.6z<0,h<0,c>0

a+b(a<b)

8.對(duì)于不為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b,如果規(guī)定:a-kb=<q(a>b)'那

二.填空題（共8小題，共16分）

9.如圖，在RtAA5C中，ZC=90°,BC=5,AB=6,那么cosB

10.若2m=3n,那么m：n—.

11.已知反比例函數(shù)曠=呼，當(dāng)%>0時(shí)一，y隨％增大而減小，貝Um

的取值范圍是.

12.永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九

層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌.如圖，在A處測(cè)得

NC4O=30°,在8處測(cè)得NC3Q=45°,并測(cè)得A3=52米，那

么永定塔的高CD約是米.（④仁L4,正-1.7,結(jié)果保

留整數(shù)）

13.如圖，。0的直徑A3垂直于弦C。，垂足為及如果NB=60°,

AC=4,那么CD的長(zhǎng)為.

14.已知某拋物線(xiàn)上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)了,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：

那么該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

%-2-1012

y???50-3-4-3

15.劉徵是我國(guó)古代最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他在《九算術(shù)圓田術(shù)）中

用“割圓術(shù)”證明了圓面積的精確公式，并給出了計(jì)算圓周率的科學(xué)

方法（注：圓周率=圓的周長(zhǎng)與該圓直徑的比值）

“割圓術(shù)”就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來(lái)無(wú)限逼近“圓面積”，

劉徽形容他的“割圓術(shù)”說(shuō)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至

于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣.

劉徽計(jì)算圓周率是從正六邊形開(kāi)始的，易知圓的內(nèi)接正六邊形可分為

六個(gè)全等的正三角形，每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為圓的半徑凡此時(shí)圓內(nèi)

接正六邊形的周長(zhǎng)為6凡如果將圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)等同于圓的

周長(zhǎng)，可得圓周率為3.當(dāng)正十二邊形內(nèi)接于圓時(shí)，如果按照上述方

法計(jì)算，可得圓周率為.(參考數(shù)據(jù)：sin/5°=0.26)

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們思考如下問(wèn)題：

請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)四等分窟.

小亮的作法如下：

如圖，

(1)連接A5

(2)作的垂直平分線(xiàn)CO交源于點(diǎn)M.交A3于點(diǎn)T；

(3)分別作線(xiàn)段AT,線(xiàn)段3T的垂直平分線(xiàn)EFGH,交定于N,P

兩點(diǎn)；

那么N,M,P三點(diǎn)把品四等分.

老師問(wèn)：“小亮的作法正確嗎？”

請(qǐng)回備：小亮的作法(“正確”或“不正確”)理由是.

三、解答題（本題共68分，第17?22題，每小題5分；第23?26題,

每小題6分；第27?28題，每小題7分）

17.計(jì)算：cos45°-2sin30°+（-2）（）.

18.如圖，AO與8C交于。點(diǎn)，？A?C,AO=4,CO=2,CD=3,求4?

的長(zhǎng).

19.已知x=〃是關(guān)于X的一元二次方程如2_4-5=0的一個(gè)根，若

mn2-4n+m-6＞求相的值.

20.近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數(shù)x（單位：度）

的函數(shù)，下表記錄了一組數(shù)據(jù):

X（單位：度）???100250400500???

y（單位：米）???1.000.400.250.20???

（1）在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是

（2）利用（1）中的結(jié)論計(jì)算：當(dāng)鏡片的度數(shù)為200度時(shí)，鏡片

的焦距約為米.

21.下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖，。0及。O上一點(diǎn)P.

求作：過(guò)點(diǎn)P的。。的切線(xiàn).

作法：如圖,

①作射線(xiàn)OP;

②在直線(xiàn)OP外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)4為圓心，AP為半徑作。

A,與射線(xiàn)OP交于另一點(diǎn)3;

③連接并延長(zhǎng)BA與。A交于點(diǎn)C;

④作直線(xiàn)PC

則直線(xiàn)PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：???3c是。A的直徑，

.\ZBPC=90°（）（填推理的依據(jù)）.

.\OP1PC.

又「OP是。O的半徑，

...PC是。O的切線(xiàn)（）（填推理的依據(jù)）.

22.港珠澳大橋正式開(kāi)通，成為橫亙?cè)诹尕暄笊系囊坏漓n麗的風(fēng)景.

大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個(gè)海中人工島，來(lái)銜接橋

梁和海底隧道，西人工島上的A點(diǎn)和東人工島上的B點(diǎn)間的距離約

為5.6千米，點(diǎn)C是與西人工島相連的大橋上的一點(diǎn)，A,B,C在一

條直線(xiàn)上.如圖，一艘觀光船沿與大橋AC段垂直的方向航行，到達(dá)P

點(diǎn)時(shí)觀測(cè)兩個(gè)人工島，分別測(cè)得PAP8與觀光船航向PD的夾角N

。出=18°,NOPB=53°,求此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離PD的長(zhǎng).

參考數(shù)據(jù)：sin18°=0.31,cos18°?0.95,tan18°?0.33,

西人工島東人工島

港珠澳大精主使

工程示意圉

'n心，詼i■■心

sin53°?0.80,cos53°?0.6(),tan53°*1.33.

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)y=L與雙曲線(xiàn)廣皮的一個(gè)交

2x

點(diǎn)是A(2,a).

(1)求女的值；

(2)設(shè)點(diǎn)P(利⑶是雙曲線(xiàn)尸X上不同于A的一點(diǎn)，直線(xiàn)以與x軸交于

X

點(diǎn)8S,0).

①若加=1,求人的值；

②若PA2AB,結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出匕的值.

y

5

4

3

2

1

?????

-5-4-3-2-1012345x

-2

-3

-4

-5

24.如圖，A,B,C為。。上的定點(diǎn).連接AB,AC,M為AB上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CM,將射線(xiàn)繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，交。O于點(diǎn)

D,連接3D.若AB=6cm,AC=2cm,記A,M兩點(diǎn)間距離為xcm,B,D

兩點(diǎn)間的距離為ycm.

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)

律進(jìn)行了探究.

下面是小東探究的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量，得到了X與y的幾組值，如下表：

X

0.250.47

0123456

/cm

y

0.660

1.431.312.592.761.660

/cm

（2）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，描出補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐

標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題:當(dāng)時(shí)，AM的長(zhǎng)度

約為cm.

25.如圖，A3是。0的弦，半徑P為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),

PC與。。相切于點(diǎn)C,CE與A3交于點(diǎn)F.

(1)求證：PC=PF；

(2)連接03,BC,若OBHPC,BC=3g,tanP=-,求心的長(zhǎng).

4

26.在平面直角坐標(biāo)系.，中，已知拋物線(xiàn)G:y=4x2-8ax+4a2-4,

A(-l,0),N(〃,0).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，

①求拋物線(xiàn)G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②若拋物線(xiàn)G與線(xiàn)段W只有一個(gè)交點(diǎn)，求”的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)。,使得拋物線(xiàn)G與線(xiàn)段制有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象,

V

5

4

3

2

-5-4-3-2-1(?2345x

-1

-2

-3

-4

-5

直接寫(xiě)出〃的取值范圍.

27.已知在△ABC中，ZBAC=a,直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(不經(jīng)過(guò)

點(diǎn)8或點(diǎn)C),點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)。，連接80,CD.

(1)如圖1,①求證：點(diǎn)氏C,。在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上.

②直接寫(xiě)出N3QC的度數(shù)(用含a的式子表示)為.

(2)如圖2,當(dāng)a=60。時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線(xiàn)與直線(xiàn)I交于點(diǎn)E,

求證：AE=BD；

(3)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，記直線(xiàn)/與CZ)的交點(diǎn)為尸，連接將

直線(xiàn)/繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線(xiàn)段3廠(chǎng)的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出tanN陽(yáng)c

的值.

圖1圖2圖3

28.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)A(O,a)和點(diǎn)8(40),給出如下定

義：以為邊，按照逆時(shí)針?lè)较蚺帕蠥,B,C,。四個(gè)頂點(diǎn)，作正

方形ABCD,則稱(chēng)正方形ABC?為點(diǎn)A,5的逆序正方形.例如，當(dāng)a=-4,

匕=3時(shí)，點(diǎn)A,8的逆序正方形如圖1所示.

圖1圖2

(1)圖1中點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

(2)改變圖1中的點(diǎn)A的位置，其余條件不變，則點(diǎn)C的坐標(biāo)不變

(填“橫”或“縱它的值為；

(3)已知正方形A3CQ為點(diǎn)A,B的逆序正方形.

①判斷：結(jié)論“點(diǎn)。落在X軸上，則點(diǎn)。落在第一象限內(nèi)(填

“正確”或“錯(cuò)誤”)，若結(jié)論正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若結(jié)論錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)?/p>

圖2中畫(huà)出一個(gè)反例；

②。T的圓心為T(mén)?,0),半徑為1.若a=4,b>0,且點(diǎn)C恰好落在。丁上,

直接寫(xiě)出,的取值范圍.

y

5

4

3

2

-5-4-3-2-1(712345%

-2

-3

4

-5

備用圖

答案

一.選擇題(共8小題)

1.將二次函數(shù)-4x+l化成y=a(%-力)？+攵的形式為()

A.y—(x-4)2+lB.y—(%-4)2-3

C.y—(%-2)2-3D.y=(%+2)2-3

【分析】先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完

全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.

【解答】解：-4x+l

=(f-4x+4)+1-4

=(%-2)2-3.

所以把二次函數(shù)y=%2-4x+l化成y=a(%-h)2+k的形式為：y=(%

-2)2-3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式.二次函數(shù)的解析式有三種

形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a^O,a、b、c為常數(shù))；

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)?+%；

(3)交點(diǎn)式(與入軸)：y=a(x-xi)(X-Q).

2.如圖，在口ABC。中，E是AB的中點(diǎn)，EC交BD于點(diǎn)、F,那么

EF與CF的比是()

AD

E,

B

A.1：2B.1：3C.2：1D.3：1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明△。。/，然后利用

相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：由平行四邊形的性質(zhì)可知：AB//CD,

:.ABEFs^DCF,

,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，

.BEBE1

,?AB^CD^

.EF_BE=1

,,CF^CD-y，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的

性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.如果NA是銳角，且sinA=*,那么NA的度數(shù)是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值解答即可.

【解答】解：???/4是銳角，且sinA=5,

...NA的度數(shù)是30°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用特殊角的三角函

數(shù)值解答.

4.如圖，A,B,。是。。上的點(diǎn)，如果N3OC=120°,那么N8AC

的度數(shù)是（)

A

C.45°D.30°

【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：???N80C與N3AC是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，Z

BOC=120°,

：.ZBAC=^ZBOC=6G°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答

此題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系工。P中，點(diǎn)A,8在反比例函數(shù)y=?(%

>0)的圖象上，如果將矩形OCAD的面積記為S,矩形OEBF的面

積記為§2,那么S1,$2的關(guān)系是()

A.Sx>S2B.S{=S2C.Si<S2D.不能確定

【分析】因?yàn)檫^(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)引％軸、y軸垂線(xiàn)，所得矩形面積

S是個(gè)定值，即S=|A|.從而證得$=S2.

【解答】解：???點(diǎn)A,3在反比例函數(shù)>=■!(%>0)的圖象上，

，矩形OCA。的面積S=|A|=2,矩形OEBF的面積S2=\k\=2,

.?.$=52

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)中攵的幾何意義，即過(guò)雙

曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)引％軸、y軸垂線(xiàn)，所得矩形面積為因，是經(jīng)?？疾?/p>

的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)題一定要正確理

解k的幾何意義.

6.如圖，將一把折扇打開(kāi)后，小東測(cè)量出NAOC=160°,OA=25c/n,

OB^XQcm,那么由藍(lán)，俞及線(xiàn)段A3,線(xiàn)段CD所圍成的扇面的

面積約是()

A.157cm2B.314cm2C.628cm2D.733cm2

【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：由余，俞及線(xiàn)段AS線(xiàn)段CQ所圍成的扇面的面積

_16QHX252_160兀XI

一360360

2733(cm2),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，掌握扇形面積公式：S扇形=磊

360

冗代是解題的關(guān)鍵.

7.二次函數(shù)y=o?+法+c(aWO)的圖象如圖所示，那么下列說(shuō)法正

確的是（)

B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c>0

【分析】利用拋物線(xiàn)開(kāi)口方向確定。的符號(hào)，利用對(duì)稱(chēng)軸方程可確定

b的符號(hào)，利用拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)位置可確定c的符號(hào).

【解答】解：???拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，

tz<0,

,/拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，

'?X---^->0,

：.b>0,

,/拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

.,.c>0,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)）=

ax2+bx+c（a^O）,二次項(xiàng)系數(shù)。決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大?。寒?dāng)

時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系

數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)。與。同號(hào)時(shí)（即

ab>0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與。異號(hào)時(shí)（即MV0）,對(duì)稱(chēng)軸

在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置：拋物線(xiàn)與y軸交于

(0,c)；拋物線(xiàn)與入軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=〃-4ac>0時(shí)一，拋

物線(xiàn)與％軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=加-4%=0時(shí)，拋物線(xiàn)與％軸有1個(gè)交

點(diǎn)；△=〃-4acV0時(shí)，拋物線(xiàn)與1軸沒(méi)有交點(diǎn).

a+b(a<b)

8.對(duì)于不為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,如果規(guī)定：a*b=,靛〉b),那

【分析】先根據(jù)規(guī)定得出函數(shù)的解析式，再利用一次函數(shù)與

反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.

【解答】解：由題意，可得當(dāng)2V%,即％>2時(shí)，y=2+%,y是％的

一次函數(shù)，圖象是一條射線(xiàn)除去端點(diǎn)，故A、。錯(cuò)誤；

當(dāng)22%,即％W2時(shí)，)=-2,y是％的反比例函數(shù)，圖象是雙曲線(xiàn)，

X

分布在第二、四象限，其中在第四象限時(shí)，0VxW2,故B錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，函數(shù)的圖象，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的

圖象性質(zhì)，根據(jù)新定義得出函數(shù)y=2i.x的解析式是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共8小題）

9.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC=5,AB=6,那么cosB

5

—6-

【分析】直接利用銳角三角函數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：???NC=90°,BC=5,AB=6,

故答案為：

0

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確把握定義是解題

關(guān)鍵.

10.若2"2=3〃，那么m：n=3：2

【分析】逆用比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可求解.

【解答】解：,.,2加=3〃,

.\m：n=3：2.

故答案為：3：2.

【點(diǎn)評(píng)】考查了比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若曰=《，則

bd

ad=bc.

11.已知反比例函數(shù)曠=呼，當(dāng)%>0時(shí)，y隨％增大而減小，則“

的取值范圍是加>2.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)>=呼，當(dāng)％>0時(shí)，y隨％增大而減小，

可得出m-2>0,解之即可得出力的取值范圍.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=手，當(dāng)％>0時(shí)，y隨％增大而減小，

'.m-2>0,

解得：m>2.

故答案為：相>2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)找出

m-2>0是解題的關(guān)鍵.

12.永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九

層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌.如圖，在A處測(cè)得N

CAD=30°,在8處測(cè)得NC8D=45°,并測(cè)得AB=52米，那么永

定塔的高CD約是74米.殳1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

【分析】首先證明3。=。，設(shè)8D=C￡)=%,在RtZXACQ中，由N

A=30°,推出AO=?CZ),由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，?.,CDJ_AD,ZCBD=45°,

ZCDB=90°,ZCBD=ZDCB=45°,

：.BD=CD,設(shè)8D=C￡)=%,

在RtZXACQ中，VZA=30°,

AD=yf3CDf

；.52+%=\[3x,

.，.％=而_］弋74(m),

故答案為74,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)

構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

13.如圖，。。的直徑A3垂直于弦CQ,垂足為及如果N8=60°,

AC=4,那么CD的長(zhǎng)為4.

【分析】由A8是。。的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求

得NACB=90°,又由NB=60°,AC=4,即可求得的長(zhǎng)，

然后由A8_LCQ,可求得CE的長(zhǎng)，又由垂徑定理，求得答案.

【解答】解：???AB是的直徑，

AZACB=90°,

,.,ZB=60°,AC=4,

?_AC____4V

tan60。=3'

'：AB.LCD,

.*.CE=BC*sin60°=里乂烏=2,

32

：.CD=2CE=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及三角函數(shù)的性質(zhì).注

意直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到NAGD=900是關(guān)鍵.

14.已知某拋物線(xiàn)上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)了,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:

那么該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-4）.

x-2-1012

y???50-3-4-3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求得對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而根據(jù)表格的數(shù)據(jù)即

可得到拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：???拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0,-3）和（2,-3）,

...拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程為直線(xiàn)x=警=1，

?.?當(dāng)％=1時(shí)，y=-4,

...拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）；

故答案為：（1,-4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解

題的關(guān)鍵.

15.劉徵是我國(guó)古代最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他在《九算術(shù)圓田術(shù)）中

用“割圓術(shù)”證明了圓面積的精確公式，并給出了計(jì)算圓周率的

科學(xué)方法（注：圓周率=圓的周長(zhǎng)與該圓直徑的比值）

“割圓術(shù)”就是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，來(lái)無(wú)限逼近“圓面積”，

劉徽形容他的“割圓術(shù)”說(shuō)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，

以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣.

E

劉徽（約225宅WJ295年）

劉徽計(jì)算圓周率是從正六邊形開(kāi)始的，易知圓的內(nèi)接正六邊形可分為

六個(gè)全等的正三角形，每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為圓的半徑R此時(shí)圓

內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為6R,如果將圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)等同于

圓的周長(zhǎng)，可得圓周率為3.當(dāng)正十二邊形內(nèi)接于圓時(shí)，如果按照

上述方法計(jì)算，可得圓周率為3.12.（參考數(shù)據(jù)：sin/5°=0.26）

【分析】連接04、。42,根據(jù)正十二邊形的性質(zhì)得到NAOA2=30°,

△A0A2是等腰三角形，作OMJ_Ai4于根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)

合一的性質(zhì)得出N4OM=15°,AiAi=2AiM.設(shè)圓的半徑R,解

直角△AQM,求出進(jìn)而得到正十二邊形的周長(zhǎng)L,那么圓

周率71^

【解答】解：如圖，設(shè)半徑為R的圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)

連接04、OXi,

'：十二邊形AIA2-AI2是正十二邊形，

ZAIOA2=30°.

作OM，A]A2于又04=042,

ZAiOM=\5°,A\A2=2A\M.

在直角△AiOM中，4M=O4?sinNAiOM=0.26R,

.?.AIA2=24M=0.52R,

.,.￡=12AIA2=6.24/?,

圓周率ir-七=賽區(qū)=3.12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，正多邊形和圓，等腰三

角形的性質(zhì)，求出正十二邊形的周長(zhǎng)力是解題的關(guān)鍵.

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們思考如下問(wèn)題：

請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)四等分眾.

小亮的作法如下：

如圖，

(1)連接A&

(2)作A3的垂直平分線(xiàn)CD交立于點(diǎn)M.交A3于點(diǎn)T；

(3)分別作線(xiàn)段AT,線(xiàn)段3T的垂直平分線(xiàn)ERGH,交金于N,P

兩點(diǎn)；

那么MM,P三點(diǎn)把右四等分.

老師問(wèn)：“小亮的作法正確嗎？”

請(qǐng)回備：小亮的作法不正確(“正確”或“不正確”)理由是EF,

G"平分的不是弧AM,所對(duì)的弦

【分析】由作法可知，弦4V與不相等，根據(jù)圓心角、弧、弦的

關(guān)系定理得到篇工前，即E尸平分的不是弧AM所對(duì)的弦.同理可得

G”平分的不是弧所對(duì)的弦.由此得出小亮的作法不正確.

【解答】解：小亮的作法不正確.理由是：

如圖，連結(jié)AN并延長(zhǎng)，交CD于J,連結(jié)MN,設(shè)EF與AB交于1.

由作法可知，EF//CD,AI=IT,

：.AN=NJ,

'：ZNMJ>ZNJM,

：.NJ>MN,

：.AN>MN,

.,.弦AN與MN不相等，

則余W輔，即E/平分的不是弧AM所對(duì)的弦.

同理可得GH平分的不是弧BM所對(duì)的弦.

故答案為不正確；EF,GH平分的不是弧AM,3M所對(duì)的弦.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，圓心

角、弧、弦的關(guān)系定理.根據(jù)作法得出弦AN與MN不相等或弦

與不相等是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共68分，第17~22題，每小題5分；第23~26題，

每小題6分；第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、

驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程.

17.（本小題滿(mǎn)分5分）

解：原式="一2x」+l..............................................................3分

22

.................................................................................5分

=24

18.（本小題滿(mǎn)分5分）

證明：VZA=ZC,ZAOB=ZCOD,

.............3分

?.?-A-O=-A-B?

COCD

VAO=4,CO=2,CD=3,

AB=6.....................................................................5分

19.（本小題滿(mǎn)分5分）

解：依題意，得一4〃一5=0................3分

nm2-4n=5.

mn2—4〃+〃？=6,

5+m=6.m—\.........................5分

20.（本小題滿(mǎn)分5分）

解：（1）B..............................3分

（2）0.50..............................5分

21.（本小題滿(mǎn)分5分）

（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示：

..............3分

（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；..........4分

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切

線(xiàn)..............5分

22.（本小題滿(mǎn)分5分）

解：在R￡O以中，

,「tanNDPA=，

PD

二.AD=PDtanZDPA...................2分

在RtADPB中，

7tanADPB=—，

PD

二.BD=PDtanZDPB....................4分

二.AB=BD-AD=PD\tanNDPB-tanZDPA）.

VAB=5.6,ZDPB=53°,ZZ羽4=18°,

：.PD=56..............................5分

答:此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離。的長(zhǎng)為5.6千米.

23.（本小題滿(mǎn)分6分）

解：（1）\?直線(xiàn)y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,a）,

a=1................................1分

...A（2,l）

又?.?雙曲線(xiàn)y=V經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

X

k-2................................2分

（2）①當(dāng)相=1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）.

...直線(xiàn)處的解析式為

y=-x+3......................................3分

\?直線(xiàn)a與x軸交于點(diǎn)B（b,O）,

「"=3............................4分

②人=1或3.........................6分

24.（本小題滿(mǎn)分6分）

解：本題答案不唯一，如：

（1）

x/cm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.762.411.660

...................................................................1分

(2)

y

4

3

2

1

YiiiiiXi>

Q1234567%

...........................................................................4分

(3)1.38或4.62.6分

說(shuō)明：允許(1)的數(shù)值誤差范圍±0.05；(3)的數(shù)值誤差范圍±0.2

25.(本小題滿(mǎn)分6分)

(1)證明：如圖，連接比.

,/OELAB,

NEGE=90°.

：PC與。。相切于點(diǎn)C,

ZOCP=9()1分

Z￡+ZEFG=ZOCF+ZPCF=9()

OE=OC,

ZE=ZOCF.2分

二.ZEFG=ZPCF.

又?:ZEFG=NPFC,

：.NPCF=4PFC.

PC=PF.3分

(2)方法一:

解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)”.

?/OB//PC,NOCP=90°,

ZBOC=90°.

OB=OC,

:.ZOBC=NOCB=45°.

:.ZBCH=NOBC=45°.

在RtABHC中，BC=3厄,

可得B〃=BCsin45°=3,a/=8Ccos45=34分

在RtAB"P中，tanP=-,

4

可得「〃=空-=4................5分

tanP

/.BP=ylPH2+BH2=5.

PC=PH+CH=7.

：.PF=PC.

FB=PF—PB=PC—PB=2.6分

方法二:

OB=OC,

NOBC=NOCB=45

在RtAOBC中，BC=3厄，

可得OB=5Csin45°=3.........................................4分

OE=OB=3.

3

*.*/GBO=/P,tanP=-,

4

3

/.tanZGBO=-.

4

在RtAGBO中，lanZGBO=—，OB=3.

GB

；.OG=|,Gfi=y........................................................5分

EG=OE-OG=-.

5

在RtAO/P中,tanP=——，CH2+PH2=PC2.

PH

設(shè)CH=3x,則物=4x,PC=5x.

;PC=PF,

FH=PF-PH=x.

ZEFG=NCFH,NEGF=/CHF=90，

：.AEGFsACHF

?.?-F-G=-F-H-=一\.

EGCH3

.-1—2

??rU=-E(j=—.

35

二.FB=GB—FG=2............................................6分

方法三：

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)”，連接AC.

,/OB//PC,NOCP=90。，

ZBOC=90°.

/.ZA=-ZBOC=4504分

2

在RtZSCHP中，tanP=—=-,

PH4

設(shè)S=3x,貝！]PH=4x,PC=5x.

在RtAA//C中，ZA=45°，CH=3x,

/.AH=CH=3x,AC=3y[2x.

：.PA=AH+PH=1x.............................5分

VZP=ZP,ZPCB=ZA=45°,

NCBsNAC.

.PBPCBC

??----=-----=-----,

PCPAAC

*/BC=3y/2,

7

x=-,PC=7,PB=5.

5

PF=PC,

：.PF=1.

.IFB=PF-PB=2............................................6分

方法四：解：如圖，延長(zhǎng)CO交4P于點(diǎn)M.

*.*OB//PC,NOCP=90°,

二.ZBOC=90°.

在Rtz^OBC中，BC=3五,OB=OC,

可得

OB=3.....................................................4分

3

*.*ZMBO=ZP,tanP=-,

4

3

.*?tanZ.MBO=二.

4

在Rt/XAZBO中，tanZMBO==—，

OB4

可得OM=2,BM=—....................................5分

44

在Rt/\PCM中，tanP=0”=—>

PC4

可得PC=7,PM=史.

:.PB=PM-BM=5,PF=PC=1.

FB=PF—PB=2...........................................6分

26.(本小題滿(mǎn)分6分)

解：(1)①當(dāng)4=1時(shí)，y=4x?-8x...........1分

當(dāng)y=0時(shí)，4x2-8x=0,

解得％=0,x2=2.

工拋物線(xiàn)G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,（2,0）.

............................................................2分

②當(dāng)〃=0時(shí)，拋物線(xiàn)G與線(xiàn)段AN有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)〃=2時(shí)，拋物線(xiàn)G與線(xiàn)段AN有兩個(gè)交點(diǎn).

結(jié)合圖象可得0(〃<2............................4分

(2)〃4-3或〃N1....