深圳初中數(shù)學(xué)八年級下冊期中典型試卷3

2021-2022學(xué)年下學(xué)期深圳初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷3

選擇題（共10小題）

1.（2021春?羅湖區(qū)期中）下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

c謠6029

2.（2021春?羅湖區(qū)期中）x的■1與x的和不超過5用不等式可以表示為（）

8

A.三+xW5B.—+x<5C.—+x^5D.—+x>5

8888

3.（2021春?龍華區(qū)期中）龍華區(qū)正推行垃圾分類政策，下列垃圾分類標(biāo)識中，是中心對稱

圖形的是（）

C.

4.（2021春?龍華區(qū)期中）把二次三項式，-5x-14分解因式，下列結(jié)果正確的是（）

A.(x+2)(x+7)B.(x-2)(x-7)C.(x-2)(x+7)D.(x+2)(x-7)

2

5.(2021春?濟陽區(qū)期末)化簡的結(jié)果是()

x-11-x

A.xB.-xC.x-1D.x+1

6.(2020?信陽一模)把不等式組］2X+3>1的解集表示在數(shù)軸上，正確的是()

,x-3<0

B.-10123

c.-10123

一A

D.-10123

7.（2020秋?東西湖區(qū)期末）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二工可變形為（）

a-b

A.—B.C.D.__2-

-a-ba+ba-ba+b

8.（2019春?金山區(qū)期中）用換元法解分式方程7-'+二一=1時，如果設(shè)/-x=y,則

2

x-x

原方程可化為關(guān)于y的整式方程是（）

A.y2+2y+l=0B.y^+2y-1=0C.y2-y+2—QD.y^+y-2=0

9.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，已知在aABC中，CQ是48邊上的高線，BE平分/

ABC,交CD于點、E,BC=5,DE=2,則4BCE的面積等于（）

C.4D.7

10.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，點P為定角平分線上的一個定點，且NMPN

與NAOB互補.若NMPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、08相交于M、N

兩點，則以下結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON的值不變；③MN的長不變；④四邊形PA/ON

的面積不變,其中，正確結(jié)論的是（)

A.①②③B.①②④C.①③④D.@(3)(4)

二.填空題（共5小題）

x〉l解集是

11.（2021春?羅湖區(qū)期中）不等式組J

x）2

12.（2021春?羅湖區(qū)期中）如圖，當(dāng)y<0時，自變量x的取值范圍是

13.（2019秋?當(dāng)涂縣期末）如圖，一次函數(shù)yi=x+b與一次函數(shù)”=息+4的圖象交于點P

（1,3）,則關(guān)于x的不等式x+8>h+4的解集是.

14.（2016?邯鄲二模）如圖所示，已知△ABC的周長是20,OB、OC分別平分NA8C和N

15.（2021春?寶安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，NA8c=30°,將線段C4繞點C順時針

旋轉(zhuǎn)30°至CA',過點A'作A'EVBC,垂足為E,若AB=8,CE=5,則BC的長

16.（2021春?寶安區(qū)期中）分解因式:

(1)cr'b-ab

(2)-9?+6x-1

5x-l<3(x+1)

17.(2021春?大東區(qū)期末)解不等式組(2x-l5x+l/，并把它們的解集表示在數(shù)軸上?

-2-

112

18.(2021春?羅湖區(qū)校級期末)解分式方程：一.

x+11-x*2-]

19.(2021秋?臨江市期末)如圖，在△ABC中，A8=AC,點。、E、尸分別在48、BC、

AC邊上，SLBE=CF,BD=CE.

(1)求證：是等腰三角形；

(2)當(dāng)NA=40°時，求/。的度數(shù).

20.(2021春?羅湖區(qū)校級期末)如圖，AD平分NB4C,DELAB,DF±AC,垂足分別為點

E,F,DB=DC.

(1)求證：BE=CF；

(2)如果BO〃4C,ZDAF=15°,求證：AB=2DF.

21.(2019秋?懷集縣期末)已知，如圖，/MBC為等邊三角形，AE=CD,AD,8E相交于

點P,BQLAQ于Q.

(1)求證：BE=AD；

(2)求N8PQ的度數(shù)；

(3)若PQ=3,PE=\,求AO的長.

E

p.

\

~D------、C

22.(2021春?羅湖區(qū)期中)已知AAOB和△MON都是等腰直角三角形，NAOB=NMON

=90°.

(1)如圖1：連AM,BN,求證：△AOM四△8ON；

(2)若將RtZ\MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A,M,N恰好在同一條直線上時，如圖2

所示，線段O”〃BN,0〃與AM交點為H,若08=4,ON=3,求出線段AM的長；

(3)若將△M0N繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點N恰好落在AB邊上時，如圖3所示，MN

與AO交點為P,求證：MP2+PN1=2PO2.

M

圖1圖2圖3

2021-2022學(xué)年下學(xué)期深圳初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷3

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2021春?羅湖區(qū)期中）下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

.逸D.W

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

。、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后與原圖重合.

2.（2021春?羅湖區(qū)期中）x的工與x的和不超過5用不等式可以表示為（）

8

A.三+xW5B.A+X<5C.三+X25D.三+X>5

8888

【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；符號意識；運算能力.

【分析】理解：x的工，即工，然后與x的和即表示為工+x,不超過5即W5,據(jù)此可

888

得答案.

【解答】解："x的工與x的和不超過5”用不等式表示為L+X<5,

88

故選：A.

【點評】此題考查一元一次不等式問題，讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語，弄清運算的先后順

序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式.

3.(2021春?龍華區(qū)期中)龍華區(qū)正推行垃圾分類政策，下列垃圾分類標(biāo)識中，是中心對稱

圖形的是()

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

8、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度

后與原圖重合.

4.(2021春?龍華區(qū)期中)把二次三項式/-5x-14分解因式，下列結(jié)果正確的是()

A.(x+2)(x+7)B.(%-2)(x-7)C.(%-2)(x+7)D.(x+2)(x-7)

【考點】因式分解-十字相乘法等.

【專題】整式；運算能力.

【分析】根據(jù)整式乘法逐項進行判斷即可.

【解答】解：因為(x+2)(x+7)=/+9x+14,

(x-2)(x-7)=x1-9x+14,

(.x-2)(x+7)=/+5x-14,

(x+2)(x-7)—x1-5x-14,

所以選項。符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查因式分解，掌握因式分解的意義是解決問題的前提.

2

5.（2021春?濟陽區(qū)期末）化簡—+上的結(jié)果是（）

x-11-x

A.xB.-xC.x-1D.x+1

【考點】分式的加減法.

【專題】分式；運算能力.

【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=/z￡=x（x-l）

X-1X-1

故選：A.

【點評】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算，本題屬于基礎(chǔ)題型.

6.（2020?信陽一模）把不等式組]2X+3>1的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（

)

lx-3<0

1???(

D.-10123

【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】計算題；一元一次不等式（組）及應(yīng)用：運算能力.

【分析】先求出不等式組的解集并在數(shù)軸上表示出來，找出符合條件的選項即可.

【解答】解：（2X+3>1①

[x-340（2）

由①得x>-I,由②得xW3,

故此不等式組的解集為-1<XW3,

在數(shù)軸上的表示如選項B所示.

故選：B.

【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表

示出來（〉,》向右畫；V,w向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某

一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有

幾個就要幾個.在表示解集時“》”，“W”要用實心圓點表示；要用空心圓

點表示.

7.（2020秋?東西湖區(qū)期末）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二工可變形為（）

a-b

A.aB.acaD.2—

-a-ba+ba-ba+b

【考點】分式的基本性質(zhì).

【專題】計算題.

【分析】分式的恒等變形是依據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母同時乘以或除以同一

個非0的數(shù)或式子，分式的值不變.

【解答】解：依題意得：二-=」_,

a-ba-b

故選：C.

【點評】此題考查的是分式的性質(zhì)，將負(fù)號提出不影響分式的值.

8.（2019春?金山區(qū)期中）用換元法解分式方程/-x+_2_=l時，如果設(shè)/-x=y,則

x2-x

原方程可化為關(guān)于y的整式方程是（）

A.y2+2y+l=0B.y2+2y-1=0C.y2->'+2=0D.y2+y-2=0

【考點】換元法解分式方程.

【分析】根據(jù)換元法，可得答案.

【解答】解：設(shè)』-x=y,原方程等價于y-1+2=0,

y

兩邊都乘以y,得

y2-y+2=0,

故選：C.

【點評】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關(guān)鍵.

9.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，已知在AABC中，8是AB邊上的高線，8E平分N

ABC,交CD于點、E,BC=5,DE=2,則△BCE的面積等于（）

A

D,

E

--------------”

A.10B.5C.4D.7

【考點】角平分線的性質(zhì).

【分析】作EFYBC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到E尸=DE=2,根據(jù)三角形面積

公式計算即可.

【解答】解：作EFL8c于尸，

「BE平分/ABC,EF1.BC,ED1.AB,

：.EF=DE=2,

二ZYBCE的面積=1X8C義EF=5.

2

故選：B.

【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

10.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，點P為定角N4O8平分線上的一個定點，且NMPN

與NA08互補.若NMPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、。8相交于M、N

兩點，則以下結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON的值不變：③MN的長不變；④四邊形尸MON

的面積不變，其中，正確結(jié)論的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】如圖作PE10A于E,PFVOB于F.只要證明出△尸OF,△PEM絲△尸/W,

即可一一判斷

【解答】解：如圖作PEJ_04于E,P/JLOB于R

,：NPEO=NPFO=90°,

：.ZEPF+ZAOB=\SOQ,

：/MPN+N4OB=180°,

NEPF=ZMPN,

NEPM=ZFPN,

；0尸平分/AOB,PEIOA^E,PFLOB^F,

...NPEO=/PFO=90°,

在△POE和△PO產(chǎn)中，

rZP0E=ZP0F

<NPE0=/PF0，

PO=PO

:.△POEmAPOF(AAS),

：.OE=OF,PE=PF,

在△戶創(chuàng)和△PFN中，

，ZMPE=ZNPF

<PE=PF，

ZPEM=ZPFN

：./\PEM^/\PFN(ASA),

：.EM=NF,PM=PN,故①正確，

SAPEM=S&PNF，

*,?S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值,故④正確,

-：OM+ON=OE+ME+(OF-NF)=20E,是定值，故②正確，

在旋轉(zhuǎn)過程中，△2〃汽是等腰三角形，形狀是相似的，因為尸M的長度是變化的，所以

MN的長度是變化的，故③錯誤，

故選：B.

A

【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

二.填空題（共5小題）

11.（2021春?羅湖區(qū)期中）不等式組解集是x22.

Ix）2

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【分析】根據(jù)“同大取大”解答即可.

【解答】解：不等式組（x>l解集是xZ2.

\x>2

故答案為：x》2.

【點評】本題考查的是不等式解集，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大

大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

12.（2021春?羅湖區(qū)期中）如圖，當(dāng)y<0時，自變量x的取值范圍是-2.

【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.

【專題】函數(shù)及其圖象；模型思想.

【分析】根據(jù)圖象可直接得到答案.

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<-2時，函數(shù)圖象在x軸的下方，即當(dāng)x<-2時,

y<0.

故答案為：x<-2.

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是能從圖象中獲取信息.

13.（2019秋?當(dāng)涂縣期末）如圖，一次函數(shù)yi=x+〃與一次函數(shù)”=履+4的圖象交于點P

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式.

【分析】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>l時-，函數(shù)yi=x+b的圖象都在），2=自+4的圖象上方，

所以關(guān)于x的不等式x+b>kx+4的解集為x>\.

【解答］解：當(dāng)X>1時，x+h>kx+4,

即不等式x+Z?>fcr+4的解集為x>l.

故答案為x>l.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函

數(shù)y=or+8的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確

定直線y=fcv+6在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

14.（2016?邯鄲二模）如圖所示，已知△ABC的周長是20,08、OC分別平分乙48c和/

ACB,0￡>_LBC于。，且OD=a,則△A8C的面積是10。.

【考點】角平分線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點。到AB、AC、BC的距離都

相等（即OE=OD=OF）,從而可得到△48C的面積等于周長的一半乘以3,代入求出即

可.

【解答】解：如圖，連接04,過。作0E_LA8于E,0ELAC于凡R

,JOB.OC^\^^ZABC^ZACB,

：.0E=0F=0D=a,

?.?△48C的周長是20,0￡?_LBC于。，且0。=小

???SAABC=』XA8X0E+"8CX00+1XACX0F=JLX(A8+BC+AC)a

2222

――x20?=10?)

2

故答案為：10”.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面

積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.(2021春?寶安區(qū)期中)如圖，在△48C中，NABC=30°,將線段CA繞點C順時針

旋轉(zhuǎn)30°至CA',過點A'作A'ELBC,垂足為E,若AB=8,CE=5,則8C的長

為_2向_?

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；應(yīng)用意識.

【分析】過C作CF_LA8,尸為垂足，根據(jù)一個三角形的外角等和它不相鄰的兩個內(nèi)角

和，可得NA=N4'CE,即可證△AFC名△CE4',在48尸C中，再利用解直角三角可

得8C的值.

【解答】解：過C作CFLAB,F為垂足，

ZACE=ZABC+ZA,

又?.?/4BC=30°,

AZACE=30°+NA,

又；/ACE=30°+ZA'CE,

二/4=/4'CE,

在△AFC與△CE4'中，

'/AFC=/A'CE=90"

■ZA=ZAZCE，

AC=CAy

A/\AFC^/\CEA'(A45),

：.AF=CE=5,

在RtABFC中，

cos30°=BF_=^l5_=_3_,

BCBCBC

BC=——3

cos30展

~2~

故答案為2我.

【點評】本題考查全等三角形的判定，解直角三角形，解本題關(guān)鍵要熟練掌握全等三角

形的判定，解直角三角形和外角性質(zhì)等.

三.解答題(共7小題)

16.(2021春?寶安區(qū)期中)分解因式：

(1)a'b-ab

(2)-9?+6x-1

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】因式分解；運算能力.

【分析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(2)原式提取-1,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：⑴原式="id-1)

=ab(。+1)(?-1)；

(2)原式=-(9?-6x+l)

=-(3x-1)2.

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關(guān)鍵.

5x-l<3(x+1)

17.（2021春?大東區(qū)期末）解不等式組42x-l5x+l并把它們的解集表示在數(shù)軸上.

32<f

【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】分別求出兩個不等式的解集，然后求出兩個解集的公共部分即可得解.

’5x-l<3（x+1）①

【解答】解：,2x7_5x+l

32

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，1,

在數(shù)軸上表示如下：

^2~~~~0123^

所以不等式組的解集為：-lWx<2.

【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解.求

不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

18.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）解分式方程：=1--—

x+11-x

【考點】解分式方程.

【專題】計算題；分式方程及應(yīng)用；運算能力.

【分析】根據(jù)解分式方程的過程進行計算即可.

【解答】解：去分母得：X-l+x+l=f-1-

移項，合并同類項得2x=-1,

系數(shù)化為1得x=-2，

2

檢驗：把工=-工代入/-1W0,

2

所以原方程的解為x=

2

【點評】本題考查了解分式方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法，注意解分

式方程要驗根.

19.（2021秋?臨江市期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,點。、E、F分別在AB、BC、

AC邊上，S.BE=CF,BD=CE.

(1)求證：△DEF是等腰三角形；

(2)當(dāng)NA=40°時，求/。EF的度數(shù).

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】計算題；證明題.

【分析】(1)由AB=AC,ZABC=ZACB,BE=CF,BD=CE.利用邊角邊定理證明△

DBE^/\ECF,然后即可求證△OEF是等腰三角形.

(2)根據(jù)/A=40°可求出/ABC=/ACB=70°根據(jù)△OBE四&￡(下,利用三角形內(nèi)角

和定理即可求出NOE尸的度數(shù).

【解答】證明：\'AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

在△OBE和尸中

'BE=CF

,ZABC=ZACB>

BD=CE

ADBE會/\ECF,

：.DE=EF,

.?.△OE尸是等腰三角形；

(2)VADBE^AECF,

；./l=/3,N2=/4,

VZA+ZB+ZC=180°,

/.ZB=A(180°-40°)=70°

2

：.Zl+Z2=110°

.*.Z3+Z2=110°

NOEk=70°

【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題主要應(yīng)用了

三角形內(nèi)角和定理和平角是180°,因此有一定的難度，屬于中檔題.

20.(2021春?羅湖區(qū)校級期末)如圖，AO平分NB4C,DEVAB,DFLAC,垂足分別為點

E,F,DB=DC.

(1)求證：BE=CF；

(2)如果8￡>〃AC,ND4F=15°,求證：AB=2DF.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；幾何直觀.

【分析】(1)證明。E=￡)F,NE=NDFC=90°；進而證明RtZ\B￡?E絲RtZiQFC,即可

解決問題；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：(1)平分NBAC,DE1AB,DF1AC,

：.DE=DF,NE=NDFC=90°；

在RtABDE和RtADFC中，

<fBD=CD)

1DE=DF'

ARtABDE^RtADFC(HL),

：.BE=CF-,

(2)平分NBAC,ZDAF=15°,

：.ZBAC=30°,NBAD=/DAF,

".'BD//AC,

:.NDBE=NBAC=30°,ZDAF=ZBDA,

.'.ZBAD^ZBDA,

：.AB=BD,

在RtZ\8DE中，ZDBF=30",

：.BD=2DE,

：.AB=2DE,

平分/8AC,DEI.AB,DFLAC,

：.DE=DF,

：.AB=2DF.

【點評】該題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用等幾何知識點問

題；應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定.

21.（2019秋?懷集縣期末）已知，如圖，ZVIBC為等邊三角形，AE=CD,AD,BE相交于

點P,BQLAQ于Q.

（1）求證：BE=AD；

（2）求/BP。的度數(shù)；

（3）若PQ=3,PE=\,求AO的長.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；

（2）利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得/BPQ=60°；

（3）利用（2）的結(jié)果求得/P8Q=30°,所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”

得至lj2PQ=BP=6,則易求BE=BP+PE=7.

【解答】（1）證明：:△ABC為等邊三角形，

：.AB=CA,/BAE=NC=60°,

在△4EB與△CD4中，

'AB=CA

<ZBAE=ZC，

AE=CD

/./\AEB^/^CDA(SAS),

：.BE=AD-,

(2)解：由(1)知，ZVIEB絲△COA,則/ABE=NCAD,

，NBAD+/ABD=NBAD+/CAD=/BAC=60°,

NBPQ=ZBAD+ZABD=6Q°；

(3)解：如圖，由(2)知N8PQ=60°.

'：BQ±AD,

：.ZPBQ=30°,

:.PQ=LBP=3,

2

：.BP=6

；.BE=BP+PE=1,即A￡>=7.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形.全等三角形的

判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)

鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

22.(2021春?羅湖區(qū)期中)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，ZAOB=ZMON

=90°.

(1)如圖1：連AM,BN,求證：△AOM絲△BON；

(2)若將RtZ\MON繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A,M,N恰好在同一條直線上時，如圖2

所示，線段O//〃BN,OH與AM交點為4,若08=4,ON=3,求出線段AM的長；

(3)若將△MON繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點N恰好落在AB邊上時，如圖3所示，MN

與AO交點為P,求證：MP1+PN2=2PO1.

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可.

(2)分別求出4〃即可.

(3)如圖2中，在OB上取一點7,使得。T=OP,連接PT,NT.證明

NONT=90：可得P^MPM+N^MPM+PM?,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

VZAOB=ZMON=90°,

：./AOM=/BON,

'：AO=BO,OM=ON,

:.△AOM9XBON(SAS').

(2)如圖3-1中，設(shè)OA交BN于J,過點。作。H_LMN于H.

H,

B

圖3-1

:△AOM絲△BOM

：.AM=BN,NOAM=NOBN,

,：NAJN=NBJO,

:.NANJ=NJOB=90°,

,：OM=ON=3,NMON=90°,OHLMN,

:.MN=3?,MH=HN=0H=^^,

2_

-，MH=VOA2-OH2=^42-(-^-)2=^'

BN=AM=MH+AH='^+WM.

2

(3)證明：如圖2中，在OB上取一點T,使得OT=OP,連接尸T,NT.

圖2

■:NMON=/POT=90°,

ZMOP=ZNOT,

?：OM=ON,OP=OT,

.?.△POM名△TON(SAS),

：.PM=TN,NM=NONT=45°,

■:NONM=NONT=45°,

:.NPAN=NONM+NONT=90°,

...p展=P/U+NF=Pl^+PM1

?.?△POT是等腰直角三角形，

:.PT2=20A,

：.PM1+NN1=20P1.

解法二：連結(jié)AM,證明△AMO與△BN。全等，然后說明NM4N是直角，可得結(jié)論.

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形

的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

考點卡片

1.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

2.因式分解-十字相乘法等

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①/+(p+q)x+pq型的式子的因式分解.

這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；

可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：

X2+(p+q)x+pq—Cx+p)(x+q)

②o^+bx+c(a#0)型的式子的因式分解

這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù),ai的積GP2，

把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)ci，C2的積并使aiC2+a2cl正好是一

次項6,那么可以直接寫成結(jié)果：(v?+bx+c—(aix+ci){aix+ci').

3.分式的基本性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變.

(2)分式中的符號法則：

分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變.

【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題

1.分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式

的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù).

2.解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩

個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應(yīng)為一個整體，改變符號是指

改變分子、分母中各項的符號.

3.處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的.

4.分式的加減法

(1)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

(2)異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，

經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說明：

①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多

項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較

簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式

變成分母相同的較復(fù)雜的形式.約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分

式來說的.

5.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代人最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

6.換元法解分式方程

1，解數(shù)學(xué)題時.，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母

來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).

7.在數(shù)軸上表示不等式的解集

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心，

若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法

某不等式求得的解集為x>“，其驗證方法可以先將。代入原不等式，則兩邊相等，其

次在X,。的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立.

8.由實際問題抽象出一元一次不等式

用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、

是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號.

因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系.

9.解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解