2021屆 人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.在AA8C中，P,。分別是A8,8c的三等分點，且=(AB,8Q=gBC,若

AB^a,AC=b,則所=()

【一二1

A.-a+-1bB.——1a_+-1b/D.——1a-——br

333333

【答案】A

【解析】

___一___9—1__2—1__—1—1__11一

PQ^PB+BQ^-AB+-BC^-AB+-(AC-AB)^-AB+-AC^-a+-b,

33333333

故選A.

2.已知。是AA5C內(nèi)部一點，OA+OB+OC=Q>ABAC=2>且N8AC=60。,

則AOBC的面積為

A.-B.—C.—D.-

2323

【答案】B

【解析】

因為34+0后+3=6，所以礪+礪=—玄，所以。為A4BC的重心，

所以AOBC的面積為AABC的

3

因為A從恁=2，所以|通,恁JcosNB4c=2,

因為N84C=60°，所以|通H恁|=4,

△ABC的面積為g［荏HX^sinZR4C=G,

所以AOBC的面積為丑，故選B.

3

3.與向量“=(12,5)平行的單位向量為()

B.

。?借卷或HIT)

+U+/

13，-13,

【答案】C

【解析】

【分析】

,a,a

向量4=(12,5)平行的單位向量為±E=±G，計算得到答案.

H13

【詳解】

向量￡=(12,5)平行的單位向量為±百=土看,

故選：C.

【點睛】

本題考查了單位向量，意在考查學生的計算能力.

4.已知向量。石滿足,卜血，。不=1,且。石的夾角為60。，則忖=()

76

B.D.0

62

【答案】D

【解析】

試題分析：a?B刊事|cos^-=>/2y=1,|^|=-y==\/2.

考點：向量運算.

5.設非零向量。B、e滿足何=同=忖,"+5=入則向量2與向量]的夾角為（

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】C

【解析】

試題分析：同2=萬+5（=52+戶+2萬.5,?.?同=4=|c|,:.a-b=~^2,

設萬與萬的夾角為。（。€[0。,1801）.

a-ca-[a+b^a2+a-b~2^1

cos0=r-n-r=-~-=-------——=----g—=-

同同同a2a22

：,0=60.故C正確.

考點：1向量的數(shù)量積；2向量的模.

=+〃甌，則幺=(

6.設。為AABC所在平面內(nèi)一點，若而=2詼，CD=

A

11

A.~2B.------C.一D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由麗=2而，根據(jù)向量運算的“三角形法則”可得加:=-CA+2CB^結(jié)合

CD=ACA+^iCB,求得乙〃的值，從而可得結(jié)果.

【詳解】

vA5=2BD=>AC+CD=2（BC+CD）,

:.CD=AC-2BC=-CA+2CB

—ACA+RCB,

A.=—1,zz=2,—=—2,故選A.

2

【點睛】

本題主要考查向量的幾何運算，屬于中檔題.向量的幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識解

答，運算法則是：（1）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）;

（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.

7.下列說法正確的是（）

A.向量荏〃麗就是通所在的直線平行于而所在的直線

B.共線向量是在一條直線上的向量

C.長度相等的向量叫做相等向量

D.零向量長度等于0

【答案】D

【解析】

試題分析：向量而〃麗是指而所在的直線平行或重合于前所在的直線，故A錯；

共線向量所在直線可能重合，也可能平行，故B錯；方向相同且長度相等的向量叫相等

向量，故C錯；長度為0的向量叫做零向量，記作。，故D正確，故選D.

考點：平面向量的相關(guān)概念.

8.已知向量1=（2,—1）,3=（-1,3）,則垢-B在向量3+B方向上的投影等于（）

A.-275B.-V5C.0D.石

【答案】B

【解析】

【分析】

先由向量￡=(2,-1),5=(-1,3),得到%—B，3+B的坐標，再根據(jù)向量投影公式，

代入空包g⑥求解

\a+b\

【詳解】

已知向量a=(2,-1),b=(-1,3)，

所以2a-B=(5,-5),a+》=(l,2)，

所以向量2々-石在向量￡+B方向上的投影等于

(2々一歷-0+歷_(5,—5)(,2)_—5一r-

\a+h\Vl2+22石

故選：B.

【點睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

9.設向量￡,日足同=2,忖=1,a-(a+h)=3,則￡與5的夾角為

7t71571271

A.—B.—C.----D.-----

6363

【答案】D

【解析】

分析：首先利用向量的數(shù)量積的運算律，化簡求得￡/=-1，利用向量夾角余弦公式,

求得對應角的余弦值，求得結(jié)果.

詳解：向量a,坂滿足忖=2，W=1,a-(a+^)=3.

可得比5=3，所以4+。石=3,可求得=-I，

/_r\_ab_-1_1

所以cos@力麗=袤=力

因為向量夾角的取值范圍是［0,兀］，所以故選D.

點睛：該題考查的是有關(guān)向量的夾角的大小問題，在求解的過程中，需要先求出向量夾

角的余弦值，通過余弦值來確定角的大小，利用題的條件，求得向量的數(shù)量積，之后應

用公式求得結(jié)果.

10.在AA3C中，若麗?麗=礪衣=花?礪，則。是AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】

【分析】

由麗?麗=礪?花得到麗?（方一詼）=6從而麗=0所以如，力a同理

得到OALBC,所以點。是△/!%的三條高的交點.

【詳解】

解：：礪O豆=0反方..?麗?（函一玄）=0；

?■?OBC4=0；

J.OBVAC,

同理由。4?。月=OC?函，得到OAVBC

點。是△兒的三條高的交點.

故選〃.

【點睛】

本題考查三角形五心、向量的數(shù)量積及向量的運算，考查轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想.

UUllUUU

11.已知M（—2,7）,N（10,-2）,點P是線段MN上的點，且PN=-2PM,則點P的

坐標是

A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)

【答案】D

【解析】

ULU11UUU

試題分析：設點P(x,y),PN=(10—x,—2—y),9=(—2—x,7—y),所以

10-x=-2(-2-x][解得x=2

y=4

考點：向量的坐標運算。

12.在平行四邊形。A8中,通=麗+礪等于（）

A.ACB-BDC-DAD-BC

【答案】D

【解析】

AB-DC-CB=AB-DB=AB+BD=AD<又萬=詼，故選D.

考點：向量的加、減法運算.

二、填空題

13.已知向量樂J,而，|麗|=3,則況.。豆

【答案】9.

【解析】

因為向量麗j_麗，所以通=0，即麗?（麗一麗）=o,所以

OAOB-OA^O'即次?麗=加=9,故應填9?

考點：本題考查向量的數(shù)量積的基本運算，屬基礎題.

14.已知a=（2,1）,6=（加,一1）,且a_L（a-。），貝!）實數(shù)〃?=

【答案】3

【解析】

因為〃，（〃一/?）,所以Q?（a—h）=0,即6—2機=0,解得〃2=3.

15.已知向量Q=（4,X），/?=（2,1），若［“-L2/>,則x=,

【答案】-3

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算，即可求解.

【詳解】

因為a=（4,x），b=（2,1），

所以a—b=（2,x—l），2。=（4,2），

因為］a-b\12b,

所以（a—力1,2/?=8+2x—2=0,

解得：x=—3,

故答案為：-3

【點睛】

本題主要考查了向量加法的坐標運算，數(shù)量積的坐標運算，向量垂直的坐標表示，屬于

中檔題.

16.已知正方形ABCO中，A/是BC的中點，〃=九疵+〃詼，則4+〃=

【答案】|

【解析】

【分析】

找一組基向量分別表示出AC,AM；BD,再用待定系數(shù)法即可求得.

【詳解】

解：令麗=點而=瓦則AC=a+b,AM=a+^b,BD=b-a,

有*/AC=AAM+/JBD,a+b=Ma+-a)=(4-〃)4+(；%+〃歷,

A=—

???,1,,解得：，:

1-2A+u=l叫1

【點睛】

考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，相等向量的概念，平

面向量基本定理.

三、解答題

17.已知M=(siniyx,2costvx),5=(gcos公v-sin6yx,costyx),其中0>(),若函

數(shù)〃x)=2無B-1,且它的最小正周期為2乃.(普通中學只做L2問)

(1)求。的值，并求出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵當xem,m+|(其中相目。,司)時，記函數(shù)/(x)的最大值與最小值分別為

/⑺皿與/⑺2設。⑻=/(力2一/(6min，求函數(shù)夕⑹的解析式；

(3)在第(2)問的前提下，已知函數(shù)g(x)=ln,T+。，/z(x)=x|x-l|+2V3,

若對于任意玉e[(),句，W?1,+°0),總存在芻€(0,+°o),使得

。(內(nèi))+8(々)>〃(玉)成立，求實數(shù)1的取值范圍.

【答案】(1)?=-xe2k7r--,Ik/c+—,keZ；

266

2A/3-2Gsin("?+—),0<m<—

66

2A/3sin(加+—)-2A/3sin(w+—),—<m<

,c、，、r3663/八仄

(2)0(M={；(3)z>e^-i.

2>/3sin(m+—)+2A/3,—<m<——

3312

2>/3sin(7n+—)+2指,<m<71

612

【解析】

試題分析：(1)利用三角公式，簡化函數(shù)/(x),然后求單調(diào)區(qū)間；(2)分類討論求函

數(shù)的最值，進而得到函數(shù)夕(加)的解析式；(3)由題意可知

.+g(x).>〃(X).,研究函數(shù)的最值即可.

試題解析：

/(%)=2無6—1=2|^sincox?V3coscox-sinj+2cos26yx-1

=2(Vasinscoscox-sin2Gx+2cos2Gx)-1

..1-cos2s,-1,

sin2s------------+l+cos2Gx-1

2)

、

=26立cos2o>x=2>/3sin2a>x+—

2273

/(x)=2\ZJsin[x+]J

(1)*.*T==2),?.())=—.

2co2

7/TTJT

單調(diào)遞增區(qū)間為：2k7t-----<x-\——<2k"——，

232

57r7t

即XE2k/r------,2k冗+一,keZ.

66

(2)若0〈機《工，f(x)=273,

6V/max

7t5/r

m+—=25/3sinm-\------

26

51

此時(p{tn)=2^3-2gsinm+——

6

若2＜小〈看，/（6，皿=/（加）=2儡山71

"Z+—

3

71

m+—

2

（團+答），止匕時夕（/〃）=2Gsin154

=2>/3sin-2月sinm-\------

6

若與/(^)=/(/?)=2^sin71

maxm-\——

3

〃%n=-2/,

71

此時=2gsin機+——+25

3

71

若?，/(x)=fm+—

j2J、，maxJ2

/(初血=

一2百，此時夕(〃z)=2，5sin

243-2y/3sin[m+-^-j,0<

2鬲力"+。卜2鬲?〃上+皆”(陞年

綜上所述,夕(〃。=<

2y/3sin(/"+?)+2A/3,<m<

2y/3sin\m+—|+2>/3,<m<n

\6J12

(3)由題意可知夕(〃?).+g(x).>h(x)..

r\/minJ\/min\/min

對于3(M，若OWmWa,/(加)￡[G,2G]；若W<mW^~,

°(〃2)=

若等^?(m)e^2>/3-76,273j；若;^</九《》，

夕(/篦)￡(26-指,G].

綜上所述，。(㈤-遙

"2g,2#],^(x)n,n=273-76.

對于從無)，由于x|x—1|之0,且等號當％=1時能取到，???//(XL=26.

對于g(x)，不難得出g(x)>ln(l+。,

于是0(x)+8(工2)>2\/3—>/6+ln(l+/).

2.yjs-+ln（l+f）>2,\/3,解得：/2e""-1?

點睛：本題以平面向量為載體，重點考查了三角函數(shù)的最值，屬于難題.第2間區(qū)間是

動態(tài)的，此時要抓住區(qū)間端點與三角函數(shù)極值點的關(guān)系，合理有序的分類至關(guān)重要；不

等式恒成立問題（有解問題）往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，本題運算量較大，細致認真

是良好的解題習慣.

18.如圖，在AABC中，己知力,七分別在邊上，且AB=3AD,8C=2BE.

（1）用向量而，衣表示詼；

（2）設A3=9,AC=6,A=60°,求線段OE的長.

【答案】（1）DE=-AB+-AC；（2）DE=，S.

622

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量的線性表示與運算法則，先將麗、耳后=用而，川心表

示，進而利用向量加法的三角形法則求解即可;（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長公式，

求出|方可即可.

試題解析：

（1）由題意得：

DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-（AC-AB}=-AB+-AC.

3232、>62

（2）由龐=，A方+,正,

62

22

\DEf^DEJ-AB+-AC\^-AB+^AC+-^

I1（62J3664

=—X92+-X9X6XCOS600+-X62=—,所以DE=>近.

366442

19.在平面直角坐標系xOy中，己A(l,0),B(0,l),C(2,5).

(1)求|2旗+3號的值;

(2)求cos/BAC.

【答案】(1)5五；(2)^1.

13

【解析】

【分析】

(1)由向量坐標運算可求得2通+/=(-1,7),由模長運算求得結(jié)果;

ABAC

⑵由cosN8AC=同國可求得結(jié)果.

【詳解】

_____UU11__________

(1)-.MS=(-1,1),AC=(1,5).-.2A5+AC=(-1,7)

,-.|2AB+AC\=Vl+49=5>/2

ABAC_-lxl+lx52A/13

(2)cosABAC

I福.1市「J—Ip+Fx廬丁13

【點睛】

本題考查向量模長和夾角的求解問題，關(guān)鍵是熟練應用平面向量的坐標運算，屬于基礎

20.設函=(3,1),OB=(-1,2),OCLOB>比〃礪，試求滿足加+礪=反

的。力的坐標（O為坐標原點）.

【答案】（11,6）

【解析】

試題分析：設出方的坐標，利用向量垂直數(shù)量積為0及向量共線的充要條件，列出方

程，求出反的坐標，再利用向量的坐標運算求出麗的坐標

OCOB=0(尤,y)?(-1.2)=0

試題解析：設OC=（x,y），由題意得:{BC=AOAn%,y)—(—l,2)=〃3,l)

x=2y

"x=14

=>{x+1=32=>{^OC=(14,7)

y=7

y-2=A7

OD=OC-OA=(11,6)

考點：平面向量的坐標運算

21.已知a=（cosa,sina）,3=（cos尸,sin尸），0＜。＜，＜》.

（1）求日|的值;

（2）求證：Z+B與B互相垂直.

【答案】（1）1;（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）利用數(shù)量積的性質(zhì)和平方關(guān)系即可得出；（2）只要證明（￡+&?（￡-"=（）

即可.

試題解析：（1）解：：a=（cosa,sina）,|a|=-Jcos2cr+sin2a=1.

(2)證明：?.?G+7)?&-力=1-b=|3|2—|1|2=1—1=0,.?.1+」與「一辦互相

垂直.

考點：1.數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)